杆件结构的变形计算（能量法图乘法）

6.5能量法基基础1、变形是是指结构构原有形形状的变变化。2、位移是是指某点点位置或或某截面面位置和和方位的的移动。。位移包包括线位位移和角角位移两两种。1）线位移移是指结结构上某某点沿直直线方向向相对于于原位置置移动的的距离，，结构上上两点之之间沿两两点连线线方向相相对位置置的改变变量，称称为相对对线位移移；2）角位移移是指杆杆件某截截面相对对于原位位置转动动的角度度，结构构上两个个截面相相对转动动的角度度称为相相对角位位移。变形和位位移6.5.1作用在弹弹性杆件件上的力所作的的功外力的作作用下将将产生变变形，在在这一过过程中，，外力将将在杆件件相应的的位移上上作功。。外力作功功分为常力作功功和变力作功功两种形式式。1、常力功功当杆件位位移发生生之前，力已经存存在，且位移产产生过程程中，作用力不不发生变变化，则此时力力所作的的功为常常力功。。等于该力力的大小小与其作作用点沿沿力方向向相应位位移的乘乘积。2、变力功功当弹性杆杆件在力力的作用用下所产产生的位位移，随随力和变变形的增增加而增增加时，，力所作作的功为为变力功功。6.5.2杆件的弹弹性应变变能弹性体在在外力的的作用下下将产生生弹性变变形，此此时，外外力所作作的功将将转变为为储存于于弹性体体内的能能量。而而当外力力逐渐减减小时，，弹性体体的变形形可逐渐渐恢复，，储存在在体内的的能量被被释放而而作功。。这种因弹弹性体变变形而储储存的能能量称为为弹性应变变能。储存于弹弹性体内内的应变变能在数数值上等等于外力力所作的的功。若轴力沿轴线为为变量，，的微段杆杆内所储储存的应应变能梁弯曲时时的应变变能则可先计计算长为为6.5.3互等定理理1、功的互互等定理理能量守恒恒原理，，可推导导得出线线性弹性性体的互互等定理理，常用用的是功功的互等等定理和和位移互互等定理理。力系在力系引起的位位移上所所作的功功，等于于力系在力系引起的位位移上所所作的功功。推导：2、位移互等定定理力在作用点处所引起的与相对应的位移在数值上等于力在作用点处所引起的与相对应的位移当当时，所产生的的位移称为单位位移移，特用来表示，则此此时的位移互互等定理可写成在弹性范围内内,弹性体在外力力作用下发生生变形而在体体内积蓄的能量,称为弹性变形形能,简称变形能.一、能量法三、变形能二、外力功固体在外力作作用下变形,引起力作用点点沿力作用方方向位移,外力因此而做做功,则成为外力功功.利用功能原理理Vε=W来求解可变形形固体的位移移,变形和内力等等的方法.总结可变形固体在在受外力作用用而变形时,外力和内力均均将作功.对于弹性体,不考虑其他能能量的损失,外力在相应位位移上作的功功,在数值上就等等于积蓄在物物体内的应变变能.Vε=W四、功能原理理五、杆件变形形能的计算1.轴向拉压的变变形能此外力功的增量为：当拉力为F1时,杆件的伸长为为Δl1当再增加一个个dF1时,相应的变形增量为d(Δl1)FFllFFOll1dl1dF1F1积分得:根据功能原理理当轴力或截面面发生变化时时:Vε=W,可得以下变形形能表达式当轴力或截面面连续变化时时：2.扭转杆内的变变形能或lMeMeMe纯弯曲横力弯曲3.弯曲变形的变变形能θMeMeMeMe4.组合变形的变变形能截面上存在几几种内力,各个内力及相相应的各个位位移相互独立立,力独立作用原原理成立,各个内力只对对其相应的位位移做功.六、变形能的普遍遍表达式F--广义力(包括力和力偶偶)δ--广义位移(包括线位移和和角位移)B'C'F3BCF2AF1假设广义力按按某一比例由由零增致最后后值对应的广广义位移也由由零增致最后后值.