数值分析期末试卷2006-2011及课件信二学生会学习部

第六章数值微分和数值积分第六章数值积分和数值微分本章内容§1数值积分§2

数值微分4§1

数值积分§1

数值积分§1

数值积分110

0nn问题的提出被积函数的原函数不能用初等函数表示；被积函数的原函数过于复杂；原函数以表格形式给出；基本思想：用简单函数近似代替被积函数，然后建立如下求积公式baf

(

x)dx

A f

(

x

)

A f

(

x

)

A f

(

x

)n

Ai

f

(

xi

)i0§1

数值积分

A f

(

x

)

A f

(

x

)

A f

(

x

)f

(

x)dxn

0

0

1

1

n

nba

Ai

f

(

xi

)i0可以从以下不同角度建立求积公式求积公式具有最高的代数精确度；求积公式的余式具有最小的绝对值；求积公式的系数绝对值之和为最小；系数相等以便于计算f(x)a

x1……xn-1

bf(xn-1)1.1

对称的求积公式牛顿——柯特斯求积公式复化求积公式龙贝格法用差分表达的求积公式切

求积公式高斯求积公式重积分的求积公式§

1

数值积分7nf(x)

P

(x)anbaP

(

x)dxf

(

x)dx

1.2牛顿——柯特斯求积公式bI

banbanL

(

x)dx

(i

0ai

(

x)

f

(

xi

))dx

bain

ia

(

x)dx)

f

(

x

)(i

0baai

(

x)dx)

f

(

xi

)n

(i

0Ci:只与节点有关，与被积函数的形式无关(n

1)!Rn

(

x)

n(

x

x

j

)j0f

(n1)

(

)1b

fn

1)(!

ann1()

x

j0nR

等距情况下的xi=a+ih,h=(b-a)/nnI

ci

f

(xi

)称为牛顿—柯特斯求积公式i0§1数值积分8根据等距节点下的拉格朗日插值公式ci

ant)id)t.xi.t!(

in)!ib

(1)(in)x=a+thin)(hnci

0

.1)...(1(!(

in)!i(1)1))(...(1(h=(b-a)/nci

n01)...(1(

ttttinti)d).tab(1)

()ni!(

inin)!Ci(n)牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)系数§1数值积分

1.2牛顿——柯特斯求积公式910ni

ii

0ni

ii

0I

c f

(

x

)

(b

a)c

(n)f

(x

)

n阶Newton-Cotes公式Ck=Cn-k柯特斯系数具有对称性§1数值积分nCk(n)11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9016/452/1516/457/90519/28825/9625/14425/14425/9619/288641/8409/359/28034/1059/2809/3541/84077513577132317280298917280298917280132335777511728017280172801728017280898928350588828350

928283501049628350

4540283501049628350

92828350588898928350283501.2牛顿——柯特斯求积公式返回计算i

iI

i

0c f

(

x

)§1数值积分nni

0

(b

a)i(

n)if

(

x

)cf

(

x)dx

babaCdxn

ii

0c

(

n)C

(b

a)(b

a)Cni

0

(b

a)iC(

n)cni(

n)c

1ni

0

(b

a)ei|

|

f

(

x

)

|)ii

0(

n)(|

cn

ii

0(

n)|

c

|

1>11.2牛顿——柯特斯求积公式取f(x)=C系数表11当n=1时，C

(1)

=C

(1)

=1/20b物理意义：以过点(a,f(a)),(b,f(b))的直线代替曲线y=f(x),以梯形面积近似曲边梯形面积。又称为梯形公式。当n=2时物理意义：以过三点(a,f(a)),((a+b)/2,f((a+b)/2)),(b,f(b))的抛物线代替曲线y=f(x),求曲边梯形面积的近似值。又称为辛普生公式（Simpson）。§1数值积分1.2牛顿——柯特斯求积公式(

f

(a)

f

(b))2ab

a1f

(

x)dx

3

212

h

(

f

(a)

4

f

(a

b)

f

(b))6

2(

f

(a)

4

f

( )

f

(b))f

(

x)dx

b

a a

bba例6.1:用n=6牛顿—柯特斯公式计算下列定积分值110

1

xdx解：h=(b-a)/n=(1-0)/6=1/6ni

0I

(b

a)xi=0+i/6i(

n)if

(

x

)c840

1

01I

41

9

28021051

11

9

1

34

11

1

1

135193

6961

1

280

2

351341

15

840

1

1=0.04881+0.22041+0.02411+0.21587+0.01929+0.14026+0.02440=0.69315§1数值积分

1.2牛顿——柯特斯求积公式系数表131.1

对称的求积公式牛顿——柯特斯求积公式复化求积公式龙贝格法用差分表达的求积公式切

求积公式高斯求积公式重积分的求积公式§

1

数值积分14M个小段hh=(b-a)/Mba

n小段(m=M/n)个大段§1数值积分n1.3复化求积公式ni

ii

0(

n)(|

c

|

|

f

(

x

)

|)

