高考导数压轴题型归类总结

.PAGE.导数压轴题型归类总结目录一、导数单调性、极值、最值的直接应用〔1二、交点与根的分布〔23三、不等式证明〔31〔一作差证明不等式〔二变形构造函数证明不等式〔三替换构造不等式证明不等式四、HYPERLINK三、不等式证明作差证明不等式〔2010XX,最值、作差构造函数已知函数．

<1>求函数的单调递减区间；

<2>若,求证：≤≤x．解：<1>函数f<x>的定义域为<－1,+∞>,,由得：,∴x＞0,∴f<x>的单调递减区间为<0,+∞>.<2>证明：由<1>得x∈<－1,0>时,,当x∈<0,+∞>时,,且∴x＞－1时,f<x>≤f<0>,∴≤0,≤x令,则,∴－1＜x＜0时,,x＞0时,,且∴x＞－1时,g<x>≥g<0>,即≥0

∴≥,∴x＞－1时,≤≤x．〔2007XX20,转换变量,作差构造函数,较容易已知定义在正实数集上的函数,,其中．设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同．⑴用表示,并求的最大值；⑵求证：当时,．解：⑴设与在公共点处的切线相同．,,由题意,．即由得：,或〔舍去．即有．令,则．于是当,即时,；当,即时,．故在为增函数,在为减函数,于是在的最大值为．⑵设,则．故在为减函数,在为增函数,于是函数在上的最小值是．故当时,有,即当时,．〔2009全国II理21,字母替换,构造函数设函数有两个极值点,且⑴求的取值范围,并讨论的单调性；⑵证明：解:⑴令,其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根,其充要条件为,得当时,在内为增函数；当时,在内为减函数；当时,在内为增函数；⑵由⑴知,由得,设,则当时,在单调递增；当时,,在单调递减。所以,故．变形构造函数证明不等式〔变形构造新函数,一次已知函数．⑴试讨论在定义域内的单调性；⑵当＜－1时,证明：,．求实数的取值范围．解：⑴函数的定义域为,．当时,增区间为,减区间为；当≤≤0时,增区间为；当时,增区间为,减区间为．⑵当＞0时,在区间<0,1>上单调递增,不妨设,则,∴等价于,即．构造,则＞0．∴在上是增函数,当时,,即,即．又当＞0时,在区间<0,1>上单调递增,∴．∴,即．〔2011XX理21,变形构造函数,二次已知函数.⑴讨论函数的单调性；⑵设,如果对任意,≥,求的取值范围.解：⑴的定义域为〔0,+∞..当时,＞0,故在〔0,+∞单调增加；当时,＜0,故在〔0,+∞单调减少；当－1＜＜0时,令=0,解得.则当时,＞0；时,＜0.故在单调增加,在单调减少.⑵不妨假设,而＜－1,由⑴知在〔0,+∞单调减少,从而,等价于,……①令,则①等价于在〔0,+∞单调减少,即.从而,设并设,∴,∴≤故a的取值范围为〔－∞,－2].〔2010XX文21,构造变形,二次已知函数.⑴讨论函数的单调性；⑵设,证明：对任意,.解：⑴f<x>的定义域为<0,+>,.当a≥0时,＞0,故f<x>在<0,+>单调增加；当a≤－1时,＜0,故f<x>在<0,+>单调减少；当－1＜a＜0时,令＝0,解得x=.当x∈<0,>时,＞0；x∈<,+>时,＜0,故f<x>在〔0,单调增加,在〔,+单调减少.⑵不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f<x>在〔0,+单调减少.所以等价于≥4x1－4x2,即f<x2>+4x2≥f<x1>+4x1.令g<x>=f<x>+4x,则+4＝.设,≤－1,对称轴为,结合图象知≤≤0,于是≤＝≤0.从而g<x>在〔0,+单调减少,故g<x1>≤g<x2>,即f<x1>+4x1≤f<x2>+4x2,故对任意x1,x2∈<0,+>,〔XX,变形构造,二次已知函数f<x>=x2－ax+<a－1>,.〔1讨论函数的单调性；〔2证明：若,则对任意x,x,xx,有.解：<1>的定义域为.