多维空间的立体角

汪寅鹏多维空间的立体角2018/8/19 1/5多维空间的立体角立体角的概念在几何学、电动力学、光学、天文学等领域应用十分广泛。本文从二维空间的平面角开始对 n维空间的立体角进行探讨。平面角我们先来分析平面角的单位元，如图所示，单位元 ????可以表示为：????????=??其中，????的长度近似为????，设??→??的任意曲线微元（即为直线微元）为 ????，????与半径??的夹角为??，则：?????=????sin??对上述微元进行积分，则从 A到B的曲线对应的角为：????????=∫ sin??????设dl的法线方向的单位向量为??，设??与??的夹角为ψ则：????=-??2????????????????????=∫cos??=∫????????立体角对于三维空间的立体角，通常将某一曲面投影至球面，计算其与半径平方的商的曲面积分。汪寅鹏多维空间的立体角2018/8/19 2/5设曲面的面积微元为????（其大小代表曲面大小，方向为外法线方向）；设r为观测点指向面积微元的向量，则????在以??为半径的球上的投影面积为：??????????=⊥??立体角微元dΩ为：??????dΩ=??曲面对空间的立体角为：??????=∫?? ??不难得到，全空间的立体角 Ω=4π下面再给出几个特殊空间图形所张的立体角计算公式及值：顶角为2θ的圆锥：Ω=2π(1-cos??)半球：2π球面三角形：A+B+C-π四面体：对于任意四面体 OABC，设α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB，θ=12(α+β+γ)，则：tan

Ω

=√tan

θtan

θ-

αtan

θ-

βtan

θ-

γ4

2

2

2

2汪寅鹏多维空间的立体角2018/8/19 3/5正方体的一个顶角的立体角为 ??2，正四面体的一个顶角为 arctan1023√2（或者23arccos27）??维空间的立体角设n维立体角Ω的顶点位于 n维球的球心，设 n维球的表面积为 S，半径为R，则：??(??)??(??)=??-1??则问题的关键在于求出 n维球体的表面积：由Gauss公式：∫????????=∮????????? ????由于??代表n维球径向矢量，设：??=????+1??

????+????+?2 ?? 3??

+????????则：????=??222???????=??+??+???12??=????故：????(??)=????(??)????(??)=????(??)通过换元易得：( ) ??????=????(??)其中，??(??)为单位球体的体积：??(??)=∫????????????????012??V222:??+??+?+??≤1n012??()1??????????????12??-1-1????-1V222≤2:??+??+?+??1-??n-112??-1??故：??=???(1-2??-12??)??-1??-1??汪寅鹏多维空间的立体角2018/8/19 4/51??-11??-1β=β∫2????=2β∫2????(1-??)2(1-??)2nn-1-1n-10换元，令??=cos??????+1β=2??2Γ(2)∫sinn?????=√????n??-1??-1??1)0Γ(+2由于β=2，可得：1????2βn= ??Γ(+1)2最终可得：????2????(??)=?? ??Γ(+1)2????-1 2???? ????(??)= ????(2+1)??????(??)=列表如下：?? ??(??)?? 2?? 2????2?? 4????2 3?? 2????

????2????(2+1)??(??)2??2????43????31 2 4????

??(??)22??4??22???? 8 2 4????

28

2 5????

8 2??3??35??????163615????8147????393248105????

151 3 6????6163 7????10514 8????24324 9945????

33??163??151 4??3324105??汪寅鹏多维空间的立体角2018/8/19 5/5图像如下：附源代码：n=1:10;V=n