线性代数：22 矩阵的运算与概念课件

2.2矩阵的运算与概念，这个表就称为矩阵.a11

a12

a1nb1a21

a22

a2nb2am1

am2

amnbm这些有序数组可以构成一个表

在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：a11x1+a12x2++a1nxn

=b1a21x1+a22x2++a2nxn

=b2am1x1+am2x2++amnxn

=bm

2.1矩阵的概念说明2点：矩阵的行数与列数不一定相同，而行列式两者必须相同.矩阵是一个数表，而行列式是一个数值.2.2矩阵的运算与概念，这个表就称为矩阵.a11a11其中

aij称为矩阵的第

i行第

j列的元素.

一般情况下，我们用大写字母

A，B，C等表示矩阵.mn矩阵A简记为

A(aij)mn

或记作

Amn.a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amn定义1

由

mn个数

aij(i1,2,,m；j1,2,,n)排成一个

m行

n列的矩形表称为一个

mn矩阵，记作其中aij称为矩阵的第i行第j列的元素.a11什么是矩阵？黑客帝国3Thematrixrevolution什么是矩阵？黑客帝国3机器帝国集结了乌贼大军攻打真实世界仅存的人类城市－锡安城，锡安城内的人类拼死抵抗，但最后仍是兵败如山倒；另一方面，电脑人史密斯进化成为更高等的电脑病毒，几乎占领了整个矩阵（Matrix），甚至包括了“矩阵之母”－先知。经过与先知密谈的救世主尼奥进入机器城市，与矩阵的造物主达成停战协议。代价是尼奥必须进入矩阵，删除叛逃异变的强大病毒—史密斯。机器帝国集结了乌贼大军攻打真实世界仅存的人类城市－锡安城，锡零矩阵

所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.行矩阵与列矩阵

只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小写黑体字母

a，b，x，y等表示.例如a=(a1

a2

an)，b1b2bm

b=.负矩阵-a11

-a12

-a1n-a21

-a22

-a2n-am1

-am2

-amn称矩阵为A的负矩阵,记作–A.零矩阵a=(a1a2an)，b1bb11b21bn10b22bn200bnnB=.A=.a11a12a1n

0a22a2n

00ann

如下形式的

n

阶矩阵称为上三角矩阵.三角矩阵

如下形式的

n

阶矩阵称为下三角矩阵.方阵

若矩阵

A的行数与列数都等于

n，则称

A为

n阶矩阵，或称为

n阶方阵.b1100B=.A=.a11a12a110

00a22000annA=.对角矩阵

如下形式的n

阶矩阵称为对角矩阵.

对角矩阵可简单地记为A=diag(a11,a22,,ann).

单位矩阵(Identitymatrix)

如下形式的n

阶矩阵称为单位矩阵，记为En

或E.10

0010001E=.a1100A=2.2矩阵的运算定义1

设A与B为两个mn矩阵ABa11+b11

a12+b12

a1n+b1na21+b21

a22+b22

a2n+b2nam1+bm1

am2+bm2

amn+bmn=.a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnA=，b11

b12

b1nb21

b22

b2nbm1bm2

bmnB=，

A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与B的和，记为AB.即C=A+B.1.矩阵的加法

2.2矩阵的运算定义1设A与B为两个mn矩阵

设A,B,C都是mn矩阵.容易证明，矩阵的加法满足如下运算规律：

（1）交换律：

A+B=B+A;（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C);

（3）A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵;

矩阵的减法可定义为:

显然：若A=B，则A+C=B+C，A-C=B-C；若A+C=B+C，则A=B.（4）A+(-A)=O，其中O是与A同型的零矩阵.

设A,B,C都是mn矩阵.容易证明，矩阵的加法满足如a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnA=，

定义2

设A(aij)为mn矩阵则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩阵A的积，记为kA.即ka11

ka12

ka1n

ka21

ka22

ka2n

kam1

kam2

kamnkA=.2.数与矩阵的乘法a11a12a1n(5)

k(AB)kAkB；(6)(kl)AkAlA

；(7)(kl)Ak(lA)；(8)1A=A.

