双图法让解题更直观自然

PAGE/r/nPAGE/r/n6/r/n“/r/n双图法/r/n”/r/n/r/n让解题/r/n更直观/r/n自然/r/n524500/r/n广东省吴川市第一中学/r/n/r/n柯厚宝/r/n/r/n导数是研究函数的单调性、极值、最值问题的有力工具，/r/n也是高考的热/r/n点/r/n./r/n解决该类问题的常用方法是先求函数/r/n的导数/r/n，通过解不等式/r/n与/r/n确定/r/n的单调区间，进而求/r/n极值、最值/r/n./r/n而在实际操作中，常会在解不等式时遇到麻烦，/r/n特别是所求的不等式中涉及参数/r/n讨论时/r/n，则更难处理/r/n./r/n本文/r/n运用一种/r/n直观的方法/r/n——“/r/n双图法/r/n”/r/n，/r/n解决此类问题/r/n./r/n/r/n所谓的/r/n“/r/n双图法/r/n”/r/n，就是/r/n运用导数研究函数/r/n的/r/n单调性/r/n时，/r/n由于/r/n其单调性与导数/r/n的/r/n正、负/r/n密切相关/r/n，/r/n于是我们可以直接画出/r/n(/r/n或/r/n一个与/r/n的正、负相关的函数/r/n)/r/n的/r/n图象，根据其正、负再/r/n在下方/r/n描绘出/r/n的大致图象，然后/r/n直观地/r/n求/r/n得/r/n的单调区间、极值与最值/r/n的一种方法/r/n./r/n1/r/n．/r/n直观/r/n探讨/r/n函数的单调性/r/n/r/n求函数的单调区间时，/r/n我们/r/n只需同时描绘出/r/n(/r/n或与/r/n正、负相关的函数/r/n)/r/n与/r/n的图象，即可直观地得到/r/n的单调区间/r/n./r/n例/r/n1/r/n．/r/n求下列函数的单调区间：/r/n(/r/n1/r/n)/r/n；/r/n/r/n/r/n(/r/n2/r/n)/r/n，/r/n(/r/n3/r/n)/r/n；/r/n/r/n(/r/n4/r/n)/r/n./r/n图1/r/n1/r/n3/r/n解析：/r/n(/r/n1/r/n)/r/n可得/r/n图1/r/n1/r/n3/r/n与/r/n的图象如图所示/r/n1/r/n，/r/n当/r/n或/r/n时，/r/n，/r/n单调递增；当/r/n时，/r/n，/r/n单调递减；/r/n故/r/n的递增区间为/r/n；递减区间为/r/n./r/n(/r/n2/r/n)/r/n∵/r/n，/r/n，/r/n，/r/n令/r/n，/r/n，/r/n图2/r/n=1\*GB3/r/n①/r/n当/r/n时，/r/n，/r/n，/r/n在/r/n上是增函数，在/r/n上也是增函数，/r/n图2/r/n=2\*GB3/r/n②/r/n当/r/n时，/r/n令/r/n得/r/n，/r/n，/r/n与/r/n的图象如图所示/r/n2/r/n，/r/n当/r/n或/r/n时，/r/n，/r/n，/r/n单调递增，/r/n当/r/n或/r/n时，/r/n，/r/n，/r/n单调递减，/r/n综上，当/r/n时，/r/n的递/r/n增/r/n区为/r/n，/r/n递减区为/r/n；当/r/n时，/r/n的递增区为/r/n，递减区为/r/n./r/n(3)/r/n，/r/n，/r/n由/r/n得/r/n，/r/n令/r/n，/r/n由/r/n得/r/n或/r/n，/r/n图/r/n3/r/n=1\*GB3/r/n①/r/n当/r/n，即/r/n时，/r/n，/r/n，/r/n的单调递增区间是/r/n./r/n图/r/n3/r/n=2\*GB3/r/n②/r/n当/r/n，即/r/n时，/r