①若即,则,故在单调增加。②若,而,故,则当时,;当及时,故在单调减少,在单调增加。③若,即,同理在单调减少,在单调增加.⑵考虑函数则〔另一种处理由于1<a<5,故,即g<x>在<4,+∞>单调增加,从而当时有,即,故,当时,有.〔另一种处理,结合二次函数图象设≥≥＞0已知函数〔1确定函数的单调性；〔2若对任意,且,都有,求实数a的取值范围。〔变形构造已知二次函数和"伪二次函数"〔、、,<I>证明：只要,无论取何值,函数在定义域内不可能总为增函数；<II>在二次函数图象上任意取不同两点,线段中点的横坐标为,记直线的斜率为,<i>求证：；<ii>对于"伪二次函数",是否有①同样的性质?证明你的结论.解：〔I如果为增函数,则<1>恒成立,当时恒成立,<2>由二次函数的性质,<2>不可能恒成立.则函数不可能总为增函数.3分〔II〔i=. 由,则5分〔ii不妨设,对于"伪二次函数":=,<3>7分由<ⅰ>中<1>,如果有<ⅰ>的性质,则,<4>比较<3><4>两式得,即：,<4>10分不妨令,<5>设,则,∴在上递增,∴.∴<5>式不可能成立,〔4式不可能成立,.∴"伪二次函数"不具有<ⅰ>的性质.12分<变形构造,第2问用到均值不等式>已知定义在正实数集上的函数f<x>＝x2＋4ax＋1,g<x>＝6a2lnx＋2b＋1,其中a＞0.⑴设两曲线y＝f<x>,y＝g<x>有公共点,且在该点处的切线相同,用a表示b,并求b的最大值；⑵设h<x>＝f<x>＋g<x>－8x,证明：若a≥－1,则h<x>在<0,＋∞>上单调递增；⑶设F<x>＝f<x>＋g<x>,求证：对任意x1,x2∈<0,＋∞>,x1＜x2有＞8.解：⑴设f<x>与g<x>交于点P<x0,y0>,则有f<x0>＝g<x0>,即x＋4ax0＋1＝6a2lnx0＋2b＋1.①又由题意知f′<x0>＝g′<x0>,即2x0＋4a＝.②由②解得x0＝a或x0＝－3a<舍去>．将x0＝a代入①整理得b＝a2－3a2lna.令s<a>＝a2－3a2lna,则s′<a>＝2a<1－3lna>,a∈<0,>时,s<a>递增,a∈<,＋∞>时,s<a>递减,所以s<a>≤s<>＝,即b≤,b的最大值为.⑵h<x>＝f<x>＋g<x>－8x,h′<x>＝2x＋＋4a－8,因为a≥－1,所以h′<x>＝2x＋＋4a－8≥4a＋4a－8≥4<＋1><－1>－8≥0,即h<x>在<0,＋∞>内单调递增．⑶由⑵知x1＜x2时,h<x1>＜h<x2>,即F<x1>－8x1＜F<x2>－8x2.因为x1＜x2,所以＞8.已知函数,a为正常数．⑴若,且a,求函数的单调增区间；⑵在⑴中当时,函数的图象上任意不同的两点,,线段的中点为,记直线的斜率为,试证明：．⑶若,且对任意的,,都有,求a的取值范围．解：⑴∵a,令得或,∴函数的单调增区间为.⑵证明：当时∴,∴,又不妨设,要比较与的大小,即比较与的大小,又∵,∴即比较与的大小．令,则,∴在上位增函数．又,∴,∴,即⑶∵,∴由题意得在区间上是减函数．当,∴由在恒成立．设,,则∴在上为增函数,∴.当,∴由在恒成立设,为增函数,∴综上：a的取值范围为.已知函数〔．〔Ⅰ求函数的单调区间；〔Ⅱ记函数的图象为曲线．设点,是曲线上的不同两点．如果在曲线上存在点,使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线,则称函数存在"中值相依切线"．试问：函数是否存在"中值相依切线",请说明理由．解：〔Ⅰ易知函数的定义域是,．…………1分①当时,即时,令,解得或;令,解得．……………2分所以,函数在和上单调递增,在上单调递减②当时,即时,显然,函数在上单调递增；……………3分③当时,即时,令,解得或;令,解得．……………4分所以,函数在和上单调递增,在上单调递减综上所述,⑴当时,函数在和上单调递增,在上单调递减；⑵当时,函数在上单调递增；⑶当时,函数在和上单调递增,在上单调递减．