设A，B，C，O都是mn矩阵，k，l为常数，则矩阵数乘的性质性质(1)-(8)，称为矩阵线性运算的8条性质，须熟记.(5)k(AB)kAkB；设A，B，

例1．设357

22043012

3A=

，132

02157064

8B=

，求3A-2B.

解：3A-2B

357

22043012

3=3132

02157064

8-2264

04210140128

16-91521

66012

9036

9

=.7917

62-22

-50-9-2

-7=9-215-621-4

6-06-40-212-10

9-140-03-126-8

9-16

=例1．设3572204X

=½*(B-A)例2．已知357

22043012

3A=

，132

02157064

8B=

，且A+2X=B，求X.解：X=½*(B-A)例2．已知357某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000=1800020200+50100+30150+251803.矩阵的乘法

某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.1800018150=1815020180+50120+30160+251503.矩阵的乘法

某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.180001815016750=1675020190+50100+30140+251503.矩阵的乘法

某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000181501675010480=1048016200+20100+16150+161803.矩阵的乘法

某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.1800018150167501048010240=1024016180+20120+16160+161503.矩阵的乘法

某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000181501675010480102409680=968016190+20100+16140+161503.矩阵的乘法

某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000

定义3

设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：构成的mn矩阵C称为矩阵A与矩阵B的积，记为CAB.

则由元素

cijai1b1jai2b2j

aisbsj(i1,2,,m；j1,2,,n)

a11

a12

a1sa21

a22

a2sam1

am2

amsA=，b11

b12

b1nb21

b22

b2nbs1

bs2

bsnB=，c11

c12

c1nc21

c22

c2ncm1

cm2

cmnAB=.即3.矩阵的乘法

定义3设A是一个ms矩阵，B是一个s

cijai1b1jai2b2j

aisbsj(i1,2,,m；j1,2,,n).

a11

a12

a1sa21

a22

a2sam1

am2

amsb11

b12

b1nb21

b22

b2nbs1

bs2

bsnc11

c12

c1nc21

c22

c2ncm1

cm2

cmn=

ai1b1jai2b2j

aisbsj.(ai1

ai2

ais

)b1jb2jbsj

注：

A的列数等于B的行数，AB才有意义;

C的行数等于A的行数，列数等于B的列数.

因此，cij

可表示为A的第i行与B的第

j列的乘积.cij3.矩阵的乘法

cijai1b1jai2b2j矩阵乘法AB

：1.条件：前列=后行

2.结果：前行×后列

反例．设B=.

1-2-32-10A=

，010

-112151-2-32-10则AB=

010

-11215=无意义.m×

kk×

n相等m×n矩阵乘法AB：1.条件：前列=后行反B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-3（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7-6-9-3（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA==4-983解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法B=，求AB及

例6．设A=

，4-2-21B=

，求AB及BA.

4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3解：-32

-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.例6．设A=，4-2-21

例4．设A=

，4-2-21B=

，求AB及BA.

4

2-6-3AB=解：-32

-16168，BA=0

000B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.注2：矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA;注3：两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，但不能从AB=O，推出A=O或B=O

.注意：左乘右乘的不同例4．设A=，4-2-211110

例5．设A=

，B=

，求AB及BA.

2110

解：11102110AB=3110=21101110BA=3110=显然AB=BA

.定义：如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换.1110例5．设A=，B=显然AC=BC，但AB.

例6．设注4：矩阵乘法不满足消去律.显然AC=BC，但AB.例6．设注4：例8.100000001设A=则AA=100000001100000001100000001==A.显然AA=A，但AE，AO

.