(b

a)e

i

ii

0I

c f

(

x

)ni

0

(b

a)i(

n)if

(

x

)cni

0i(

n)|

c

|

115>112230

110h(

f

f

)

h

f

''(

)xf

(

x)dx

a

f

)

...

h

(

f

f

)

R2

2

f

)

h

(

f2b

hf

(

x)dx

(

f2

M

1

M0

1

11

1I

h(

f

f

f

f

f

)2

0

1

2

M

1

2

M§1

数值积分1.复化梯形公式x12Mh3R

f

''(

)

f

''(

)

(b

a)h212(b

a)3f

''(

)12M

2(b

a)31.3复化求积公式复化梯形公式f

''(

)

(b

a)312M2m2

212M

12

M

m

(b

a)312max

|

f

''(

x)

|

m2a

xb复化梯形公式

)90h3f

(4)51

20f

f

f

)4(

h2公式xf

x)d(

x

§1

数值积分2.复化x0M

4

f

f

)

(

f

4

f

f

)

...

(

f

4

f

f

)]

Rba3f

(

x)dx

[(

fM

1012

2

3

4

M

2M个小段ba

n小段hM

=2m1.3复化求积公式复化公式复化公式：f0+4f1+f2f2+4f3+f4f4+4f5+f6f6+4f7+f8

...

f3M

2

...

f

)]2)

2(

f4M

113)

4(

f

f0I

h[(

f

f

fM172(

)

90(4)h5MR

fMh=(b-a)f

(4)

(

)180(b

a)h4R

h=(b-a)/2mf

(

4)

(

)(b

a)54

4180

2

mR

)(

b

a)(52880m4f

(4)(b

a)54m

2880m42880(b

a)5

mm

[4

4

]

1§1

数值积分1.3复化求积公式复化公式18§1

数值积分例6.2

对定积分610sin

xxdx,R

10

分别用复化梯形公式或复化辛卜生公式计算时，需要f

(

x)

sin解：先确定m2,m4,10f

'(

x)

t

sin

txdtf

''(

x)

1t

cos(tx

)dt(

k

)f

(

x)

(

x)

|kk01t

|

cos(tx

0|

f

()k2k2k1)|

dt

k

1m2

,

m4<1/5m2

]

1(b

a)312复化梯形公式M

[复化辛卜生公式1

1]

112*106

3M

[=167M=2m=62880(b

a)5

mm

[4

4

]

1可见，为达到相同精度，复化梯形公式需要的计算量比复化辛卜生公式计算量大1.3复化求积公式 复化 公式19M个小段abn=3小段M

=3mf

(

x3x0xf

(

x20ba§

数值积分.3复化求积公式复化3/8公式

3(

f1

f2

...

f

M

23hI

[(

f

f

)

2(

f

f

...

f

)8

0

M

3

6

M

3f0

3

f1

3

f2

f3f3

3

f4

3

f5

f6f6

3

f7

3

f8

f9f9

3

f10

3

f11

f12(4)3h5R

mf

(

)80m=M/380

33h5

M(4)f

(

)R

Mh=b-a80(4)(b

a)h4R

f

(

)h=(b-a)/Mf

(4)

(

)2180M

45

f

M

1

)]R

(b

a)§1数值积分

1.3复化求积公式复化3/8公式复化3/8公式：M个小段abn=4小段M

=4m4h

90f

(

x)dx

4x0x900ab

4hf(

x)dx

[(7

f

(7

f4复化柯特斯公式：4h022*M/4§1

数值积分1.3复化求积公式复化柯特斯公式例:利用M=10复化辛卜生公式计算积分并估算误差1

xI

10dx解：M=10，m=5，h=(b-a)/M=(1-0)/10=0.1)]3M

240

M

1

3

M

1

2I

h[(

f

f

)

4(

f

f

...

f

)

2(

fI

0.1[(

11

0

1

1

1

)

4(1

1

1)

f

...

f1

11

0.1

1

0.3

1

0.5

1

0.7 1

0.9

11

0.23

2(1

1

1231

0.4

1

0.6 1

0.8

)]=0.03333*[(1+0.5)+4(0.90909+0.76923+0.66667+0.58824+0.52632)+2(0.83333+0.71429+0.62500+0.55556)]=0.03333*20.79456=0.69308估计舍入误差，fi的舍入误差i0.5*10-5.中括号内的舍入误差(0+10)+4(1+3+5+7+9)+2(2+4+6+8)≤(4

