小学数学教师招聘考试专业知识

数学教师招聘考试专业知识复习一、复习要求(由于招考题目仅为高考知识，所以本内容以均为高考知识点)1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集,子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；4、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。二、学习指导1、集合的概念：(1)集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；(2)集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集.如数集{yIy=x2),表示非负实数集，点集{(x,y)Iy=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；(3)集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N二{0,1,2,+3,…};②描述法。2、两类关系：(1)元素与集合的关系，用或表示；(2)集合与集合的关系，用，，二表示，当AB时，称A是B的子集;当AB时，称A是B的真子集。3、集合运算(1)交,并，补，定义：AHB={xIxGA且xGB},AUB={x|x£A,或x£B},CnA={xIxGU,且xA},集合U表示全集；(2)运算律，如AH(BUG)=(AHB)U(AHC),CjAHB)=(CA)U中)，C(AUB)=(CA)n(CB)等。u u u4、命题：(1)命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；(2)复合命题的形式:p且q,p或q,非p；(3)复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假对P或q而言，当P、q均为假时，其为假；当P、q中有一个为真时,其为真；当P为真时,非P为假；当P为假时,非P为真。(3)四种命题:记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则P"，逆否命题为〃若非q则非P其中互为逆否的两个命题同真假，即等价.因此，四种命题为真的个数只能是偶数个.5、充分条件与必要条件(1)定义：对命题“若P则q”而言，当它是真命题时，P是q的充分条件，q是P的必要条件，当它的逆命题为真时，q是P的充分条件，P是q的必要条件,两种命题均为真时，称P是q的充要条件；(2)在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看若记满足条件P的所有对象组成集合A,满足条件q的所有对象组成集合q,则当AB时，p是q的充分条件。BA时,p是q的充分条件。A=B时，p是q的充要条件；(3)当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想.6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题.三、典型例题例1、已知集合M二{y|y=x2+l,x£R},N={y|y=x+Lx£R},求MGN。解题思路分析：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征.M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合或者说使集合的特征明朗化。M={yIy=x2+l,xGR}=(y|y^l},N={y|y=x+l,x£R}=(yIy£R}MAN=M={yIyNl}说明：实际上，从函数角度看，本题中的M,N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x),x£A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{(x,y)|y=x2+l,xGR)是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+l上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{yIy^D={xIxNl}.例2、已知集合A={xIx2-3x+2=0},B+{xIX2-mx+2=0},且AGB=B,求实数m范围。解题思路分析：化简条件得A二{1,2},AnB=BBA根据集合中元素个数集合B分类讨论,B=@,B={1}或{2},B={1,2}当B=@时，△=m2—8<0当B={1}或{2}时，，m无解当B二{1,2}时，m=3综上所述，m=3或说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B=｛1｝或｛2｝时，不能遗漏^力。例3、用反证法证明：已知x、y£R,x+y三2,求证x、y中至少有一个大于1。解题思路分析：假设x〈1且y<1,由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+yN2矛盾•・假设不成立x、y中至少有一个大于1说明；反证法的理论依据是:欲证“若p则q”为真,先证“若p则非q"为假，因在条件P下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若P则非q”为假时，“若P则q”一定为真。例4、若A是B的必要而不充分条件,C是B的充要条件,D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件.解题思路分析：利用符号分析各命题之间的关系DCBA•・DA,D是A的充分不必要条件说明：符号具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。例5、求直线2：ax-y+b=O经过两直线2j2x—2y-3=0和J:3x—5y+l=0交点的充要条件。解题思路分析:从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明.由得4,q交点p()/2过点p17a+4b=ll充分性：设a,b满足17a+4b;H*

