可拆项计算的行列式的结构特征与计算方法

可拆项计算的行列式的结构特征与计算方法王文龙指导教师：张德燕（河西学院数学与统计学院，甘肃张掖734000）摘要在高等代数的学习中，我们已经学习了行列式的性质与计算的问题，而本文对利用拆项法求行列式的问题进行了进一步地讨论，并给出了具体例子加以说明.关键词行列式；拆项法；结构特征；计算方法.中图分类号O151.22DemolitionofthecalculationofthedeterminantofstructureandcalculationmethodWangWenlong InstructorZhangDeyan(SchoolofMathematicsandStatistics,HexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000)Abstract:Inthehigheralgebrastudy,wehavestudiedthedeterminantofthenatureandthecalculationoftheproblem,andinthispaperamethodusingopenforthedeterminantoffurtherdiscussion,andgivesthespecificexamplestoillustrate.Keywords:Thedeterminant;Demolitiontermmethod;Structurecharacteristic;Calculationmethods.1引言高等代数是数学专业必修的基础课程，而行列式知识是其中的重要内容之一，在高等代数教材中给出了求行列式值的具体方法，例如文献[1],并且探讨了行列式的相关性质.能够熟练掌握和运用行列式的相关性质有着非常重要的作用和意义.本文主要研究了可拆项的行列式的结构特征，指明了什么样的行列式可米用拆项法来计算的问题，并且对这些问题进行了归纳和总结，给出了具体的方法和例子.2预备知识a a…a aa…aaa…a11 12: :1n 11: :12:1n:11:12:1n:性质2.1[1]b+cb+c…b+c=bb…b+cc…c,112 2: :n n 1: :2:n:1:2:n:a an1 n2…ann an1an2…annan1an2…ann这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样.性质2.2[1]如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等.性质2.3[1]如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零.性质2.4[1]对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号.

性质2.5⑵行列式与其转置行列式相等.定义2.6[3]由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若十个行列式之和，计算其值,再得原行列式值,此法称为拆行（列）法.定义2.7[4]设A是数域P上的〃阶方阵.A的行列式|a|是n!项的代数和；其中每一项是A的位于不同行、不同列的n个元素的乘积，当把这n个元素的行指标排成自然排列后,若相应列指标的排列为偶排列，则该项代正号,反之该项代负号，即\A\\A\= £ (-1*m2…j*)a a，…aj1j2…j 1 2其中jj…〃是1,2, ,n的任一n元排列，£表示对所有n元排列求和，即j1j2“■jnaiia12…a1nAIa= 21:a22:…a2n:an1an2…ann3拆项计算的行列式的结构特征与计算方法3.1每个元素都写成a+b的形式的行列式计算方法将此行列式中的这两个数拆项，利用行列式的性质，使得行列式计算简化.例1计算n阶行列式A=na1a2an+b1+b1:+b1a+ba+b:a+b・・.・・.・・.a1a2an+bn+bn:+bn解a1aA=.2n:a1a2+b2+b2:…a1…a2.+bn+bn+:bb1:a1a2+b2+b2:・・..-a1-a2+bn+bn:anan+b2…an+bnban+b2・-an+bna1a=2:b2b2:・・.・・.a+ba+b:+b11:a1a2+b2+b2:・・.・・.a1a2+bn+bn:anb2・・.a+b1an+b2・・.an+bna1a=2:b2b2:・・.・・.b 1nb 1n+b: 1:a1a2:・・.・・.a1a2:anb2・・.bn1an・・.an