5+2

3)

0.5

10-5=1.3

10-6=0.033331.310-6+20.794560.5*10-5=0.4310-5+0.110-3

=0.110-3§1

数值积分

1.3复化求积公式例6.3

利用M=10复化辛卜生公式计算积分并估算误差0

1

x1I

dx

(1

x)5f

(4)

(x)

24估计截断误差max

|

f(4)

(

x)

|

240

x1(

)

|180(b

a)h4|

R

||

f(4)424

(1

0)

0.14

24

0.13

10180§1

数值积分

1.3复化求积公式=1.3*10-5+

0.1*10-3=0.5*10-3I0.693值及积分值仍有效25ab2b

aT1

[

f

(a)

f

(b)]§1

数值积分

1.3复化求积公式使用复化求积公式，当需要加密分点时，已算出的函数42T

b

a

[

f

(a)

f

(a

b

a

)

f

(a

b

a

)

f

(b)]abb

a2a

2

222

2

b

a

f

(a

b

a

)1ba[f(a)f(b)]2T14a

h

b

a

b48

4

24f

(a

3(b

a))]}T

b

a{

f

(a)

f

(b)

2[

f

(a

b

a)

f

(a

b

a)

2

4

2

2

1

{b

a

[

f

(a)

f

(b)]

b

a

f

(a

b

a

)}

b

a

[

f

(a

b

a

)

f

(a

3(b

a))]4

4

4T2当区间[a,b]分为2k等分，步长h=(b-a)/2k,复化梯形递推公式为12k

1i1

h

f

[a

(2i

1)h]T

k

T

k

12

2

2确定满足误差限要求的分段数M根据余式作估算事后估计误差法TMT2MI

baf

(

x)dxf

''(

1

)12(b

a)h2I

TM

12

222(

)

f

''(

)

(b

a)

h2

MI

T

M

4I

T2MI

T1I

T2

M

3

(T2M

M

)§1

数值积分

1.3复化求积公式261

(S2M

SM

)15I

S2

M§1

数值积分同样复化辛卜生公式有复化柯特斯公式有1

(C2

M

CM

)63I

C2

MMTI

4

14

12

MT

4

1

1

SM14242

1

S2

MI

42

1

CM27

1

C2

M14343I

431.3复化求积公式1.1

对称的求积公式牛顿——柯特斯求积公式复化求积公式龙贝格法用差分表达的求积公式切

求积公式高斯求积公式重积分的求积公式§

1

数值积分2832

M2

MI

T

1

(T

)M1214T

124

1

4

1

3T

4

T

1

T2

2)

f(b)]3b

a

1[

f(a)

f(a

4

b

a

1

1

b

a

[

f

(a)

f(b)]f

(b)}1332f

(a

342

33

2)

f

(b)]

1

f

(a)

3b

a

2{[

f

(a)

3

2

2

b

a

242

3

3

2

3b

a

1[

f

(a)

f

(a

)

f

(b)]

b

a

1辛卜生公式I

b

a

(

f

(a)

4

f

(a

b)

f

(b))6

2=S1§1

数值积分291.4龙贝格法12114T

T4

1

4

1S

S2

4

1

T4

4

1

T2142kT2kT

2k

1S

4

114

14复化梯形递推公式构成的序列T1

T2

T4…4242C1

=

421

1

S2

1

S1

1

S2k142C

k

2

42

42

1

S2k

1kkC24322

4343

11

1R

Ck

1辛卜生序列S1

S2

S4…龙贝格序列R1

R2R4…柯特斯序列C1

C2

C4…龙贝格求积法1301

1

255

0.004(m

4)4m§1

数值积分1.4龙贝格法T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R2…………R

k2C

k2S

k2T

k2§1

数值积分311.4龙贝格法3210

1

x

2例6.4求I

4

dx 的近似值，要求稳定到小数后5位解：41

x

2f

(

x)

211T

[

f

(0)

f

(1)]1

42 1

0

[122

1T

1

[T

f

(

)]214]