对于线性结构构,位移与荷载之之间是线性关关系，任一广广义位移,例如2可表示为F3ABCF1F2B'C1F1,C2F2,C3F3分别表示力F1,F2,F3在C点引起的竖向向位移.C1,C2,C3是比例常数.F3/F2在比例加载时也是常数F1/F2和2与F2之间的关系是是线性的.同理,1与F1,3与F3之间的关系也也是线性的.在整个加载过过程中结构的的变形能等于于外力的功iFiF3ABCF1F2B'——克拉贝隆原理理（只限于线线性结构）Fii七、变形能的的应用1.计算变形能2.利用功能原理理计算变形例题1试求图示悬臂臂梁的变形能能,并利用功能原原理求自由端端B的挠度.ABFlx解：由Vε=W得例题2试求图示梁梁的变形能能,并利用功能能原理求C截面的挠度度.ABCFx1x2abl解：由Vε=W得例题3拉杆在线弹弹性范围内内工作.抗拉刚度EI,受到F1和F2两个力作用用.若先在B截面加F1,然后在C截面加F2;若先在C截面加F2,然后在B截面加F1.分别计算两两种加力方方法拉杆的的应变能.ABCabF1F2（1）先在B截面加F1,然后在C截面加F2ABCabF1（a）在B截面加F1,B截面的位移移为外力作功为为（b）再在C上加F2F2C截面的位移为F2作功为（c）在加F2后,B截面又有位位移在加F2过程中F1作功（常力力作功）所以应变能能为ABCabF1F2（2）若先在C截面加F2,然后B截面加F1.（a）在C截面加F2后,F2作功（b）在B截面加F1后,F1作功ABCabF1F2（c）加F1引起C截面的位移移在加F1过程中F2作功（常力力作功）ABCabF1F2所以应变能能为注意：（1）计算算外力作功功时,注意变力作作功与常力力作功的区区别.（2）应变能Vε只与外力的的最终值有有关,而与加载过过程和加载载次序无关关.2解:梁中点的挠挠度为:梁右端的转转角为:MeACBFl/2l/2梁的变形能能为:1例题4以弯曲变形形为例证明明应变能Vε只与外力的的最终值有关,而与加载过过程和加载次序序无关.先加力F后,再加力偶Me（1）先加力F后,C点的位移力F所作的功为为（2）力偶由零零增至最后后值MeB截面的转角角为力偶Me所作的功为为ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me1先加上的力力F所作的功为为C截面的位移移为3ACBl/2l/2F与力偶Me所作的功为为ACBFl/2l/21Me1、结构材料料处于弹性性工作阶段段，服从胡胡克定律，，即应力应应变成线性性关系。2、结构满足足小变形假假设，在建建立平衡方方程时，仍仍然可用结结构原有几几何尺寸进进行计算。。3、结构各部部分之间为为理想联结结，不计摩摩擦阻力影影响。6.6单位荷载法法6.6.1结构位移计计算假定满足上述条条件的理想想化结构体体系，其位位移与荷载载之间为线线性关系，，称为线性性变形体系系，其位移移计算可以以应用叠加加原理。δkδk6.6.2单位荷载法法1、虚拟状态态的选取欲求结构在在荷载作用用下的指定定位移，须须取相应的的虚拟状态态。即取同同一结构，，在要求位位移的地方方，沿着要要求位移的的方位虚加加单位荷载载：1）欲求一点点的线位移移，加一个个单位集中中力2）欲求一处处的角位移移，加一个个单位集中中力偶3）欲求两点点的相对线线位移，在在两点的连连线上加一对指指向相反的的单位集中中力4）欲求两处处的相对角角位移，加加一对指向向相反的单位集集中力偶5）欲求桁架架某杆的角角位移在杆杆的两端加加一对平行、反反向的集中中力，两力力形成单位位力偶。