例7．

对于任意矩阵A及相应的矩阵O，E，有AO=O，

OA=O；AE=A，

EA=A，EE=E.例8.1000000a11x1+a12x2+…+a1nxn

=

b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bsb=b1

b2

…bs

a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………as1

as2…asnA=Ax=b

x=x1

x2

…xn

例9.

线性方程组的矩阵表示（矩阵方程）a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1b=b应注意的问题(1)ABBA

；(3)AB=OA=O或B=O；

/(2)AC=BCA=B；

/矩阵乘法的性质(4)AA=AA=E或A=O.

/(1)(AB)C=A(BC)；(2)(A+B)C=AC+BC；(3)C(A+B)=CA+CB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB).应注意的问题(1)ABBA；(3)AB=OA=O或B4.方阵的幂

对于方阵A及自然数k

Ak=AA

A(k个A相乘)，称为方阵A的k次幂.

方阵的幂有下列性质：

(1)ArAs=Ar+s；

(2)

(Ar)s=Ars.问题：(A+B)2=?问题：(A+B)2=?②(A

B)2=A2

AB

BA

+B2

注:①(A+B)2

=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2

③

(A+B)(A

B)=A2

AB

+BA

B2

②(AB)2=A2ABBA+B2

定义4

将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A.即如果a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=则.

例如，设x=(x1

x2

xn)T，y=(y1

y2

yn)T，则(y1

y2

yn)xyTx1x2xn

==x1y1x2y1…xny1

x1y2x2y2…xny2

x1ynx2yn…xnyn

…………

.5.转置矩阵及对称方阵显然，ET＝E.定义4将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩转置矩阵有下列性质

(1)(AT)T=A；

(2)(A+B)T=AT+BT；

(3)(kA)T=kAT；a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=则.

定义4

将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A.即如果

(4)(AB)T=BTAT

.5.转置矩阵及对称方阵转置矩阵有下列性质a11a12a1n…A=，a11a21a

定义5

设A

为n阶方阵，若AT=A，则称A为对称矩阵，如果AT=-A，则称A为反对称矩阵.分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵.显然：A为对称矩阵的充分必要条件是aij=aji

;

A为反对称矩阵的充分必要条件是

aij=-aji.如：定义5设A为n阶方阵，若AT=A，则称A为对称矩定义6

设A是n阶方阵，由A的元素构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记为|A|或detA

.性质：设A、B为n阶方阵，k为数，则(1)|A|=|AT|;(3)|AB|=|A||B|.(2)|kA|=kn|A|;6.方阵的行列式显然，|E|=1.一般地，若A1,A2,…Ak都是n阶方阵，则

显然

定义6设A是n阶方阵，由A的元素构成的n阶行列式A——方阵

f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0

f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0E

f(x)——多项式

注意!!!

定义7.

方阵A的多项式

6.方阵的行列式A——方阵f(x)=asxs+as1xs1例10．设

求解:

因为由公式

则若先求得

同样

例10．设求解:因为由公式则若先求得同样例11．设

A，B均为四阶方阵，且.

计算.解

由方阵的行列式的运算规律，

例11．设A，B均为四阶方阵，且.2．设

A,B都是2阶方阵，且｜A｜=2，B=-3E，则

|ATB|=().

1．设

A是3阶方阵，且｜A｜=－2，则｜A2｜=()|2A|=(),|－A|=().

4-16218练习2．设A,B都是2阶方阵，且｜A｜=2，B=-3E，1．设作业：77页3(1)；4(2)(5)；

5；6;7;8

作业：77页3(1)；4(2)(5)；2.2矩阵的运算与概念，这个表就称为矩阵.a11

a12

a1nb1a21

a22

a2nb2am1

am2

amnbm这些有序数组可以构成一个表

在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：a11x1+a12x2++a1nxn

=b1a21x1+a22x2++a2nxn

=b2am1x1+am2x2++amnxn

=bm

2.1矩阵的概念说明2点：矩阵的行数与列数不一定相同，而行列式两者必须相同.矩阵是一个数表，而行列式是一个数值.2.2矩阵的运算与概念，这个表就称为矩阵.a11a148其中

aij称为矩阵的第

i行第

j列的元素.

