线性代数-线代课件2.3可逆矩阵

在数的运算中，当a

0

时，存在一个数b，使得ab

ba

1,在矩阵的运算中，单位阵I

相当于数中的单位

1，那么，对于矩阵A，是否存在一个矩阵

B

，使得AB

B

A

I

?而且，对矩阵A

又有什么要求呢？一、可逆矩阵概念的引入a其中，b

a1

1

称为a

的倒数，或者称为a

的逆.定义二、可逆矩阵的定义若A是可逆矩阵，则A

的逆矩阵是惟一的。事实上，设矩阵B和C

都是A

的逆矩阵，则有AB

BA

I

,

AC

CA

I

,可得B

IB

(CA)B

C(AB)

CI

C.结论对于n

阶方阵A，如果存在n

阶方阵B，使得则称B

为A

的逆矩阵，记作B

A1

;并称A

为可逆矩阵，或满秩矩阵，或非奇异矩阵.否则称A

是不可逆的.P41定义2.81

2

,B

1

21 1

1

2 1

2

1

,例

设

A

1故B

是A

的逆矩阵。由于AB

BA

I

,例0

,设

A

0

0

0故A

不可逆。则对任意的二阶矩阵

B，有AB

BA

0

I

,例0

,

1

0

设A

1故A

不可逆。有

AB

a b

I

,

a b

b

,则对任意的二阶矩阵

B

a

c

d需要探讨的问题如何判定一个矩阵是否可逆？如何求逆矩阵？根据定义采用待定系数法求逆矩阵；利用伴随矩阵求逆矩阵；(本节给出)利用初等变换求逆矩阵。(§2.5给出)三、伴随矩阵称为A

的伴随矩阵.定义Ai

j

为|

A|

中元素ai

j

的代数nn

n1

n2a

aa2n

,a22a1n

a11

a12设n

阶矩阵A

a21

a式，则矩阵P41定义2.9三、伴随矩阵

nn

a

An1An2AnnA21A22A2nA11A12A1nn2n1a2n

a22a1na11

a12AA*

a21

0

0

|A|

a

a|A|

0

0

0

|A|

0

|A|

I

,同理有特点A*

A

|A|

I

,

即A

A*

A*

A

|A|

I

.方阵A

可逆的充要条件是|

A

|

0.必要性定理.|

A

|A*1此时，A证明若A

可逆，则存在B

使得AB

I

,由此有|

A

|

|

B

|

1,

即得

|

A

|

0.|

A

| |

A

|充分性

当

|

A

|

0

时，由

AA*

A*

A

|

A

|

I

有A*

A*A

I

,A

按逆矩阵的定义得A

可逆，且A本定理还给出一种求逆矩阵的方法.注四、矩阵可逆的充要条件A*

.|

A

|1P41

定理2.2由于

|

A

|

0,

因此

A

不可逆.解

2 2

1

2

10

1

,4已知A

1例求A1

.A*1解

因

|

A|

1,

故

A

可逆，例1

,已知

A

3

求

A1

.

2

1*

2 3

1

1A

,

A

.|

A

|

2 3

1

1A*A1故A

可逆，且

2

3

0

0|

A

|

241

0

.0

0310

0

41

3

4

0

0

2

4

0

00

21例4

2

0

0

0解

因|

A|

24,已知

A

0

3

0

,

求

A1

.

0注对角矩阵的逆矩阵仍为对角矩阵。*

A

|

A

|A

1故A

可逆，且1

0

1

0

0

1

1

0

.

1例11

0

01解

因

|

A|

1,已知

A

1

1

0

,

求

A1

.

1注上(下)三角矩阵的逆矩阵仍为上(下)三角矩阵。(见§2.5

)解

由于

|

A

|

7

0,

13 33

1

A11A

A

AA12

A13

A2223|

A|

A12A*A

|

A|13

1

2

6

3 4

1

1

.

5A32

7

2注

利用伴随矩阵求逆矩阵的方法，通常仅适合于阶数较低或者较特殊的矩阵；因此它主要用于理论推导与证明。01

2 1

A

1

0

2

,

1

3例已知因此A

可逆，且求A1

..2111n1jbaaaa1na2n

baaa

,1

bnnajnaja

,1

annj

2,1j22,1j

1,1j11,1其中

D

例已知

A

X

b

且

|

A|

0,

求

X

.解由|

A

|

0

知A

可逆，因此有X

A1b

nn

n

b

A

A

A2n1nAn1

b1

A11

A21A22|

A|

X

1

A12即

n

DAn2

b2

1

D2

,

D1

|

A|

可见，这就是由(Cramer)法则得到的结果。A*b

,|

A|1P44证明

(1)

由

AB

I

有

|

A

|

|

B

|

1,

即得

|

A

|

0

,因而A

可逆，即A1

存在，于是有B

I

B

(

A1

A)B

A1

(

AB)

A1

I

A1

.(2)

由AB

可逆有|

AB

||

A

|

|

B

|

0,即得

|

A

|

0

且

|

B

|

0

,

因而

A

可逆且

B

可逆。推论若AB

I

(或者B

A

I

)，则A

可逆，且B

A1

.若AB

可逆，则A

可逆且B

可逆。设A

,B

为方阵，四、矩阵可逆的充要条件补P43

例12A(

A

I

)

2I

,2

A

A

I

I

,证

(1)

由

A2

A

2I

0

得2故A

可逆，且A1

A

I

.4

(2)

由

A2

A

2I

0

得(

A

2I

)(A

3I

)

4I

,

(

A

2I

)

A

3I

I

,4故A

2I

可逆，且(A

2I

)1

A

3I

.P43

例13

修改8(3)

(

A

5I

)1

A

2

I

;设方阵A

满足A2

3A

2I

0,并求它们的逆矩阵。证明下列矩阵都可逆，例(1)

A;

(2)

A

(3)

A

5I

;证（略）(4)

2A

I

.答案2(1)

A1

A

3I

;4(2)

(

A

2I

)1

A

I

;13(4)

(2

A

I

)1

2A

5

I

.补设方阵B

满足B

2

B

(此时称B

为幂等矩阵)，A

I

B

,例证明A

可逆，并求A1

.2

A

A

3I

I

,由A2

(I

B)2

I

2B

B2

I

3B

I

3(A

I

),A2

3A

2I

0,

A(

A

3I

)

2I

,2故A

可逆，且A1

A

3I

.证得P43

例14(

A1

)1

A;(

A1

)T

(

AT

)1

;性质(3)

(k

A)1

1

A1

;k|

A1

||

A

|1

;(

AB)1

B1

A1

.仅证(5)

式因为(AB)(B1

A1

)

A(B

B1

)A1

A

A1

I

,证明所以(

AB)1

B1

A1

.五、可逆矩阵的性质[易犯错误(AB)1

A]1

B1P44(

A*

)1

(|

A|

A1

)1|

A|

1

A

.例

试化简

(

I

AB)T

(

AT

)1

.解

(

I

AB)T

(

A