••代入2方程：整理得：此方程表明，直线2恒过两直线的交点()而此点为2与2的交点1 2・•・充分性得证・•・综上所述，命题为真说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“”，双向传输，同时证明充分性及必要性;另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性.四、同步练习(一)选择题1、设M二(x|x2+x+2=0},a=lg(lglO),贝U{a}与M的关系是A、{a}=M B、M{a} C、{a}M D、M{a}2、已知全集OR,A={xIx-aI<2},B={x|x-11三3},且AnB=@,则a的取值范围是A、[0,2]B、(—2,2)C、(0,2]D、(0,2)3、已知集合M={xIx=a2-3a+2,a^R},N、{xIx=b2-b,b£R},贝N的关系是A、MN B、MN C、M=N D、不确定4、设集合A={xIx£Z且一lOWxW-1},B;{x|x£Z,且Ix|<5),则AUB中的元素个数是A、11 B、10 C、16 D、155、集合M二(1,2,3,4,5)的子集是A、15 B、16 C、31 D、326、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真7、“aW8”是COSCLWcosB”的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件8、集合A={x|x=3k—2,k£Z},B={yIy=3^+l,2£Z},S={y|y=6m+Lm£Z}之间的关系是A、SBAB、S=BAC、SB=AD、SB=A9、方程mx2+2x+l=0至少有一个负根的充要条件是A、0〈mWl或m<0 B、0〈mWlC、m〈1 D、mWl10、已知p:方程x2+ax+b=0有且仅有整数解,q：a,b是整数，则p是q的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件充要条件 D、既不充分又不必要条件(二)填空题11、已知M={},N;{x|,贝IjMnN=o12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是人。13、关于x的方程|x|-Ix-1I=a有解的充要条件是14、命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零〃的逆否命题为15、非空集合p满足下列两个条件：(1)p{l,2,3,4,5),(2)若元素a£p,贝I]6一a£p,贝U集合p个数是。(三)解答题16、设集合A二{(x,y)|y=ax+l),B={(x,y)|y=Ix|},若AnB是单元素集合，求a取值范围。17、已知抛物线C：y-x2+mx-1,点M(0,3),N(3,0),求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件.18、设A={xIx2+px+q=0} M;{1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若 AHN=A,求p、q的值.19、已知，b=2一x,c=x2一x+1,用反证法证明：a、b、c中至少有一个不小于lo函数一、复习要求7、函数的定义及通性；2、函数性质的运用。二、学习指导1、函数的概念：(1)映射:设非空数集A,B,若对集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b与之对应,则称从A到B的对应为映射，记为f：A-B,f表示对应法则，b=f(a)o若A中不同元素的象也不同，则称映射为单射，若B中每一个元素都有原象与之对应，则称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。(2)函数定义:函数就是定义在非空数集A,B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|xGA}为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。逆过来，值域也会限制定义域.求函数定义域,通过解关于自变量的不等式(组)来实现的.要熟记基本初等函数的定义域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集.复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域,还要考虑到外函数对应法则的要求。理解函数定义域，应紧密联系对应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格,解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式.求已知类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法及凑合法.求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法,反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值(极值)更加方便。在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就是建立函数解析式,借助于求函数值域的方法。2、函数的通性(1)奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时,应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如，(f(x)WO)。奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称.函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤.(2)单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。判断函数单调性的方法：①定义法，即比差法②图象法；③单调性的运算性质(实质上是不等式性质)：④复合函数单调性判断法则。函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。(3)周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。求周期的重要方法:①定义法；②公式法；③图象法；④利用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),aWb,则T=2Ia-b|。(4)反函数:函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前首先要判断函数是否具备反函数，函数f(x)的反函数f—i(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数》(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。设函数f(x)定义域为A,值域为C,则f-i[f(x)]=x,x£Af[f-i(x)]二x,x£C8、函数的图象函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。图象作法：①描点法;②图象变换应掌握常见的图象变换。4、本单常见的初等函数;一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法(变量代换法)解题.联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意，找准数量关系，把握好模型是解应用题的关键。5、主要思想方法:数形结合，分类讨论，函数方程，化归等.三、典型例题例1、已知，函数y=g(x)图象与y=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称,求g(11)的值。分析：利用数形对应的关系，可知y=g(x)是y=f-i(x+1)的反函数，从而化g(x)问题为已知f(x)。.1y=f-i(x+1)x+l=f(y)x=f(y)一1y=f-i(x+1)的反函数为y=f(x)-1即g(x)=f(x)一1g(11)=f(11)-1=评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当f(x)存在反函数时，若b=f(a),则a=f-i(b)。例2、设f(x)是定义在(-8,+oo)上的函数，对一切xGR均有f(x)+f(x+2)=0,当T〈xWl时，f(x)=2x-1,求当1〈xW3时，函数f(x)的解析式。解题思路分析：利用化归思想解题f(x)+f(x+2)=0f(x)=—f(x+2)该式对一切x£R成立以x-2代x得：f(x-2)=一f[(x-2)+2]=-f(x)当1〈xW3时，-1〈x-2W1f(x—2)=2(x—2)—l=2x—5f(x)=一f(x-2)=-2x+5f(x)=—2x+5(1〈xW3)评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域,另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。例3、已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数当x£[-1,2]时，f(x)的最小值，且f(x)+g(x)为奇函数，求f(x)解析式.分析：用待定系数法求f(x)解析式设f(x)=ax2+bx+c(aWO)贝ljf(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c—3由已知f(x)+g(x)为奇函数f(x)=x2+bx+3下面通过确定f(x)在［—1,2］上何时取最小值来确定b,分类讨论。,对称轴(1)当三2,bW-4时,f(x)在［-1,2］上为减函数*••2b+7=lb=3(舍)(2)当(一1,2),-4<b〈2时*••・•・(舍负)(3)当W-1,bN2时,f(x)在［―1,2］上为增函数(f(x)=f(1)=4—b

min4—b=lb=3，，或评注:二次函数在闭区间上的最值通常对对称轴与区间的位置关系进行讨论，是求值域的基本题型之一.在已知最值结果的条件下，仍需讨论何时取得最小值。例4、定义在R上的函数y=f(x),f(O)WO,当x〉0时,f(x)〉1,且对任意的a、b£R,有f(a+b)=f(a)f(b),(1)求证：f(0)=1；(2)求证：对任意的x£R,恒有f(x)>0;(3)证明：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)•f(2x一X2)>1,求x的取值范围。分析：(1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2f(0)WOf(O)=l(2)令a=x,b=一x贝ljf(0)=f(x)f(一x)*

••由已知X〉0时，f(x)〉l〉O当x〈0时，-x)0,f(一x)〉0*

••又x=0时，f(0)=1)0对任意x£R,f(x)〉0(3)任取x〉x,则f(x)>0,f(x)〉0,x-x〉02 1 2 1 2 1*

••f(x)〉f(x)2 1f(x)在R上是增函数(4)f(x),f(2x-x2)=f[x+(2x—X2)]=f(一x2+3x)又l=f(0),f(x)在R上递增由f(3x—X2)>f(0)得：3x—x2>00<x<3评注:根据f(a+b)=f(a)•f(b)是恒等式的特点对a、b适当赋值。利用单调性的性质去掉符号“f〃得到关于x的代数不等式，是处理抽象函数不等式的典型方法。例5、已知lgx+lgy=21g(x一2y),求的值。分析：在化对数式为代数式过程中，全面挖掘x、y满足的条件由已知得x=4y,*••例6、某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1。2万件，1。3万件，为了估测以后每个月的产量以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可选用y=abx+c(其中a,b,c为常数)或二次函数，已知4月份该产品的产量为1。37万件,请问用哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.分析：设f(x)=px2+qx+r(pWO)则*••f(4)=-0o05X42+0o35X4+0o7=1o3设g(x)二abx+c贝g(4)=—0.8X0.54+1o4=1.35|lo35—lo37I<I1.3-1.371，选用y—0.8X(0.5b+1.4作为模拟函数较好。四、巩固练习(一)选择题1、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上单调递增，设a=f(3),b=f(),c=f(2),则a,b,c大小关系是A、a>b)c B、a)c>b C、b〉c〉a D、c)b>a2、方程(a〉0且aWl)的实数解的个数是A、0 BA、0 B、13、的单调减区间是A、(—8,1) B、(1,+8)(—8,+OO)9、函数的值域为A、(—8,3]B、(—8,-3]C、2 D、3C、(-8,—1)U(l,+8)D、C、(-3,+8)D、(3,+8)函数y=log2Iax-11(aWb)的图象的对称轴是直线x=2,则a等于A、 B、 C、2 D、-26、有长度为24的材料用一矩形场地，中间加两隔墙，要使矩形的面积最大,则隔壁的长度为