/n与/r/n的图象如图/r/n3/r/n所示，/r/n当/r/n或/r/n时，/r/n，/r/n，/r/n单调递增，当/r/n时，/r/n，/r/n，/r/n单调递减，/r/n图/r/n4/r/n=3\*GB3/r/n③/r/n当/r/n，即/r/n时，/r/n与/r/n的图象如图/r/n4/r/n所示，/r/n图/r/n4/r/n当/r/n或/r/n时，/r/n，/r/n，/r/n单调递增，/r/n当/r/n时，/r/n，/r/n，/r/n单调递减，/r/n综上，当/r/n时，/r/n的单调递增区间是/r/n；当/r/n时，/r/n的单调递增区间是/r/n和/r/n，/r/n递减区间是/r/n；/r/n当/r/n时，/r/n的单调递增区间/r/n是/r/n和/r/n，/r/n递减区间是/r/n./r/n(4)/r/n，/r/n，/r/n令/r/n，/r/n，/r/n=1\*GB3/r/n①/r/n当/r/n时，/r/n，/r/n，/r/n在/r/n上单调递增，/r/n=2\*GB3/r/n②/r/n当/r/n时，/r/n令/r/n，/r/n由/r/n得/r/n，由/r/n得/r/n，由/r/n得/r/n，/r/n(/r/n=1\*roman/r/ni/r/n)/r/n若/r/n时，/r/n，/r/n，仅当/r/n时取等号，而/r/n，有/r/n，/r/n∴/r/n在/r/n上单调递增，/r/n(/r/n=2\*roman/r/nii/r/n)/r/n若/r/n时，/r/n，/r/n，/r/n在/r/n上单调递增，/r/n图5/r/n(/r/n=3\*roman/r/niii/r/n)/r/n若/r/n时，由/r/n得/r/n，/r/n，/r/n图5/r/n与/r/n的图象如图/r/n5/r/n所示，/r/n当/r/n时，/r/n，/r/n，/r/n在/r/n上单调递增，/r/n=3\*GB3/r/n③/r/n当/r/n时，令/r/n，由/r/n得/r/n，/r/n由/r/n得/r/n，由/r/n得/r/n，/r/n(/r/n=1\*roman/r/ni/r/n)/r/n若/r/n时，/r/n，/r/n，仅当/r/n时取等号，而/r/n，有/r/n，/r/n∴/r/n在/r/n上单调递/r/n减/r/n，/r/n(/r/n=2\*roman/r/nii/r/n)/r/n若/r/n时，/r/n，/r/n，/r/n在/r/n上单调递/r/n减/r/n，/r/n(/r/n=3\*roman/r/niii/r/n)/r/n若/r/n时，由/r/n得/r/n，/r/n，/r/n图6/r/n且/r/n，有/r/n，/r/n与/r/n的/r/n图6/r/n图象如图/r/n6/r/n所示，当/r/n或/r/n时，/r/n，/r/n，/r/n在/r/n上单调递/r/n减/r/n，/r/n当/r/n时，/r/n，/r/n，/r/n在/r/n上单调递增，/r/n综上，当/r/n时，/r/n的递增区间为/r/n；当/r/n时，/r/n的递增区间为/r/n，递减区间为/r/n；/r/n当/r/n时，/r/n的递减区间为/r/n./r/n评注：/r/n“/r/n双图法/r/n”/r/n可将抽象的问题直观化，有效回避繁杂的不等式求解，且大大降低出错的机会/r/n./r/n2/r/n．/r/n直观探/r/n求/r/n函数的/r/n极值/r/n/r/n运用/r/n“/r/n双图法/r/n”/r/n求得/r/n的单调性后，/r/n再添/r/n加一条/r/n横/r/n坐标即可直观地研究函数/r/n的极/r/n值/r/n与零点问题/r/n./r/n例/r/n2/r/n．