一般情况下，我们用大写字母

A，B，C等表示矩阵.mn矩阵A简记为

A(aij)mn

或记作

Amn.a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amn定义1

由

mn个数

aij(i1,2,,m；j1,2,,n)排成一个

m行

n列的矩形表称为一个

mn矩阵，记作其中aij称为矩阵的第i行第j列的元素.a11什么是矩阵？黑客帝国3Thematrixrevolution什么是矩阵？黑客帝国3机器帝国集结了乌贼大军攻打真实世界仅存的人类城市－锡安城，锡安城内的人类拼死抵抗，但最后仍是兵败如山倒；另一方面，电脑人史密斯进化成为更高等的电脑病毒，几乎占领了整个矩阵（Matrix），甚至包括了“矩阵之母”－先知。经过与先知密谈的救世主尼奥进入机器城市，与矩阵的造物主达成停战协议。代价是尼奥必须进入矩阵，删除叛逃异变的强大病毒—史密斯。机器帝国集结了乌贼大军攻打真实世界仅存的人类城市－锡安城，锡零矩阵

所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.行矩阵与列矩阵

只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小写黑体字母

a，b，x，y等表示.例如a=(a1

a2

an)，b1b2bm

b=.负矩阵-a11

-a12

-a1n-a21

-a22

-a2n-am1

-am2

-amn称矩阵为A的负矩阵,记作–A.零矩阵a=(a1a2an)，b1bb11b21bn10b22bn200bnnB=.A=.a11a12a1n

0a22a2n

00ann

如下形式的

n

阶矩阵称为上三角矩阵.三角矩阵

如下形式的

n

阶矩阵称为下三角矩阵.方阵

若矩阵

A的行数与列数都等于

n，则称

A为

n阶矩阵，或称为

n阶方阵.b1100B=.A=.a11a12a110

00a22000annA=.对角矩阵

如下形式的n

阶矩阵称为对角矩阵.

对角矩阵可简单地记为A=diag(a11,a22,,ann).

单位矩阵(Identitymatrix)

如下形式的n

阶矩阵称为单位矩阵，记为En

或E.10

0010001E=.a1100A=2.2矩阵的运算定义1

设A与B为两个mn矩阵ABa11+b11

a12+b12

a1n+b1na21+b21

a22+b22

a2n+b2nam1+bm1

am2+bm2

amn+bmn=.a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnA=，b11

b12

b1nb21

b22

b2nbm1bm2

bmnB=，

A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与B的和，记为AB.即C=A+B.1.矩阵的加法

2.2矩阵的运算定义1设A与B为两个mn矩阵

设A,B,C都是mn矩阵.容易证明，矩阵的加法满足如下运算规律：

（1）交换律：

A+B=B+A;（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C);

（3）A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵;

矩阵的减法可定义为:

显然：若A=B，则A+C=B+C，A-C=B-C；若A+C=B+C，则A=B.（4）A+(-A)=O，其中O是与A同型的零矩阵.

设A,B,C都是mn矩阵.容易证明，矩阵的加法满足如a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnA=，

定义2

设A(aij)为mn矩阵则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩阵A的积，记为kA.即ka11

ka12

ka1n

ka21

ka22

ka2n

kam1

kam2

kamnkA=.2.数与矩阵的乘法a11a12a1n(5)

k(AB)kAkB；(6)(kl)AkAlA

；(7)(kl)Ak(lA)；(8)1A=A.

设A，B，C，O都是mn矩阵，k，l为常数，则矩阵数乘的性质性质(1)-(8)，称为矩阵线性运算的8条性质，须熟记.(5)k(AB)kAkB；设A，B，

例1．设357

22043012

3A=

，132

02157064

8B=

，求3A-2B.