A、3B、4A、3B、4C、6D、12(二)填空题7、已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x+2)=—f(x),且当OWxW1时，f(x)=x,贝lj=o8、已知y=log(2-x)是x的增函数，则a的取值范围是。a9、函数f(x)定义域为［1,3］,则f(x2+l)的定义域是o10、函数f(x)=x2—bx+c满足f(1+x)=f(l-x)，且f(0)=3,则f(bx)与f(ex)的大小关系是On、已知f(x)=log3x+3,x€［1,9］,则y=［f(x)】2+f(X2)的最大值是o12、已知A={y|y=x2-4x+6,y£N},B={yIy=一x2-2x+18,y£N},贝ljAHB中所有元素的和是o13、若@(x),g(x)都是奇函数，f(x)=m@(x)+ng(x)+2在(0,+8)上有最大值，则f(x)在(-8,0)上最小值为o14、函数y=log?(X2+1)(x)0)的反函数是o15、求值：=.(三)解答题16、若函数的值域为［-1,5］,求a,c。17、设定义在［-2,2］上的偶函数f(x)在区间［0,2］上单调递减，若f(1-m)<f(m)，求实数m的取值范围。18、已知0〈a〈1,在函数y=logx(xNl)的图象上有A,B,C三点，a它们的横坐标分别是t,t+2,t+4(1)若AABC面积为S,求S=f(t)；(2)判断S=f(t)的单调性；(3)求S=f(t)最大值.19、设f(x)=,x£R(1)证明：对任意实数a,f(x)在(-8,+oo)上是增函数；(2)当f(x)为奇函数时，求a；(3)当f(x)为奇函数时，对于给定的正实数k,解不等式。20、设函数f(x)二的定义域为[m,n],值[loga(n—1),logaa a(m-1)],(1)求证:m〉3；(2)求a的取值范围。数一、复习要求n、 等差数列及等比数列的定义，通项公式，前n项和公式及性质；2、一般数列的通项及前n项和计算。二、学习指导1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示.研究数列，首先研究对应法则--通项公式:a=f(n),n£N,要能合理n +地由数列前n项写出通项公式，其次研究前n项和公式S：S=a+a+…a,nn1 2 n由s定义，得到数列中的重要公式:。nTOC\o"1-5"\h\z一般数列的a及S,,除化归为等差数列及等比数列外,求S还有下列nn n基本题型：列项相消法，错位相消法。2、等差数列(1)定义，{a}为等差数列a-a=d(常数)，n£N2a=a+a(nn n+1n +nn—1 n+1三2,n£N)；+(2)通项公式：a=a+(n-1)d,a=a+(n—m)d；nn nm前n项和公式:；(3)性质：a=an+b,即a是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差;n nS=an2+bn,即S是n的不含常数项的二次函数；n n若{a},{b}均为等差数列，则{a+n},{},{ka+c}(k,c为常数)n n nn n均为等差数列；当m+n=p+q时，a+a=a+a,特例：a+a=a+a=a+a=…；mnpq 1n2n—1 3n—2当2n=p+q时，2a=a+a；11Pq当n为奇数时，S=(2n—l)a；S=a,S=ao2n——1 n奇中偶中3、等比数列(1)定义：=q(q为常数，aW0);a2=aa(n三2,n£N)；TOC\o"1-5"\h\zn nn-1n+1 +(2)通项公式：a=aqn-i,a=aqn—m；n1 nm前n项和公式:；(3)性质当m+n=p+q时，aa=aa,特例：aa=aa=aa=•,,,mnpq In2n—1 3n~2当2n=p+q时,a2=aa,数列{ka},{}成等比数列.nPq n4、等差、等比数列的应用(1)基本量的思想:常设首项、公差及首项、公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；(2)灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算；(3)若｛a｝为等差数列，贝IJ｛｝为等比数列(a〉0且aWl);n若｛a｝为正数等比数列，则｛loga｝为等差数列(a〉0且aWl).n an三、典型例题例1、已知数列｛a｝为等差数列，公差dWO,其中，，…，恰为等比n数列，若k=1,k=5,k=17,求k+k+…+k.TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 1 2 n解题思路分析：从寻找新、旧数列的关系着手设｛a｝首项为a,公差为dn 1a,a,a成等比数列1 5 17/.a2=aa5 117(a+4d)2=a(a+16d)111a=2d1设等比数列公比为q,则对项来说，在等差数列中：在等比数列中：TOC\o"1-5"\h\z注：本题把k+k+…+k看成是数列｛k｝的求和问题，着重分析｛k｝12 n n n的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”。例2、设数列｛a｝为等差数列，S为数列｛a｝的前n项和，已知S:7,n n n 7S=75,T为数列｛｝的前n项和，求T.15 n n解题思路分析：法一：利用基本元素分析法设｛a｝首项为a,公差为d,则n 1此式为n的一次函数・•・｛｝为等差数列*••法二：｛a｝为等差数列，设S=Arp+Bnn n*••解之得：・•・，下略注：法二利用了等差数列前n项和的性质例3、正数数列｛a｝的前n项和为S,且，求：n n(1)数列｛a｝的通项公式；n(2)设，数列｛b｝的前n项的和为B,求证：B.n n n解题思路分析：(I)涉及到a及S的递推关系,一般都用a=S—S(n^2)消元化归。nn nnn—14S=(a+1)2nn4S=(a+1)2(n三2)TOC\o"1-5"\h\zn-1 n-14(S-S)=(a+1)2-(a+1)2nn—1 n n1••4a=a2—a2+2a—2annn-1n n-1整理得：(a+a)(a—a-2)=0n—1n nn-1Va)0n••a—a=2nn-1・•・｛a｝为公差为2的等差数列n在中，令n=1,a1=1；.a=2n-1(II)••注：递推是学好数列的重要思想，例本题由4Sn=(an+1)2推出4Sn—二(a+1)2,它其实就是函数中的变量代换法。在数列中一般用n—1，n+1n-1等去代替n，实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式，代换就是对n赋值.例4、等差数列｛aj中，前m项的和为77(m为奇数)，其中偶数项的和为33,且a1—am=18，求这个数列的通项公式。分析：利用前奇数项和和与中项的关系令m=2n—1,n£N+则••,n=4；.m=7；.a=11；.a1+a=2a=22又a1-a=18；.a1=20,a=2；.d=—3・•.an=—3n+23例5、设｛an｝是等差数列，，已知、+与+幺=,b1b2b3=,求等差数列的通项an。解题思路分析：•・•｛a｝为等差数列n・•・｛bn｝为等比数列从求解｛bn｝着手bb=b213 2b3=2b=2；.a=2n-3或a=—2n+5注：本题化归为｛bn｝求解，比较简单。若用｛an｝求解，则运算量较大.例6、已知｛%｝是首项为2,公比为的等比数列，Sn为它的前n项和,(1)用S表示S；n n+1(2)是否存在自然数c和k,使得成立.解题思路分析：⑴：(2)(*)・•・式(*) ①又S〈4k由①得：c=2或c=3当c=2时S=21k=l时，c〈S不成立，从而式①不成立k••

