求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

求数列通项公式的十种方法 ,例题答案详解求数列通项公式的十一种方法 （方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的 11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学xx、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其xx形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。求数列通项公式的十种方法 ,例题答案详解三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1．适用于：---------- 这是xx的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。2．若，则两边分别相加得例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1[2(n1)1][2(n2)1](221)(211)12[(n1)(n2)21](n1)12(n1)n(n1)12(n1)(n1)1n2所以数列的通项公式为。例2 已知数列满足，求数列的通项公式。求数列通项公式的十种方法 ,例题答案详解解法一：由得则所以解法二：两边除以，得，则，故an(anan1)(an1an2)an2an3(a2a1a1nnan1an1n2(n2n3)21)33333333(2121212133n)(n1)(n2)(2)333333332(n1)(1111113nnn1n22)33333因此，则评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 ;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和 ;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例3.已知数列中, 且,求数列的通项公式.解:由已知得,求数列通项公式的十种方法 ,例题答案详解化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,,则此题也可以用数学 xx来求解.二、累乘法1.○。------------ 适用于： ---------- 这是xx的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2．若，则两边分别相乘得，例4已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，⋯），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1), 即时，求数列通项公式的十种方法 ,例题答案详解==.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.练习.已知,求数列{an}的通项公式.答案：-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为xx,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式 .三、待定系数法 适用于基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1．形如,其中)型1）若c=1时，数列{}为等差数列;2）若d=0时，数列{}为等比数列;3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设,得,与题设比较系数得求数列通项公式的十种方法 ,例题答案详解所以所以有：因此数列构成以为首项，以 c为公比的等比数列，所以 即：.规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6已知数列中，，求数列的通项公式。解法一：an 1 2(an1 1)又是首项为2，公比为2的等比数列，即解法二：an1 2an 1两式相减得，故数列是首项为 2，公比为2的等比数列，再用累加法的⋯⋯练习．已知数列中，求通项。答案：求数列通项公式的十种方法 ,例题答案详解2．形如：(其中q是常数，且n0,1)①若p=1时，即：，累加即可.②若时，即：，求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即：, 令，则,然后类型1，累加求通项.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。即：,令,则可化为.然后转化为类型 5来解，待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求 pq，否则待定系数法会失效。例7已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数法）：设，比较系数得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略求数列通项公式的十种方法 ,例题答案详解解法三（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略3．形如(其中k,b是常数，且)方法1：逐项相减法（阶差法）方法2：待定系数法通过凑配可转化为 ;解题基本步骤：1、确定=kn+b2、设等比数列，公比为 p3、列出关系式,即4、比较系数求 x,y5、解得数列的通项公式6、解得数列的通项公式例8在数列中，求通项.（逐项相减法）解：，①时，，两式相减得.令,则求数列通项公式的十种方法 ,例题答案详解利用类型5的方法知 即②再由累加法可得. 亦可联立 ① ②解出.例9.在数列中，,求通项.（待定系数法）解：原递推式可化为比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为.即：故.4．形如(其中a,b,c是常数，且)基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例10已知数列满足，求数列的通项公式。解：设比较系数得，所以由，得则，故数列为以为首项，以 2为公比的等比数列，因此，则。求数列通项公式的十种方法 ,例题答案详解形如时将作为求解分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。例11已知数列满足，求数列的通项公式。解：设比较系数得或，不妨取，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）则，则是首项为 4，公比为3的等比数列，所以练习.数列中，若,且满足,求.答案：.四、迭代法 ( 其中p,r为常数)型例12 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以anan3n12n1[an3(n21)2n2]3n2n1an32(2n1)n2(n2)(n1)[an3(n32)2n3]32(n1)n2(n2)(n1)an33(3n2)(n1)n2(n3)(n2)(n1)a13n123 (n2)(n1)n212 (n3) (n2) (n1)n(n1)a13n1n!2 2又，所以数列的通项公式为。求数列通项公式的十种方法 ,例题答案详解注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、对数变换法 适用于(其中p,r为常数)型 p>0，例14. 设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，，设，则是以 2为公比的等比数列，

，，，∴练习数列中，，（n≥2），求数列的通项公式 .答案：例15已知数列满足，，求数列的通项公式。解：因为，所以。两边取常用对数得设（同类型四）比较系数得，由，得，所以数列是以为首项，以 5为公比的等比数列，则，因此求数列通项公式的十种方法 ,例题答案详解则。六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例16已知数列满足，求数列的通项公式。解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，七、换元法 适用于含根式的递推关系例17已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则代入得1(bn211)1[141(bn21)bn]241624即因为，则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。求数列通项公式的十种方法 ,例题答案详解八、数学xx 通过首项和递推关系式求出数列的前 n项，猜出数列的通项公式，再用数学 xx加以证明。例18已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得a2a18(11)88224(211)2(213)2992525a3a28(21)248348(221)2(223)225254949a4a38(31)488480(231)2(233)249498181由此可猜测，下面用数学 xx证明这个结论。1）当时，，所以等式成立。2）假设当时等式成立，即，则当时，ak1ak8(k1)(2k1)2(2k3)2[(2k1)21](2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k3)21(2k3)2[2(k1)1]21[2(k1)1]2由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。九、阶差法（逐项相减法）求数列通项公式的十种方法 ,例题答案详解1、递推公式中既有，又有分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。例19已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。解：∵对任意有⑴∴当n=1时，，解得或当n≥2时，⑵⑴-⑵整理得：∵各项均为正数，∴当时，，此时成立当时，，此时不成立，故舍去所以练习。已知数列中,且,求数列的通项公式.答案：2、对无穷递推数列例20 已知数列满足，求的通项公式。求数列通项公式的十种方法 ,例题答案详解解：因为所以 ②用②式－①式得则故所以 ③

①由，，则，又知，则，代入③得。所以，的通项公式为十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。类型一：形如例21已知数列中，，求数列的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1∴，⋯⋯类型二：形如分析：递归函数为求数列通项公式的十种方法 ,例题答案详解1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，∴2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。例22.设数列满足,求数列的通项公式.分析：此类问题常用参数法化等比数列求解 .解：对等式两端同时加参数 t,得：,令,解之得t=1,-2代入得,,相除得,即{}是首项为，公比为的等比数列,=, 解得.方法2：，两边取倒数得，令b，则b,转化为累加法来求.例23 已知数列满足，求数列的通项公式。求数列通项公式的十种方法 ,例题答案详解解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。十一。特征方程法 形如是常数）的数列形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为⋯①若①有二异根，则可令是待定常数）若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得例24已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得，例25、数列满足，且求数列的通项