解：3A-2B

357

22043012

3=3132

02157064

8-2264

04210140128

16-91521

66012

9036

9

=.7917

62-22

-50-9-2

-7=9-215-621-4

6-06-40-212-10

9-140-03-126-8

9-16

=例1．设3572204X

=½*(B-A)例2．已知357

22043012

3A=

，132

02157064

8B=

，且A+2X=B，求X.解：X=½*(B-A)例2．已知357某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000=1800020200+50100+30150+251803.矩阵的乘法

某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.1800018150=1815020180+50120+30160+251503.矩阵的乘法

某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.180001815016750=1675020190+50100+30140+251503.矩阵的乘法

某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000181501675010480=1048016200+20100+16150+161803.矩阵的乘法

某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.1800018150167501048010240=1024016180+20120+16160+161503.矩阵的乘法

某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000181501675010480102409680=968016190+20100+16140+161503.矩阵的乘法

某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000

定义3

设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：构成的mn矩阵C称为矩阵A与矩阵B的积，记为CAB.

则由元素

cijai1b1jai2b2j

aisbsj(i1,2,,m；j1,2,,n)

a11

a12

a1sa21

a22

a2sam1

am2

amsA=，b11

b12

b1nb21

b22

b2nbs1

bs2

bsnB=，c11

c12

c1nc21

c22

c2ncm1

cm2

cmnAB=.即3.矩阵的乘法

定义3设A是一个ms矩阵，B是一个s

cijai1b1jai2b2j

aisbsj(i1,2,,m；j1,2,,n).

a11

a12

a1sa21

a22

a2sam1

am2

amsb11

b12

b1nb21

b22

b2nbs1

bs2

bsnc11

c12

c1nc21

c22

c2ncm1

cm2

cmn=

ai1b1jai2b2j

aisbsj.(ai1

ai2

ais

)b1jb2jbsj

注：

A的列数等于B的行数，AB才有意义;

C的行数等于A的行数，列数等于B的列数.

因此，cij

可表示为A的第i行与B的第

j列的乘积.cij3.矩阵的乘法

cijai1b1jai2b2j矩阵乘法AB

：1.条件：前列=后行

2.结果：前行×后列

反例．设B=.

1-2-32-10A=

，010

-112151-2-32-10则AB=

010

-11215=无意义.m×

kk×

n相等m×n矩阵乘法AB：1.条件：前列=后行反B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-3（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7-6-9-3（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA==4-983解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法B=，求AB及

例6．设A=

，4-2-21B=

，求AB及BA.

4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3解：-32

-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.例6．设A=，4-2-21

例4．设A=

，4-2-21B=

，求AB及BA.

4

2-6-3AB=解：-32

-16168，BA=0

000B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.注2：矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA;注3：两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，但不能从AB=O，推出A=O或B=O

.注意：左乘右乘的不同例4．设A=，4-2-211110

例5．设A=

，B=

，求AB及BA.

2110

解：11102110AB=3110=21101110BA=3110=显然AB=BA

.定义：如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换.1110例5．设A=，B=显然AC=BC，但AB.

例6．设注4：矩阵乘法不满足消去律.显然AC=BC，但AB.例6．设注4：例8.100000001设A=则AA=100000001100000001100000001==A.显然AA=A，但AE，AO

.

例7．

对于任意矩阵A及相应的矩阵O，E，有AO=O，

OA=O；AE=A，

EA=A，EE=E.例8.1000000a11x1+a12x2+…+a1nxn

=

b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bsb=b1

b2

…bs

a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………as1

as2…asnA=Ax=b

x=x1

x2

…xn

例9.

线性方程组的矩阵表示（矩阵方程）a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1b=b应注意的问题(1)ABBA

；(3)AB=OA=O或B=O；

/(2)AC=BCA=B；

/矩阵乘法的性质(4)A