*由S〈S得：kk+1・•・当kN2时，，从而式①不成立当c=3时，S2,S=31 2当k=l,2时,C〈S不成立k•・式①不成立•

*♦・当kN3时，，从而式①不成立综上所述,不存在自然数c,k,使成立例7、某公司全年的利润为b元，其中一部分作为资金发给n位职工,资金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相等)从大到小，由1到n排序，第1位职工得资金元,然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将资金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金。(1)设(IWkWn)为第k位职工所得资金额,试求%@3,并用k,n和b表示a(不必证明)；k(2)证明：a<a(k=L2,…,n—1),并解释此不等式关于分配原则kk+1的实际意义。解题思路分析：谈懂题意，理清关系，建立模型第1位职工的奖金第2位职工的奖金第3位职工的奖金第k位职工的奖金(2)此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭〃等原则。例8、试问数列｛｝的前多少项的和最大，并求这个最大值(星2=0。3010)解题思路分析：法一：・•・瓜｝为首项为2,公差为的等差数列n*••n£N+n=14时，(S)=14o35nmax法二：a=2)0,d=・•・｛a)是递减数歹U,且S必为最大值n n设k=14(S)=S=14035nmax14四、同步练习(一)选择题1、已知a,b,a+b成等差数列,a,b,ab成等比数列，且0(logab(1,m则m取值范围是A、m)1 B、Km<8 C、m>8 D、0〈m〈1或m>82、设a〉0,b)0,a,x?,b成等差数列,a,y『y/b成等比数列，则X]+x?与yjy?的大小关系是A、x+xWy+y B、x+x三y+yTOC\o"1-5"\h\z12 12 12 12C、x+x〈y+y D、x+x〉y+y1 2 12 1 2 12已知S是｛a｝的前n项和,S二Pn(P£R,n£N),那么数列｛a｝n n n + nA、是等比数列 B、当PWO时是等比数列C、当PWO,PW1时是等比数列 D、不是等比数列｛a｝是等比数列，且a〉0,aa+2aa+aa=25,贝1Ja+a等于n n 24 35 46 3 5A、5 B、10 C、15 D、20已知a,b,c成等差数列，则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴交点个数是A、0 B、1 C、2 D、1或2设m£N+，log2m的整数部分用F(m)表示，贝ljF(1)+F(2)+…+F(1024)的值是A、8204 B、8192 C、9218 D、80217、若x的方程X2-x+a=0和X2—x+b=0(aWb)的四个根可组成首项为的等差数列,则a+b的值为A、 B、 C、 D、8、在100以内所有能被3整除但不能被7整除的正整数和是A、1557 B、1473 C、1470 D、13689、从材料工地运送电线杆到500m以外的公路，沿公路一侧每隔50m埋栽一根电线杆，已知每次最多只能运3根,要完成运载20根电线杆的任务，最佳方案是使运输车运行A、11700m B>14700m C>14500mD>14000m10、已知等差数列｛a｝中，IaI二IaI,公差d〈0,则使前n项和TOC\o"1-5"\h\zn 3 9S取最大值的正整数n是n\o"CurrentDocument"A、4或5 B、5或6 C、6或7 D、8或9(二)填空题11、已知数列｛a｝满足a+2a+3a+…+na=n(n+1)(n+2),则它的前nn 12 3 n项和S=on12、设等差数列｛a｝共有3n项,它的前2n项之和为100,后2n项之和n为200,则该等差数列的中间n项的和等于o13、设数列｛a｝,｛b｝(b)0),n£N满足(n£N),贝lj｛a｝为等差n n n + + n数列是｛b｝为等比数列的条件.n14、长方体的三条棱成等比数列，若体积为216cm3,则全面积的最小值是cw。15、若不等于1的三个正数a,b,c成等比数列，则(2—loga)b(1+loga)=oc(三)解答题16、已知一个等比数列首项为1,项数是偶数，其奇数项之和为85,偶数项之和为170,求这个数列的公比和项数。17、已知等比数列｛a｝的首项为a〉0,公比q〉-l(qWl)，设数列n 1｛b｝的通项b=a+a(n£N),数列｛a｝,｛b｝的前n项和分别记为n nn+1 n+2 + n nA,B,试比较A与B大小。nn nn18、数列｛a｝中，aj8,a4=2且满足a+2=2a+1—a(n£N+)(1)求数列｛a｝通项公式；n(2)设SjlaJ+laJ+…+|an|,求Sn;(3)设(n£N+)Tn=b1+b2+…+bn,是否存在最大的整数m,使得对于任意的n£N,均有成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。三角函数一、复习要求三角函数的概念及象限角、弧度制等概念;2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等;3、三角函数的图象及性质.二、学习指导1、角的概念的推广。从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时,其大小不一定(通常把角的始边放在x轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同)。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念,凡是与终边a相同的角，都可以表示成k•3600+a的形式，特例,终边在x轴上的角集合｛a|a二k・180o,k£Z｝,终边在y轴上的角集合｛a|a二k・180o+90o,k£Z｝,终边在坐标轴上的角的集合｛a|a二k-90。，k£Z｝。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小.弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式=|a|兄扇形面积公式,其中a为弧所对圆心角的弧度数。2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。设P(x,y)是角a终边上任一点(与原点不重合)，记，则，，…利用三角函数定义，可以得到(1)诱导公式：即与a之间函数值关系(k£Z),其规律是“奇变偶不变，符号看象限〃；(2)同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系.3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式： cos2a=2cos2a—1=1—2sin2a,变形后得，可以作为降幂公式使用.三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备.4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性.周期性的定义：设T为非零常数，若对f(x)定义域中的每一个x,均有f(x+T)=f(x),则称T为f(x)的周期。当T为f(x)周期时,kT(k£Z,kW。)也为f(x)周期.三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法,熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。5、本章思想方法(1)等价变换。熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；(2)数形结合.充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题;(3)分类讨论.三、典型例题