3.2主对角线元素为0,对角线上方以及下方的元素分别相同的行列式计算方法如果主对角线元素为0,对角线上方元素全部相同（记为。），对角线下方元素全部相同（记为方）,那么，可以运用拆项法.将第〃列前〃-1行的所有元素拆分为。+0的形式，第〃行第〃列的0元素拆分为。―。的形式，之后再利用行列式性质,将行列式写成两个行列式的差，使问题简化以利于计算.例2计算〃阶行列式aaa0Qaaaaa0b0aB=bb0nxn思路观察此行列式的特点是主对角线上元素全为0,主对角线两旁元素只是Q,》，且每一侧元素相同,可用拆项法.0 。i…a+0b0a…a+0解B=bb0…a+0n•・・・•・•♦••bbb…a-anxn0aa•••a0aa••• 0bQa…aZ?0a... 0——bb0 •••a—z?z?o...0・・・・•••••・・・・•・・・・・••,••••••••bbb…abbb anxn nxn0aa・・♦10aa・♦♦0b0a•«•1b0a・・♦0bb0・♦♦•1—bb0・・♦0bbb•♦♦♦1bbb•♦♦♦anxn nxn对上面的第一个行列式，将第〃列乘（-疽加到其余各列上,对第二个行列式按第〃列展开,最后可得—bci—bci—b•—bci—bci—b•・♦ 10aa a0 —ba—b ・・・ 1b0a…aB=a0 0 —b •,♦ 1~abb0 …an・•・•・・•・・•・••••・ ・ ・• •0 0 0 ... 1・・・・•・ ・ ・. ・b b b ••• 0nxn(/I-1)x(«-1)二-aBn-1aa(—b1-1-aBn-1类似于前面的方法得到另一个递推关系式如果将Bn按下面的方式拆项，又可得到类似于前面的方法得到另一个递推关系式b-baa・・.ab0a・・.abb0・・.a:b:b:b…:0nxnbaa・・.abaa・・.ab0a・・.a00a・・.abb0・・.a-0b0・・.a:b:b:b・・・:0:0:b:b・・・:0nxnBnb(-a)-1-bBn-1联立上述两个递推关系式a(一b)n-1一aBb(一a)n-1一bBn-1当a。人时，解得Q11Taban-2+an-3bH Fabn-3+bn-2)an-1—bn-1=J1万-1ab a-b当a=人时，解得=(-1)-1a2(an-2+an-2+ +an-2+an-2)3.3次对角线元素为0,对角线上方以及下方的元素分别相同的行列式计算方法如果次对角线元素为0,对角线上方元素全部相同（记为a），对角线下方元素全部相同（记为b），那么，可以先利用行列式性质，将行列式化为主对角线元素为0,之后行列式结构与计算方法与3.2相同.例3计算n阶行列式aaa・・.a0aaa・・.0b:a:0:b・・.:b:b0bb・・.bbCnTOC\o"1-5"\h\z0 a a …a ab 0 a …a a解q=（—1质:""\o"CurrentDocument"b b b …0 ab b b b 0=（-1》、）B2 ，以下计算与例2相同.3.4主对角线元素不为0,对角线上方以及下方元素分别相同的行列式计算方法如果主对角线元素不为0（记为x,x，…,x），对角线上方元素全部相同（记1 2 n为a）,对角线下方元素全部相同（记为b）,那么，可以把第n行n列的元素xn看成（x-a）+a,运用拆项法.即将第n列前n-1行的所有元素拆分为a+0的形式，第n行第nn列的元素x拆分为（x-a）+a的形式,之后再利用行列式性质，将行列式写成两个行列式的和，使问题简化以利于计算.例4计算n阶行列式D=nx1bb:ax2b:aax3:•••aaa:,a^b.bbb••xn解x1bD=b:ax2b:a…a…x••3:aaa:000:+x1bb:ax2b:aax3:…a…a…a:aaa:bbb…bx—abbb…bax-ba-x 0 ••• 01 20x-ba-x••• 0=(x-a)D +2 3::: :n n—10 0 0 …x-bn-1b b b… b=(x一a)D +an100:0a由于

所以D=(x-b)D+bfl1(x-a). ②i=1式①，式②联立，消去D得n-1aH(x-b)-bH(x-a)D=——i=1 bi=1 .3.5每一行(列)只有一个元素和其他元素不一样的行列式计算方法如果n阶行列式中每一列只有一个元素和其他元素不一样，就可以将这一列的每个元素都分解成两个数的和，使得其中一个是一样的，从而创造了利用性质的条件.例5计算n阶行列式11:111:1+an11E=.n -思路这个行列式第1列第1个元素是1+a1,其他元素都是1,可以将其他元素都改为1+0,就满足性质2.3的条件，可以拆成两个行列式的和，其中1个只有第1个元素为a1,其他元素全为0.按第1列展开，降为低1级行列式，另一个行列式第1列全为1,各行减第1行，也可降阶.其实，这道题每一列都有这个规律，为了书写方便,对最后1列拆项，拆成两个行列式，然后对第1个行列式,每一行减最后一行.1+a1...1+01血 11+a...1+0解E=.2n::.•一 ：..11・・・1+an1+a1 •..11+a1…01111+a..111+a…0=2+2,,:,:・::•一:•:....11 -..111…ana0…01+a1… 1110a…011+a… 1=2+a2・・・・,,:: ・ :n::•一 :•.••..11 111…1+an-1=aa…a+aE12n-1 nn-14结束语通过讨论可拆项计算的行列式，使我们进一步学习了n阶行列式的一种计算方法.在解答题时,我们要针对具体问题，把握行列式的特点，灵活运用计算方法，着重培养解决问题的能力和技巧,形成良好的数学思维.致谢衷心感谢张德燕老师的悉心指导！参考文献王萼芳，石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,20