力偶臂臂为d，每一力的大大小为1/d力和力偶统统称为广义义力，单位广义力力用=1表示线位移和角角位移统称称广义位移移，用⊿表表示单位广义力力有截然相相反的两种种设向，计计算出的广义位位移则有正正负之分：：正值表示广广义位移的的方向与广广义力所设设的指向相相同负值表示广广义位移的的方向与广广义力所设设的指向相相反2、单位荷载载法计算位位移的主要要步骤为：：(1)沿拟求位移移的位置和和方向加设设相应的单单位荷载；；(2)根据静力平平衡条件，，求出在所所设单位荷荷载下结构构的弯矩；；(3)根据静力平平衡条件，，计算在荷荷载作用下下结构的弯弯矩；(4)代入位移计计算公式中中计算位移移。3、各类杆件件结构在荷荷载作用下下的位移公公式（1）梁和刚架架梁式杆的位位移中弯矩矩的影响是是主要的，，位移计计算公式中中取第一项项便具有足足够的工程程精度（2）桁架各杆为链杆杆，而且是是同材料的的等直杆。。杆内只有轴力力，且处处处相等。因因而只取公公式中的第二项项并简化为为实用的形形式（3）组合结构构既有梁式杆杆，又有链链杆，取用用公式中的的前两项（4）拱一般计轴力力、弯矩的的影响，剪剪切变形的的影响忽略略不计4、静定梁的的位移计算算计算步骤为为（1）设虚拟状状态；（2）计算（3）用梁的位位移计算公公式计算位位移。例1求图所示简简支梁上力力点的作用用点的竖向向位移和转转角。EI为常数。左段右段右段当时，左段左段右段这里单位力力偶的方向是任任选的。取正值，表表明转角的方向与单单位力偶的的方向相同同；取负值，表表明转角的方向与单单位力偶的的方向相反反；5、静定桁架架的位移计计算计算步骤为为（1）设虚拟状状态；（2）计算（3）用桁架的的位移计算算公式计算算位移。解（1）设虚拟状状态（如上上图b所示）（2）计算（标于图b.a）（3）代公式求求C点的竖向位位移例2图示桁架各各杆的EA相等，求C结点的竖向向位移6.7图乘法6.7.1图乘法原理理1、图乘法的的适用条件件：（1）杆段的轴轴线为直线线（2）杆段的弯弯曲刚度EI为常数直梁和刚架架的位移公公式则为（3）图图和图图中中至少有一一个直线图图形2．图乘法原原理图乘法求位位移的一般般表达式为为注意：3.图乘法的步步骤[1]设虚拟状态态；[2]画图；图图；[3]图乘求位移移。[1]应取自直线线图中[2]若与在杆件的同同侧,取正值，反反之,取负值。[3]如图图形形较较复复杂杂，，可可分分解解为为简简单单图图形形。。结论论：：当满满足足三三个个条条件件时时，，位移移等于于两两弯弯矩矩图图形形中中曲线线图图形形的的面面积积乘以以其其形形心心所所对对应应的的直线线图图形形的的纵纵坐坐标标，再再除以以EI。6.7.2几个个规规则则图图形形的的面面积积和和形形心心位位置置b几中中常常见见图图形形的的面面积积和和形形心心的的计计算算公公式式alh三角角形形CClh顶点点二次次抛抛物物线线lh顶点点cN次抛抛物物线线lh顶点点c二次次抛抛物物线线3l/4l/41、应应用用条条件件杆为为直直杆杆，，EI为常常数数，，两两个个图图形形中中至至少少有有一一个个是是沿沿着着的的整整个个长长度度为为一一直直线线变变化化的的图图形形，，纵纵坐坐标标取取自自该该直直线线图图中中。。2、正正负负号号规规则则面积积与与纵纵坐坐标标在在杆杆的的同同侧侧时时，，乘乘积积取取正正号号；；否否则则取取负负号号。。6.7.3应用用图图乘乘法法时时的的几几个个具具体体问问题题3、分分段段计计算算(1)若用用来来选选取取纵纵坐坐标标的的图图形形是是由由几几段段直直线线组组成成的的折折线线，，则则应应分分段段计计算算。。(2)杆件件各各段段有有不不同同的的EI，则则应应在在EI变化化处处分分段段并并按按分分段段进进行行图图乘乘。。4.图形形的的分分解解叠加加计计算算当图图形形的的面面积积和和形形心心不不便便确确定定时时，，可可以以将将其其分分解解成成几几个个简简单单的的图图形形，，分分别别与与另另一一图图形形相相应应的的纵纵坐坐标标相相乘乘。。