例1、已知函数f(x)二(1)求它的定义域和值域；(2)求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性;(4)判断它的周期性.分析：x必须满足sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及，k£Z•・函数定义域为，kez•・当xe时，•・函数值域为D(3)vf(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称•・f(x)不具备奇偶性(4)Vf(x+2n)=f(x)♦・函数f(x)最小正周期为2n注；利用单位圆中的三角函数线可知，以I、II象限角平分线为标准可区分sinx—cosx的符号；以H、m象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号，如图。例2、化简，ae(n,2n)分析:•・原式二「ae(n,2n)••当时,•・原式二当时,•・原式二•・原式二注：1、本题利用了“1"的逆代技巧，即化1为,是欲擒故纵原则。一般地有，，。2、三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为(取)是常用变形手段.特别是与特殊角有关的sin±cosx,±sinx±cosx,要熟练掌握变形结论。例3、求。分析:原式=注:在化简三角函数式过程中,除利用三角变换公式,还需用到代数变形公式,如本题平方差公式.凑根号下为完全平方式,化无理式为有理式 分析：由韦达定理得sina+sinB=cos4。。，sinasin^=cos240o—例4、已知0。<&〈凑根号下为完全平方式,化无理式为有理式 分析：由韦达定理得sina+sinB=cos4。。，sinasin^=cos240o—；.sinB—sina=又sina+sinB=cos40o•:00〈a〈B<900•；.sin(B-5a)=sin60o=注：利用韦达定理变形寻找与sina,sinB相关的方程组，在求出sina,sinB后再利用单调性求a,B的值.例5、(1)已知cos(2a+B)+5cosB=0,求tan(a+B)•tana的值；(2)已知,求的值.分析：(1)从变换角的差异着手.2a+B=(a+B)+a,B=(a+B)-a；.8cos[(a+B)+a]+5cos[(a+B)-a]=0展开得：13cos(a+B)cosa-3sin(a+B)sina=0同除以cos(a+B)cosa得：tan(a+B)tana=(2)以三角函数结构特点出发•.tan9=2例6、已知函数(a£(0,1)),求f(x)的最值，并讨论周期性奇偶性,单调性。分析：对三角函数式降幂.f(x)=令则y=au•・0〈a<1，y二au是减函数•・由得，此为f(x)的减区间由得，此为f(x)增区间u(-x)=u(x)/.f(x)=f(-x)•・f(x)为偶函数/u(x+n)=f(x)；.f(x+n)=f(x)•・f(x)为周期函数,最小正周期为n当*二卜几(卜£2)时，yi=1当x=kn+(k£Z)时，y=nax注：研究三角函数性质，一般降幂化为丫=4$血(3乂+@)等一名一次一项的形式。四、同步练习(一)选择题注;齐次式是三角函数式中的基本式,其处理方法是化切或降幂.1、下列函数中，既是(0,)上的增函数，又是以n为周期的偶函数是A、y=lgx2 B、y=IsinxIC、y=cosxD、y=如果函数y=sin2x+acos2x图象关于直线x=—对称,则a值为A、— B、—1 C、1 D、3、函数y=Asin(cox+@)(A〉0,@〉0),在一个周期内，当x=时，y=2；max当X二时,y=一2,则此函数解析式为mmA、 B、C、 D、4、已知二1998,则的值为1997 B、1998 C、1999D、20005、已知tana,tanB是方程两根，且a,B,贝Ija+B等于A、 B、或C、或D、6、若,则sinx•siny的最小值为A、一1 B、一 C、 D、7、函数f(x)=3sin(x+lOo)+5sin(x+7Oo)的最大值是A、5o5 B、6。5 C、7 D、88、若。£(0,2冗］,则使sin。(cos9(cot9〈tan。成立的。取值范围是A、()B、()C、()D、()9、下列命题正确的是A、若a,B是第一象限角，a〉B,贝Ijsina〉sinBB、函数y=sinx•cotx的单调区间是，k£ZC、函数的最小正周期是2冗D、函数y二sinxcos2@—cosxsin2x的图象关于y轴对称，则，k£Z10、函数的单调减区间是B、AB、D、k£Z(二)填空题11、函数f(x):sin(x+。)+cos(x—。)的图象关于y轴对称，贝U。12、已知a+B=，且(tancltan+c)+tancl=0(c为常数)，那么tanB=.13、函数y=2sinxcosx一(cos2x-sirvx)的最大值与最小值的积为14、已知(x-1)2+(y-则x+y的最大值为o15、函数f(x);sin3x图象的对称中心是。(三)解答题16、已知tan(cl一B)=,tanB二，(—ji,0),求2a—B的值.17、是否存在实数a,使得函数y二sin2x+acosx+在闭区间［0,］上的最大值是1?若存在,求出对应的a值.18、已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+(x£R)(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)单调区间；(3)求f(x)图象的对称轴，对称中心.平面向量、复习要求18、向量的概念；2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律;3、向量运算的运用二、学习指导1、向量是数形结合的典范.向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础.在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。