高中-必修四第2章2.1课件

教师独具演示三维目标1．知识与技能了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示．掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．学会区分平行向量、相等向量和共线向量．通过对向和数量的本质区别．3．情感、态度与价值观通过学生对向量与数量的识别能力的训识客观事物的数学本质的能力．重点、难点重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量共线向量的概念，会表示向量．难点：向量的概念，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．教学建议1．本节的教学应当特别注意从向量的物理背景、几何背景入手，从学生熟悉的矢量概念引出向量概念，还可以要求学生自己举出一些“既有大小，又有方向的量”，从而使学生更好地把握向量的特点．2．本节介绍了两种向量的表示方法：几何表示和字母表示．几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，而字母表示则利于向量运算，这两种方法需要学生熟练掌握．教科书用黑体字母表示向量，如a，在手写时可用→a

表示．用有向线段表示向量时，要提醒学生注意A→B的方向是由点A

指向点B，点A

是向量的起点．3．相等向量是长度相等且方向相同的向量，相等向量是一类向量的集合．任何一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量与共线向量是等价的，这一点值得特别注意．还要注意平行向量与平行线段的区别．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．教学中，可以借助，通过向量的平移来说明向量的相等与起点无关．讲解中要求学生辨析“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法是否正确，目的是引导学生体会向量只与方向及模的大小有关而与起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．教学流程演示结束课标解读理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)理解共线向量、相等向量的概念．(难点)正确区分向量平行与直线平行．(易混点)【问题导思】1．在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？【提示】

面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．2．对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？【提示】

利用有向线段来表示．1．向量与数量(1)向量：既有

大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有

大小，没有

方向的量称为数量．2．向量的几何表示(1)

带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：

起点、

方向、长度．(2)向量可以用

有向线段表示，向量A→B的大小也就是向量A→B的长度

(或称模)，记作|A→B|.向量也可以用字母a、b、c…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如A→B、C→D.3．向量的有关概念零向量长度等于0

的向量，记作0单位向量长度等于

1

的向量平行向量(共线向量)方向相同或相反

的非零向量向量a，b

平行，记作a∥b规定：零向量与任一向量平行相等向量长度

相等且方向相同的向量向量a，b

相等，记作a＝b下列说法正确的有

．(1)若|a|＝|b|，则a＝b

或a＝－b；向量A→B与C→D是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；向量A→B与B→A是平行向量；任何两个单位向量都是相等向量．【思路探究】

明确向量的有关概念，根据定义进行判定．【自主解答】

(1)错误．由|a|＝|b|仅说明

a

与

b

模相等，但不能说明它们方向的关系．错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量 必须在同一直线上，因此点

A、BC、D

不一定在同一条直线上．正确．向量

是长度相等，方向相反的两个向量．错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．【答案】

(3)单位向量、零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的．对于概念性题目，关键把握好概念的内涵与外延，正确理解向量共线、向量相等的概念，清楚它们的区别与联系．判断下列说法是否正确，并简要说明理由：零向量只有大小没有方向；相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量；若向量a

与向量b

同向，|a|＞|b|，则a＞b；若a＝b，b＝c，则a＝c.【解】

(1)不正确，零向量的长度为零，方向是任意的并不是没有方向．正确，相等向量的方向相同，因此必是平行向量，但平行向量的长度不一定相等，因此不一定是相等向量．不正确，向量不能比较大小．正确．∵a＝b，∴a，b

的长度相等且方向相同；又∵

b＝c，∴b，c

的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.一辆消防车从A

地去B

地执行任务，先从A

地向北偏东30°方向行驶2千米到D

地，然后从D

地沿北偏东60°方向行驶6

千米到达C

地，从C

地又向南偏西30°方向行驶2

千米才到达B

地图2－1－1(1)画出A→D，D→C，C→B，A→B；(2)求B

地相对于A

地的位置向量．【思路探究】

按要求用直尺作出向量，解答时既要考虑向量大小，又要考虑其方向及起点．【自主解答】

(1)向量A→D，D→C，C→B，A→B．(2)由题意知A→D＝B→C，∴AD

綊BC，则四边形ABCD

为平行四边形．∴A→B＝D→C，则B

地相对于A

地的位置向量为“北偏东60°，6

千米”．1．作向量的一般步骤是：首先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．2．用向量知识解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型，然后解决数学问题．在某军事演习中，红方一支插包围，先从

A

处出发向西迂回了

100 km

到达

B

地，然后又改变方向向北走了

120 km

到达

C

地，最后又改变方向，向南偏东45°突进

80

2 km

到达

D

处，完成了对蓝军的包围(1)在如图2－1－2

所示的坐标纸上，用直尺和圆规作出向量A→B，B→C，C→D；图2－1－2(2)求出|A→D|.【解】

(1)向量A→B，B→C，C→D：(2)|A→D|＝202＋402＝205

(km).，O

是正六边形ABCDEF

的中心，且O→A

＝a，O→B

＝b.图2－1－3与a

的模相等的向量有多少个？与a

的长度相等，方向相反的向量有哪些？与a

共线的向量有哪些？请一一列出与a，b

相等的向量．【思路探究】借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断．【自主解答】(1)与a

的模相等的向量有23

个．寻找相等向量，先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线；寻找共线向量，先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量．向量的相关概念性质与几何知识交汇，要注意联系几何图形的相关性质，使向量与几何图形有机地结合起来．若将本例中的正六边形

ABCDEF

改为如图

2－1－4

所示的▱ABCD，则图2－1－4(1)与O→A的模相等的向量有多少个？(2)与O→A的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)写出与A→B共线的向量．【解】对向量的有关概念理解不清致误下列说法正确的个数是(

)①向量a，b

共线，向量b，c

共线，则a

与c

也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；③向量a

与b

不共线，则a

与b

都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．A．1

B．2

C．3

D．4【错解】

向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同(包括起点、终点)，同起点共线向量不是平行向量．【答案】

B

或C

或D【错因分析】对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同．【防范措施】正确理解共线向量、相等向量以及非零向量的概念及其性质是关键．【正解】

事实上，对于①，由于零向量与任意向量都共线，因此①不正确；对于②，由于向量都是 向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故②不正确；对于④，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故④不正确；a

与b

不共线，则a

与b

都是非零向量，否则，不妨设

a

为零向量，则

a与

b共线，与

a

与

b

不共线

，从而③正确．【答案】

A向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．共线向量与平行向量是一组等价的概念，两个共线向量不一定要在同一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向；向量与向量模的区别在于向量的模是指向量的长度，是数量，可以比较大小，但向量不能比较大小.)1．下列说法正确的是(A．若|a|＞|b|，则a＞bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若a＝b，则a

与b

共线D．若a≠b，则a

一定不与b

共线【解析】A

中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|＞|b|，但a

与b

的方向不确定，不能说a＞b，A

不正确；同理B

错误；D

中，a≠b，a可与b

共线．故选C.【答案】C2点放在同一点，那么A．一条线段C．圆上一群孤立的点B．D．一个半径为1【解析】

由于向量的始点确定，而向量平行于同一直线，所以随向量模的变化，向量的终点构成一条直线．【答案】

B3．

，在四边形ABCD

中，A→B＝D→C，且|A→B|＝|A→D|，则四边形

ABCD

为

．图2－1－5【解析】

∵A→B＝D→C，∴AB

綊DC，∴四边形ABCD

是平行四边形．∵|A→