1

[321

4

1

[3

214T

T3

3S

2 1

4

3.1

32

4

4

44

2T

1

T

1

[

f

(

1

)

f

(

3

)]=3.13118221k

1k

hT

T2S

4T

T22=3.156S2

S11C=3.14212C2=3.141598T

=3.13899S4=3.14159§1

数值积分

1.4龙贝格法331.1

对称的求积公式牛顿——柯特斯求积公式复化求积公式龙贝格法用差分表达的求积公式切

求积公式高斯求积公式重积分的求积公式§

1

数值积分34f

(t)dt

ni

ii

011c

f

(t

)§1数值积分

1.7

高斯求积公式如果一个求积公式对任意n次多项式精确成立，而对大于n的多项式不精确成立，称该求积公式具有n次代数精确度。高斯求积公式的方法原则是使求积公式对次数尽可能高的多项式精确成立。

n

(t)i1n1'n

(ti

)(t

ti

)nL

(t)

iy(t–t1)…(t–tn)(t)

nn

(t

))dt

1111y

]dt)[f

(t

)ni

1

ii11dt

]

y)n

(t

)n

[i

1ci§1数值积分1.7式增加m个新节点,tn+1

n+2t

…tn+mmnyi

ai

yiin1(2)i1(1)Lmn1

(t)

ai(1)i

in

iinmn1

n2ti

tnm

))(t

tt

t

)))(t

tt

)( (t

t('t

)(t

t

)

(t

ta

t

)(

n

ttni1t

t1n1

i

n2t

ti

(1)t

i

tn2t

i

tn1t

i

tnm1)...(

t

ti

)]t

ti[(1

'n

(ti

)(t

ti

)

n

(t)'(

ttt)(

)

n

()t210i

)(m..]iiktktttkttm1

01m1iini[()k(k..t.k)]ttt)

'()

t

n

()t

n

()t'

ttt)(

m-1m1Q

(t)35)).(2)i

n1n

i

ni(t

t

t

)()t(i

tn

)...(ti

ti

1

)(ti

ta t

)(f

(t

)dt

1111(t

)dtLn

m

1

n

(t

)nmi

n1i

1iii(t

)dt

]y(t

)dt

]y11

n

m

1~11

n

m

1ndt

]y

[i

1(t

)Q11n

[[(t

)Q)'Qm-1(t)§1

数值积分1.7

高斯求积公式t

)((t tn1

)(t

tn2

)...(t

tndnnn

n!2dt

nt

2取

()tp

1)(作为1，并取m=n。n

(t

)勒让德多项式36§1数值积分勒让德多项式性质：–(1)勒让德多项式是[-1,1]区间上的正交函数组，即371

0,(m

n),(m

n)22n

11Pn

(t

)Pm

(t

)dt–(2)对一切k<n，有Pn

(t

)Qk

(t

)dt

011–(3)

n次勒让德多项式有n个不同的零点。Pn

(t)

(t

t1

)(t

t2

)...(t

tn

)1.7

高斯求积公式1Lnm1

(t

)dt1

11f

(t

)dt

n

m

1

n

m

1nmi

n1i

1iii(t

)dt

]y(t

)dt

]y(t

)Q11~(t

)Q11ndt

]y

[i

111

n

(t

)n

[§1数值积分

1.7

高斯求积公式令m=n,取n次勒让德多项式的n个零点t1

,t2,…,tn作为插值节点[)'21n1tLdt

ft()

dt

ni

1in'(

)(

tPtt)if

(2n)

(

)n

()tPdt

]

y11111([)高斯求积公式Rn

112f

(

2n)

(

)P

n

(t

)dt

2(2n)!2n

1[(2n)!]3(n!)42n138baf

(

x)dxx

2

2

ta

b

b

a-1tab0

1a

b2xf

(a

b

b

a

t

)dt2

2211b

a11f

(t)dt

ni

ii1

yb

af

(

x)dx

ni

ii1ba

f

(

x

)2ii其中x

a

b

b

a

t2

22n

139f

(2n)

(

)[(2n)!]3(n!)42n1Rn

(b

a)§1数值积分1.7

高斯求积公式例6.10

利用高斯求积公式(n=3)求下列积分1

2

xdx10I

解：按照公式iix

2

2

ta

b b

a求解以下节点值0

1x

1

1

t

1

1

*

(0.77460)

0.112702

2

2

22

2

2

21

1

1

1

*

0

0.50000

t2

x1

2

2

2

233x

1

1

t

1

1

*

0.77460

0.887301

1f

(

x

)

1

2x

1.10698f

(

x2

)

1

2x2

1.414213

3f

(

x

)

1

2

x

1.66571240I

1

0

(0.55556*

1.10698+0.88889*1.41421+0.55556*1.66571)=1.39870§1

数值积分

1.7

高斯求积公式1§1数值积分2

2

2

2

2

21

1

3

5

7

911f

(6)

(

x)

(

)(

)(

)(

)(