加法：+=+,（+）+=+（+）实数与向量的乘积：入（+）:人+入；（入+D）:人+D,入（p）=（入u）两个向量的数量积：•二•；（入）•二•（入）=入（・），（+）•=•+•说明：根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(±)(±)2=向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形—-起点相同的21、重要定理、公式三个向量终点共线等。三个向量终点共线等。（1）平面向量基本定理；如果+是同一平面内的两个不共线向量,那么对19、向量的三种线性运算及运算的三种形式.于该平面内任一向量，有且只有一对数数入1,入2,满足二人1+入2,称入1人+图形语言坐标语言图形语言坐标语言向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量.每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言.主要内容列表如下:符号语言入2为，的线性组合。根据平面向量基本定理，任一向量与有序数对（入1,入2）一一对应，称（入1,入2）为在基底｛,｝下的坐标，当取｛,｝为单位正交基底｛,｝时定义（入1,入2）为向量的平面直角坐标.一向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终加法与减法+=实数与向量的乘积两个向量的数量积20、记二(x1,y1),=(x1,y2则+=(x1+x-=(x2-xyf)y2—yi)）点坐标，即若A（x,y）,则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,（2）两个向量平行的充要条件y1),B(x2,y2),则k(x2-x1,y2—y1)运算律+=入£R•=1111cos<,〉符号语言：若〃，W,则二人记二(x,y)则入=（入x,入y）坐标语言为：设二（x即，或x1y2—x2y1=0记二(x1,y1), =(x2,y2)则,=x1x2+y1y2 |A1,y1),=(x2y2)则//（x1,y1）二入（x2，y2）,在这里，实数人是唯一存在的，当与同向时，人＞0;当与异向时，入〈0.|=,人的大小由及的大小确定.因此，当，确定时，入的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中人的几何意义(3)两个向量垂直的充要条件符号语言：±-=0坐标语言：设二(x,y),=(x,y),IjllJXxx+yy=0±J. / / _L/_LZ(4)线段定比分点公式如图，设则定比分点向量式：定比分点坐标式：设P(x,y),P](X],yj,P2(x2,y2)则特例：当人二1时，就得到中点公式：实际上，对于起点相同，终点共线三个向量,，(0与不共线)，总有二u+v,u+v=L即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1.(5)平移公式：①点平移公式，如果点P(x,y)按:(h,k)平移至P，(x'，y，)，贝IJ分别称(x,y),(x\y，)为旧、新坐标，为平移法则在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标②图形平移:设曲线C：y=f(x)按二(h,k)平移,则平移后曲线C'对应的解析式为y—k=f(x-h)当h,k中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下移利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质(6)正弦定理，余弦定理正弦定理：余弦定理:a2=b2+c2-2cbcosAb2=c2+a2-2cacosBC2=a2+b2-2abcosc定理变形：cosA=,cosB=,cosC=正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本，理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法.5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行，求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的“程序性”特点.三、典型例题例1、如图,，为单位向量，与夹角为120。，与的夹角为45。，|仁5,用，表不。分析：以，为邻边，为对角线构造平行四边形把向量在，方向上进行分解，如图，设二人，二u,入〉0,u>0则二人+u•・,II=|I=1入=II,u=I|△0EC中，NE=60。,N0CE=75。，由得：说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理例2、已知4ABC中，A(2,-1),B(3,2),C(—3,-1),BC边上的9高为AD,求点D和向量坐标。分析：用解方程组思想设D(x,y),贝lj=(x-2,y+1)'.*=(-6,-3),•=0-6(X—2)-3(y+1)=0,即2x+y—3=0 ①V=(X—3,y—2),〃—6(y-2)，3(x—3),即x—2y+l=0 ②由①②得：D(1,1),=(-1,2)例3、求与向量二，—1)和二(1,)夹角相等，且模为的向量的坐标。分析：用解方程组思想法一：设二(x,y),则•=x-y,•=x+y•/＜，＞=＜,)即 ①XII=x2+y2=2 (2由①②得或(舍)*_••一法二：从分析形的特征着手vI1=I1=2•=0・•・4AOB为等腰直角三角形，如图|I=,ZAOC=ZBOCC为AB中点c()说明:数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。例4、在AOAB的边0A、0B上分别取点M、N,使||:||=1：3,|I：II=1：4,设线段AN与BM交于点P,记二，二，用，表示向量。分析：B、P、M共线记二s•・①同理，记=②・•，不共线•・由①②得解之得：*