梯-梯同同侧侧组组合合：：梯-梯同同侧侧组组合合：：梯-梯异异侧侧组组合合由区区段段叠叠加加法法作作的的弯弯矩矩图图，，其其弯弯矩矩图图可可以以看看成成一一个个梯梯形形和和一一个个规规则则抛抛物物线线图图形形的的叠叠加加。。曲-折组组合合阶梯梯形形截截面面杆杆解图分分别别如如图图(b).(c)所示示。BC段的的MP图是是标准准二二次次抛抛物物线线；；AB段的的MP图较复复杂杂，，但可可将将其其分分解解为为一个个三三角角形形和和一一个标标准准二二次次抛抛物物线图图形形。。例1试求求图图a所示示外外伸伸梁梁C点的的竖竖向向位位移移CV。梁的的EI=常数数由图图乘乘法法得得代入入以以上上数数据据,于是是例2试求求图图a所示示伸伸臂臂梁梁C点的的竖竖向向位位移移cv解荷载载弯弯矩矩图图和和单单位位弯弯矩矩图图如如图图bc所示示。。在AB段,MP和图均均是是三三角角形形；；在BC段，，MP图可看看作作是是由由B.C两端端的的弯弯矩矩竖竖标标所所连连成成的的三三角角形形与与相相应应简简支支梁梁在在均均布布荷荷载载作作用用下下的的标标准准抛抛物物线线图图，，即即图图b中虚虚线线与与曲曲线线之之间间包包含含的的面面积积]叠加加而而成成。。将上上述述各各部部分分分分别别图图乘乘再再叠叠加加，，即即得得例3试求求图图(a)所示示刚刚架架结结点点B的BH水平平位位移移设各各杆杆为为矩矩形形截截面面，，截截面面尺尺寸为为bxh，惯惯性性矩矩l=,E为常常数数，，只只考虑虑弯弯矩矩变变形形的的影影响响。。解先作作出出MP图和和图,分别别如如图图(b)(c)所示示。。应用用图图乘乘法法求求得得结结点点B的水水平平位位移移为为：：例题题4均布布荷荷载载作作用用下下的的简简支支梁梁,其EI为常常数数.求跨跨中中点点的的挠挠度度.ABCql/2l/2FABCl/2l/2以图的转折点为界,分两段使用图乘法.M(x)ABCql/2l/2ABCFl/2l/2例题5图示梁梁,抗弯刚刚度为为EI,承受均均布载载荷q及集中中力F作用.用图乘乘法求求:集中力力作用用端挠挠度为为零时时的F值；FCABalqFCAB解：aalq1ABalCM例题6图示开开口刚刚架,EI为常数数.求沿F力作用用线方方向的的相对对线位位移ΔAB.aaa/2a/2ABFF解：Fa/2a/2FFFa/2Fa/2a/2a/21a/2Baaa/2AA例题7图示刚刚架,EI为常数数.求A截面的的水平平位移移ΔAHBAaaqaqa/2qa2/2解：BAaaBaBAaaqqa/2qa1111aqa2/2C例题8拐杆如如图,A处为一一轴承承,允许杆杆在轴轴承内内自由由转动动,但不能能上下下移动动,已知:E=210GPa,G=0.4E,求B点的垂垂直位位移.5A300B500=1F01020

解:（1）画单位位载荷荷图C5A300B500=60kNF11020

x1x1xx（3）变形形（2）求内内力作业6.2-6.3、6.5、6.7、6.9-6.13、6.15第6章杆杆件件结构构的变变形计计算复习一、结结构位位移的的定义义结构在在荷载载或其其它因因素作作用下下，会会发生生变形形。由由于变变形，，结构构上各各点的的位置置将会会移动动，杆杆件的的横截截面会会转动动，这这些移移动和和转动动称为为结构构的位位移。。二、位位移的的分类类位移线位移移：截截面形形心的的直线线移动动距离离角位移移：截截面的的转角角位移绝对位位移相对位位移广义位位移三、位位移举举例A点的线线位移移水平线线位移移竖向线线位移移截面A的角位位移C、D两点的的水平平相对对线位位移A、B两个截截面的的相对对转角角四、引引起位位移的的原因因一般有有：荷荷载（（如前前两刚刚架））、温温度改改变（（如图图a）、支座移移动（（如图图b）材料收收缩、、制造造误差差等五、功功的互互等定定理Δij的脚标标表示示：i-指示位位移发生的地点点和沿沿着力力方向向；J-指示产生位移的的力及及其作作用位位置。。