高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评12 Word版含答案

PAGE学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．【答案】D2．如图2­3­8，三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是()图2­3­8A．∠BPA B．∠PBAC．∠PBC D．以上都不对【解析】由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，得PA⊥平面ABC，所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B.【答案】B3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()【导学号：09960073】A．有且只有一个 B．至多一个C．有一个或无数个 D．不存在【解析】若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．【答案】B4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(6),3)【解析】如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝eq\f(\r(2),2)，D1O＝eq\f(\r(6),2)，∴cos∠DD1O＝eq\f(DD1,D1O)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).∴BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为eq\f(\r(6),3).【答案】D5．(2015·成都高二检测)已知ABCD­A1B1C1D1A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1【解析】正方体中由BD∥B1D1，易知A正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即B正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C因此AC1⊥平面CB1D1，即C正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故选D.【答案】D二、填空题6．(2016·太原高一检测)如图2­3­9，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．图2­3­9【解析】∵EA⊥α，CD⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样，∵EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，∴CD⊥平面AEB.又∵AB⊂平面AEB，∴CD⊥AB.【答案】CD⊥AB7．如图2­3­10所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．图2­3­10【解析】eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.【答案】4三、解答题8．如图2­3­11，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.图2­3­11【证明】∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.9．如图2­3­12所示，三棱锥A­SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．【导学号：09960074】图2­3­12【解】因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝eq\r(2)a，CD＝SD＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ADC中，AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\f(\r(2),2)a.则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝eq\f(\r(2),2)a，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.[自我挑战]10．(2015·淮安高二检测)如图2­3­13，四棱锥S­ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．图2­3­13①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．【答案】411．如图2­3­14，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.【导学号：09960075】(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.图2­3­14【证明】(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A