••说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数(如s,t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。例5、已知长方形ABCD,AB=3,BC=2,E为BC中点，P为AB上一点(1)利用向量知识判定点P在什么位置时，ZPED=45o;(2)若NPED=45。，求证：P、D、C、E四点共圆.分析：利用坐标系可以确定点P位置如图，建立平面直角坐标系贝IjC(2,0),D(2,3),E(1,0)设P(0,y)=(L3),=(-1,y)*

••,=3y-1代入cos45o=解之得(舍)，或k2・••点P为靠近点A的AB三等分处(3)当NPED=45。时，由(1)知P(0,2)=(2,1),=(—1,2)•=0ZDPE=9Oo又NDCE=90。D、P、E、C四点共圆说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：①建立平面直角坐标系；②设点的坐标;③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算计算结果；⑤得到结论。四、同步练习(一)选择题1、平面内三点A(0,—3),B(3,3),C(x,—1),若〃，则x的值

为：A、—5 B、—1 C、1 D、52、平面上A(-2,1),B(1,4),D(4,—3),C点满足，连DC并延长至E,使|仁|I，则点E坐标为：A、(—8,)B、()C、(0,1)D、(0,1)或(2,)2、点(2,-1)沿向量平移至lj(—2,1)，则点(—2,1)沿平移到：3、A、(2,1)B、(—2,1)C、(6,—3) D、(—6,3)4、ZkABC中，2cosB•sinOsinA,则此三角形是：A、直角三角形B、等腰三角形 C、等边三角形 D、以上均有可能5、设，，是任意的非零平面向量，且相互不共线，贝IJ：①(•)—(•)=0II—门(1-1③(・)一(・)不与垂直④(3+2)•(3—2):9|*4|2中，真命题是：A、①② B、②③ C、③④ D、②④6、AABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则NC度数是：A、6Oo B、45。或135o C、120。 D、30。7、AOAB中，=,=,=,若=，t£R,则点P在A、NA0B平分线所在直线上B、线段AB中垂线上C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上8、正方形PQRS对角线交点为M,坐标原点O不在正方形内部，且=(0,3),=(4，0),则=A、() B、() C、(7,4) D、()(二)填空题9、已知｛,|是平面上一个基底，若=+入，=—2人一，若，共线，则入10、已知门=,|I=1,・=—9,则与的夹角是。11、设,是两个单位向量,它们夹角为600,则U(2一)•(-3+2)=。12、把函数y=cosx图象沿平移，得到函数的图象。(三)解答题13、设=(3,1),=(-1,2),L〃，试求满足十二的的坐标，其中。为坐标原点。14、若+=(2,-8),-=(—8,16)，求、及与夹角。的余弦值.15、已知|仁，II=3,和夹角为45。,求当向量+人与入+夹角为锐角时，入的取值范围。不等式一、复习要求不等式的概念及性质；2、不等式的证明；3、不等式的解法；4、不等式的应用。二、学习指导1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有：(1)对称性或反身性:a〉bb〈a；(2)传递性：若a〉b,b〉c,则a〉c；(3)可加性:a〉ba+c〉b+c,此法则又称为移项法则；(4)可乘性：a〉b,当c〉。时，ac〉bc;当c〈。时，ac<bc。不等式运算性质:(1)同向相加：若a〉b,c〉d,则a+c〉b+d；(2)正数同向相乘:若a〉b〉0,c〉d〉。，则ac〉bd.特例：(3)乘方法则：若a〉b〉0,n£N+,则；(4)开方法则：若a〉b〉。，n£N+,则；(5)倒数法则：若ab〉。，a〉b,则。掌握不等式的性质,应注意：(1)条件与结论间的对应关系,如是“"符号还是“"符号;(2)不等式性质的重点是不等号方向,条件与不等号方向是紧密相连的。2、均值不等式；利用完全平方式的性质，可得a2+b2三2ab(a,b£R),该不等式可推广为a2+b2三2IabI；或变形为lablW；当a,bN。时，a+b三或abW。在具体条件下选择适当的形式.3、不等式的证明:(1)不等式证明的常用方法：比较法,公式法,分析法,反证法,换元法,放缩法;(2)在不等式证明过程中,应注重与不等式的运算性质联合使用；(3)证明不等式的过程中,放大或缩小应适度。4、不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等.一元二次不等式(组)是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型.利用序轴标根法可以解分式及高次不等式.含参数的不等式应适当分类讨论。5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域,研究函数单调性等。在解决问题过程中,应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。研究不等式结合函数思想,数形结合思想,等价变换思想等。三、典型例题例1、已知f(x)=ax2-c,一4<f(1)W一1,-l<f(2)<5,试求f(3)的取值范围.分析：从条件和结论相互化归的角度看，用f(l),f(2)的线性组合来表示f(3),再利用不等式的性质求解.设f(3)=mf(1)+nf(2)9a-c=m(a-c)+n(4a-c)9a—c=(m+4n)a—(m+n)cf(3)=ww,ww—l<f(3)<20说明：1、本题也可以先用f(1),f(2)表示a,c,IPa=[f(2)-f(1)],c=[f(2)—4f(l)],然后代入f(3),达到用f(l),f(2)表示f(3)的目的.2、本题典型错误是从一4Wa—cW—1,—lW4a-cW5中解出a,c的范围，然后再用不等式的运算性质求f(3)=9a-c的范围.错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形.本题还可用线性规划知识求解。例2、设a〉0,b〉0,求证：三。分析：法一：比差法,当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。左一右二三0左三右法二:基本不等式根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧.三・•・两式相加得，例3、设实数x,y满足y+x2=0,0〈a〈l,求证：W。分析：三，W,0<a<l说明：本题在放缩过程中，利用了函数的单调性，函数知识与不等式是紧密相连的.例4、已知a,b为正常数，X,y为正实数，且，求x+y的最小值。分析：法一：直接利用基本不等式：三当且仅当即时等号成立说明:为了使得等号成立，本题利用了“1〃的逆代换。法二：消元为一元函数途径一：由得*••x>0,y>0,a>0由〉0得y-b〉0x+y三当且仅当，即时，等号成立途径二：令,，e(0,)*••，x+y=三当且仅当时，等号成立说明:本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。例5、已知f(x)=—3x2+a(6-a)x+b(1)解关于a的不等式f(l)>0;(2)当不等式f(x)〉0的解集为(一1,3)时，求实数a,b的值。分析：f(1)=-3+a(6一a)+b=-a2+6a+b-3f(D)0a2―6a+3-b(0A=24+4b当bW-6时，△W()，f(1)〉0的解集为少；当b〉一6时，f(D)0的解集为不等式-3x2+a(6-a)x+b〉0的解集为(-1,3)f(x)〉0与不等式(x+1)(x一3)〈0同解3x2-a(6-a)x—b<0解集为(-1,3)*