（结结果、、原因因）Δ21-2-此位移移发生生在点点2沿着F2的方向向；-1-此位移移是作作用在在点1的力F1引起的的。第一状状态下下所做做的功功：第二状状态下下所做做的功功：比较，，得V1=V2即一般形形式为为应变能能Vε只与外外力的的最终终值有有关,而与加加载过过程和和加载载次序序无关关.因此得得到功功的互互等定定理：：第一状状态的的外力力在第第二状状态的的相应应位移移上所所作的的(外力虚虚)功，等等于第第二状状态的的外力力在第第一状状态的的相应应位移移上所所作的的(外力虚虚)功。六、位位移互互等定定理条件：：在结结构的的两种种状态态中都都只作作用一一个荷荷载，，且为单单位荷荷载。。单位荷荷载所所引起起的位位移称称为位位移系系数，，用表示（（图a.b）根据功功的互互等定定理即这就是是位移移互等等定理理：第二个个单位位力所所引起起的第第一个个单位位力作作用点点沿其其方向向的位位移，，等于于第一一个单单位力力所引引起的的第二二个单单位力力作用用点沿沿其方方向的的位移移。上述定定理中中，单单位力力可以以是广广义单单位力力，相相应的的位移移系数数亦为为广义义位移移。可能含含义不不同，，但数数值相相等即七、反反力互互等定定理反力互互等定定理也也是功功的互互等定定理的的一种种应用用，它它反映映在超超静定定结构构中如如果两两个支支座分分别发发生单单位位位移时时，两两个状状态中中相应应支座座反力力的互互等关关系。。单位位位移引引起的的支座座反力力称为为反力力系数数，用用rij表示根据功功的互互等定定理，，有即这就是是反力力互等等定理理，它它表明明支座座1发生单单位位位移所所引起起的支支座2的反力力，等等于支支座2发生与与上述述反力力相应应的单单位位位移所所引起起的支支座1的反力力。应注意意支座座的位位移与与该支支座的的反力力在作作功关关系上上的对对应关关系，，即线线位移移与集集中力力相对对应，，角位位移与与集中中力偶偶相对对应。。可能r12与r21一个是是反力力偶，，一个个是反反力，，但二二者的的数值值相等等（图图c、d）。即一、变变形体体的虚虚功原原理功：力对物物体在在一段段路程程上累累积效效应的的量度度，也也是传传递和和转换换能量量的量量度实功：：力在自自身引引起的的位移移上所所作的的功当静力力加载载时，，即：：FP1由0增加至至FP111由0增加至至11力Fp1在位移移11上作的的实功功ΔFΔ11F1dTOAB6.8静定结结构由由于支支座位位移和和温度度变化化所引起起的位位移虚功：：力在其其他因因素引引起的的位移移上作作的功功。其特点点是位位移与与作功功的力力无关关，在在作功功的过过程中中，力力的大大小保保持不不变。。梁弯曲后，再在点2处加静力荷载，梁产生新的弯曲。位移为力引起的的作用点沿方向的位移。力在位移上作了功，为虚功，大小为当力状状态的的外力力在位位移状状态的的位移移上作作外力力虚功功时，，力状状态的的内力力也在在位移移状态态各微微段的的变形形上作作内力力虚功功。在小变变形条条件下下，由由图图示的的原始始形状状、尺尺寸计计算，，并称称此状状态为为虚功功计算算的位位移状状态。。与之之相应应，FP1单独作作用的的状态态为虚虚功计计算的的力状状态。。二、线线弹性性杆件件的变变形位位能（内力力虚功功）1、弯曲曲变形形位能能2、轴向向拉伸伸（压压缩））变形形位能能根据功功和能能的原原理可可得变变形体体的虚虚功原原理：：任何一一个处处于平平衡状状态的的变形形体，，当发发生任任意一一个虚虚位移移时，，变形形体所所受外外力在在虚位位移上上所作作虚功功的总总和，，等于于变形形体的的内力