/r/n已知函数/r/n，点/r/n./r/n若过点/r/n可作曲线/r/n的/r/n条切线，求/r/n的取值范围/r/n./r/n解析：/r/n设过点/r/n的直线/r/n与曲线/r/n切于点/r/n，/r/n，/r/n则直线/r/n的斜率/r/n，/r/n又/r/n，/r/n则/r/n，/r/n=1\*GB3/r/n①/r/n图/r/n7/r/n方程/r/n=1\*GB3/r/n①/r/n有/r/n个不/r/n相/r/n等的实根，令/r/n，有/r/n，/r/n图/r/n7/r/n令/r/n得/r/n或/r/n，/r/n与/r/n的图象如图/r/n7/r/n所示，/r/n当/r/n或/r/n时，/r/n，/r/n为增函数；当/r/n时，/r/n，/r/n为减函数，/r/n图/r/n8/r/n∴/r/n，/r/n，/r/n图/r/n8/r/n(/r/n1/r/n)/r/n如图/r/n8/r/n，当/r/n或/r/n，/r/n图/r/n9/r/n即/r/n或/r/n时，/r/n仅有一个零点，方程/r/n=1\*GB3/r/n①/r/n只有/r/n1/r/n个实/r/n根/r/n，/r/n图/r/n9/r/n此时过点/r/n仅可作曲线/r/n的/r/n1/r/n条切线/r/n；/r/n(/r/n2/r/n)/r/n如图/r/n9/r/n，当/r/n或/r/n，/r/n即/r/n或/r/n时，/r/n有/r/n两/r/n个零点，方程/r/n=1\*GB3/r/n①/r/n有/r/n两/r/n个/r/n不等/r/n实/r/n根/r/n，/r/n图/r/n10/r/n此时过点/r/n仅可作曲线/r/n的/r/n2/r/n条切线/r/n；/r/n图/r/n10/r/n(/r/n3/r/n)/r/n如图/r/n10/r/n，当/r/n，即/r/n时，/r/n有三个零点，方程/r/n=1\*GB3/r/n①/r/n有三个不等实根，/r/n此时过点/r/n仅可作曲线/r/n的/r/n3/r/n条切线；/r/n综上，当/r/n时，/r/n的取值范围是/r/n；当/r/n时，/r/n的取值范围是/r/n；当/r/n时，/r/n的取值范围是/r/n./r/n评注：/r/n运用/r/n“/r/n双图法/r/n”/r/n描绘出函数/r/n的图象/r/n，其极值、零点即/r/n可/r/n一目了然/r/n./r/n3/r/n．直观研究函数的最值/r/n/r/n运用/r/n“/r/n双图法/r/n”/r/n求得/r/n的单调性/r/n，/r/n可直观地求得其最大值、最小值/r/n./r/n例/r/n3/r/n．/r/n当/r/n时，求函数/r/n在/r/n上的最大值与最小值/r/n./r/n解析：/r/n∵/r/n，/r/n∴/r/n，/r/n,/r/n(/r/n1/r/n)/r/n当/r/n时，由/r/n得/r/n，/r/n在/r/n上单调递增，/r/n0/r/n图/r/n11/r/n∴/r/n，/r/n；/r/n0/r/n图/r/n11/r/n(/r/n2/r/n)/r/n当/r/n时，令/r/n得/r/n，/r/n当/r/n时，/r/n，/r/n为减函数，/r/n当/r/n时，/r/n，/r/n为增函数，/r/n与/r/n的图象如图/r/n11/r/n所示，/r/n=1\*GB3/r/n①/r/n当/r/n，即/r/n时，/r/n在/r/n上单调递增，/r/n，/r/n；/r/n=2\*GB3/r/n②/r/n当/r/n，即/r/n时，则/r/n，/r/n若/r/n，即/r/n，也即/r/n时，/r/n，/r/n若/r/n，即/r/n，也即/r/n时，/r/n，/r/n=3\*GB3/r/