••解之得例6、设a,b£R,关于x方程x2+ax+b=0的实根为a,B,若|a|+|b|<1,求证：Ia|<1,|B|<1.解题思路分析：在不等式、方程、函数的综合题中，通常以函数为中心.法一：令f(x)=x2+ax+b贝ljf(1)=l+a+b)1一(Ia|+Ib|)>1-1=0f(一1)=1一a+b〉1一(IaI+Ib|))0又：0<Ia|<|a|+IbI<1-1<a<1f(x)=0的两根在(一1,1)内，即|cl|<1,|B|<1法二：a+B=-a,aB=b|a+BI+IaBI=ICLI+I(1Icl|— + (1・•.(|a|-1)(|B|+1)<0|BI+1〉0aI<1同理：IB|<1说明：对绝对值不等式的处理技巧是适度放缩，如|aI-IbI<Ia+bI及IbI—Ia|<Ia+bI的选择等。例7、某人乘坐出租车从A地到乙地,有两种方案:第一种方案，乘起步价为10元，每km价1。2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每km价1。4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较适合？分析：设A地到B地距离为mkm,起步价内行驶的路为akm显然，当mWa时，选起步价为8元的出租车比较合适当m〉a时，设m=a+x(x>0),乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)=10+lo2x,Q(x)=8+1.4xP(x)—Q(x)=2—0.2x=0o2(10—x)・,・当x〉0时,P(x)<Q(x)，此时起步价为10元的出租车比较合适当x〈10时，P(x)〉Q(x),此时选起步价为8元的出租车比较合适当x=10时，此时两种出租车任选四、同步练习(一)选择题1、“a〉0且b〉0〃是“三”的A、充分而非必要条件 B、必要而非充要条件C、充要条件 D、既非充分又非必要条件2、设a<0,则关于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集为A、()B、()C、()D、@若0<a〈b且a+b=l,则四个数，b,2ab,a?+b2中最大的是A、 B、b C、2ab D、a2+b2已知x〉0,f(x)二，则A、f(x)<2B、f(x)三10C、f(x)三6D、f(x)<3已知，(a〉2),则A、p〉q B、p(q C、pNq D、pWq若Ia-cl<h,|b—cI〈h,则下列不等式一定成立的是A、 Ia-b|<2hB、Ia-bI)2hC、Ia—bI<hD、|a-b|>h关于x的方程9x+(a+4)•3^+4=0有解，则实数a的取值范围是A、(—8,-8]U[0,+8) B、(-8,-4)B、[—8,4) D、(-8,-8]若a〉0,b)0,且2a+b=l,则S=2—4a?—b?的最大值是A、 B、 C、 D、(二)填空题设a〉0,b)0,a,b是常数，则当x〉0时，函数f(x)二的最小值是10、周长为的直角三角形面积的最大值为On、记s二，则s与1的大小关系是o12、不等式⑶一2x+3I<|3x-1|的解集为.(三)解答题13、要使不等式W对所有正数x,y都成立，试问k的最小值是多少？14、解关于x的不等式15、已知aWO,求证：三16、已知不等式对n£N都成立，试求实数a的取值范围。+17、若a是正实数,2a2+3b2=10,求的最值。18、商店经销某商品，年销售量为D件，每件商品库存费用为I元，每批进货量为Q件，每次进货所需费用为S元，现假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存量平均为件，问每批进货量Q为多大时，整个费用最省？直线和圆的方程一、复习要求直线方程的五种表现形式，如何求直线方程；二元一次不等式的几何意义及运用。2、圆的方程三种形式，如何求圆的方程.3、直线和圆位置关系的研究.二、学习指导2、曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象。借助于平面直角坐标系，形和数可以得到高度的统一，它们最基本的对应关系是点和有序数对的一一对应。当点运动形成轨迹时，对应坐标便会满足一个方程。当曲线C和方程F(x,y)=0满足如下关系时:①曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解；②以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲线C为方程F(x,y)=0表示的曲线;方程F(x,y)=0是曲线C表示的方程。从集合角度看，点集(曲线)与方程解集相等。解析几何研究的内容就是给定曲线C,如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质.其特征是以数解形。坐标法是几何问题代数化的重要方法.2、直线的倾斜角a和斜率k是描述直线位置的重要参数，它们之间关系是正切函数关系：k=tana,a£[0,,当a二时，直线斜率不存在，否则由a求出唯一的k与之对应。当已知k,求倾斜角a时:kNO时，a=arctank;k<0时，cl=ji+arctanko或：k=0时，cl=0；kWO时，cotcl=,a=arccot.由正切函数可知，当a£(0,),cl递增时，斜率kf+8.当a£(,n)，a递减时，斜率kf-8.当涉及到斜率参数时，通常对k是否存在分类讨论.3、直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0(A2+B2WO)——对应。从几何条件看，已知直线上一点及直线方向与已知直线上两点均可确定直线；从对应方程看，直线方程两种典型形式点斜式(斜截式)，两点式(截距式)，因此求直线方程，常用待定系数法。即根据题意，选择方程的适当形式；由已知条件，列关于参数的方程(组)。当点P(xo,yo)在直线Ax+By+C=0上时，其坐标满足方程4％+8八+00；当P不在直线Ax+By+C=0上时，Axo+Byo+C^O,即Axo+Byo+C)0或Axo+Byo+C〈0。这就是二元一次不等式的几何意义:二元一次不等式Ax+By+C〉0(或〈0)表示直线Ax+By+C=0上方或下方区域，其具体位置的确定常用原点(0,0)代入检验。利用此几何意义,可以解决一类二元函数的最值问题.这就是线性规划的内容.因直线与二元一次方程Ax+By+C=0(A2+B2W0)一—对应，即由有序数组(A,B,C)确定，因此研究直线与直线之间的位置关系就是考察直线对应的数组间关系。设直线2:Ax+By+C=0(A2+B2W0),直线JAx+By+C=0(A2+B2W0)11 1 1 1 1 22 2 2 2 2贝U：4〃q21与22相交A1B2WA2B1其夹角公式为，其中k1,k2分别表示21及22斜率，当21或22斜率不存在时，画图通过三角形求解，21与22夹角为。£(0,]特例：21±22A1A2+B1B2=0(此时不能用夹角公式求解)利用点P(x0,y0)到直线2:Ax+By+C=0的距离公式d二可以求出两平行直线：Ax+By+C1=0,Ax+By+C2=0(C1WC2)间的距离d二。4、当直线位置不确定时,直线对应的方程中含有参数。含参数方程中有两种特殊情形,它们的对应的直线是有规律的,即旋转直线系和平行直线系。在点斜式方程y—y0=k(x-x0)中，当(x0,y0)确定，k变化时，该方程表示过定点(x0,y0)的旋转直线系，当k确定，(x0,y0)变化时，该方程表示平行直线系。这些直线系还有其它表示形式：(1)已知直线2：Ax+By+C=0,则

方程Ax+By+m=0(m为参数)表示与2平行的直线系;方程-Bx+Ay+n=0(n为参数)表示与2垂直的直线系。(2)已知直线21：A1x+B1y+C=1=0,直线22:A2x+B2y+C2=0,则方程A1x+B1y+C1+入(A2x+B2y+C2)=0表示过21与22交点的直线系(不含22)掌握含参数方程的几何意义是某种直线系,不仅可以加深数形结合的思想,还可以优化解题思想.5、圆与二元二次方程一一对应,这些二元二次方程方程特征为：(1)二次项中无xy交叉项；(2)x2,y2项前面系数相等；(3)x,y的一次项系数D,E及常数项F满足D2+E2-4F〉0。圆方程常见形式：(1)标准式：(x—a)2+(y—b)2=R2(R>0)，其中(a,b)为圆心不为半径；(2)一般式:x2+y2+Dx+Ey+F=0;(3)参数式：(x-a)2+(y—b)2=R2(R〉0)的参数式为：x=a+Rcos9,y=b+Rsin9,其中。为参数，表示旋转角,参数式常用来表示圆周上的点。求圆方程的原理与求直线方程完全类似。直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识,而不采用方程组理论(△法)。6、对称是平面几何的基本变换。在掌握点关于点及直线对称的基础上,理解曲线与曲线之间的中心对称及轴对称.善于利用对称的知识解题.7、本章主要思想方法：数形结合,分类讨论,函数与方程,等价变换等。三、典型例题例1、已知定点P(6,4)与定直线21：y=4x,过P点的直线2与21交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M,求使△OQM面积最小的直线0方程。分析：直线2是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还