【知识点解析】《函数解析式的求法》课堂探究

函数解析式的求法求下列函数的解析式．活动与探究（1）已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x＋1）－f（x）＝2x，求f（x）；（2）已知f（

＋1）＝x＋

，求f（x）；（3）已知

＋f（x）＝x（x≠0），求f（x）；（4）已知对任意实数x，y都有f（x＋y）－2f（y）

＝x2＋2xy－y2＋3x－3y，求f（x）．求下列函数的解析式．活动与探究（1）已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x＋1）－f（x）＝2x，求f（x）；分析：已知f（x）是二次函数，可用待定系数法设出函数解析式，然后利用已知条件求出待定系数即可；解：（1）设所求的二次函数为f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），∵f（0）＝1，∴c＝1，则f（x）＝ax2＋bx＋1．求下列函数的解析式．活动与探究（1）已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x＋1）－f（x）＝2x，求f（x）；解：又∵f（x＋1）－f（x）＝2x对任意x∈R成立，即2ax＋a＋b＝2x．由恒等式性质，得∴所求二次函数为f（x）＝x2－x＋1．∴∴a（x＋1）2＋b（x＋1）＋1－（ax2＋bx＋1）＝2x，求下列函数的解析式．活动与探究（2）已知f（

＋1）＝x＋

，求f（x）；分析：可用换元法求解，令

＋1＝t；也可用拼凑法，将x＋

拼凑成关于

＋1的式子；解：（2）方法一：令

＋1＝t，则t≥1，即x＝（t－1）2，则f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1．故f（x）＝x2－1（x≥1）．求下列函数的解析式．活动与探究（2）已知f（

＋1）＝x＋

，求f（x）；解：（2）方法二：∵（

＋1）2＝x＋

＋1，∴f（x）＝x2－2，x≥1．∴x＋

＝（

＋1）2－1．∴f（

＋1）＝（

＋1）2－1，其中

＋1≥1．求下列函数的解析式．活动与探究（3）已知

＋f（x）＝x（x≠0），求f（x）；分析：用x替换

，构造关于f（x）与

的方程组，解方程组求出f（x）；解：（3）＋f（x）＝x，将原式中的x替换为

，求下列函数的解析式．活动与探究（3）已知

＋f（x）＝x（x≠0），求f（x）；解：得2f（x）＋

＝

．于是得关于f（x）与

的方程组解得f（x）＝（x≠0）．求下列函数的解析式．活动与探究（4）已知对任意实数x，y都有f（x＋y）－2f（y）

＝x2＋2xy－y2＋3x－3y，求f（x）．分析：利用赋值法，令x－y＝0，求出f（0）的值，再令y＝0，求得f（x），也可令x＝0，求出f（y），进而可得f（x）．求下列函数的解析式．活动与探究（4）已知对任意实数x，y都有f（x＋y）－2f（y）

＝x2＋2xy－y2＋3x－3y，求f（x）．得f（0）－2f（0）＝0，得f（0）－2f（0）＝0，即f（0）＝0．得f（x）－2f（0）＝x2＋3x，∴f（x）＝x2＋3x．再令y＝0，解：（4）方法一：∵f（x＋y）－2f（y）＝x2＋2xy－y2＋3x－3y

对任意x，y∈R都成立，故可令x＝y＝0，求下列函数的解析式．活动与探究（4）已知对任意实数x，y都有f（x＋y）－2f（y）

＝x2＋2xy－y2＋3x－3y，求f（x）．解：方法二：令x＝0，得f（y）－2f（y）＝－y2－3y，即－f（y）＝－y2－3y．因此f（y）＝y2＋3y．故f（x）＝x2＋