……………5分〔Ⅱ假设函数存在"中值相依切线"．设,是曲线上的不同两点,且,则……………7分曲线在点处的切线斜率,……………8分依题意得：．化简可得：,即=．……………10分设〔,上式化为：,即．………12分令,．因为,显然,所以在上递增,显然有恒成立．所以在内不存在,使得成立．综上所述,假设不成立．所以,函数不存在"中值相依切线"．……………14分已知函数.〔1若对任意的恒成立,求实数的取值范围；〔2当时,设函数,若,求证解：〔1,,即在上恒成立设,,时,单调减,单调增,所以时,有最大值.,所以.〔2当时,,,所以在上是增函数,上是减函数.因为,所以即,同理.所以又因为当且仅当""时,取等号.又,,所以,所以,所以：.已知．<1>求函数在上的最小值；<2>对一切,恒成立,求实数a的取值范围；<3>证明:对一切,都有成立．解：<1>,当,,单调递减,当,,单调递增．①,t无解；②,即时,；③,即时,在上单调递增,；所以．<2>,则,设,则,,,单调递减,,,单调递增,所以.因为对一切,恒成立,所以；〔3问题等价于证明,由⑴可知的最小值是,当且仅当时取到,设,则,易得,当且仅当时取到,从而对一切,都有成立．〔2011XX21,变形构造,反比例设函数定义在上,,导函数,．〔1求的单调区间和最小值；〔2讨论与的大小关系；〔3是否存在,使得对任意成立？若存在,求出的取值范围；若不存在,请说明理由．解：〔1∵,∴〔为常数,又∵,所以,即,∴；,∴,令,即,解得,当时,,是减函数,故是函数的减区间；当时,,是增函数,故是函数的增区间；所以是的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以的最小值是．〔2,设,则,当时,,即,当时,,,因此函数在内递减,当时,=0,∴；当时,=0,∴．〔3满足条件的不存在．证明如下：证法一假设存在,使对任意成立,即对任意有①但对上述的,取时,有,这与①左边的不等式矛盾,因此不存在,使对任意成立．证法二假设存在,使对任意成立,由〔1知,的最小值是,又,而时,的值域为,∴当时,的值域为,从而可以取一个值,使,即,∴,这与假设矛盾．∴不存在,使对任意成立．已知函数,〔Ⅰ求的极值〔Ⅱ若在上恒成立,求的取值范围〔Ⅲ已知,且,求证解：〔1∵,令得,,为增函数,,,为减函数∴有极大值……4分〔2欲使＜在上恒成立,只需在上恒成立设,,,为增函数,,,为减函数∴时,是最大值只需,即………8分〔3∵由〔2可知在上单调增,,那,同理相加得,∴,得：.已知函数的图象为曲线,函数的图象为直线.<Ⅰ>当时,求的最大值;<Ⅱ>设直线与曲线的交点的横坐标分别为,且,求证:.解：〔1单调递增,单调递减,〔2不妨设,要证只需证,即,令,只需证,令在单调递增。,,在单调递增。,所以已知函数,其中常数⑴若处取得极值,求a的值；⑵求的单调递增区间；⑶已知若,且满足,试比较的大小,并加以证明。替换构造不等式证明不等式〔第3问用第2问已知,直线与函数的图像都相切,且与函数的图像的切点的横坐标为1。〔I求直线的方程及m的值；〔II若,求函数的最大值。〔III当时,求证：解：〔I的斜率为1,且与函数的图像的切点坐标为〔1,0,的方程为又与函数的图象相切,有一解。由上述方程消去y,并整理得①依题意,方程②有两个相等的实数根,解之,得m=4或m=-2,〔II由〔I可知,单调,当时,单减。,取最大值,其最大值为2。〔III证明,当时,已知函数、〔Ⅰ求函数的单调区间；〔Ⅱ若为正常数,设,求函数的最小值；〔Ⅲ若,,证明：、解:〔Ⅰ∵,解,得；解,得.∴的单调递增区间是,单调递减区间是.……3′〔Ⅱ∵,定义域是.∴……5′由,得,由,得∴函数在上单调递减；在上单调递增……7′故函数的最小值是：.……8′〔Ⅲ∵,,∴在〔Ⅱ中取,可得,即.……10′∴,∴.即.……12′〔替换构造不等式已知函数在点的切线方程为.⑴求函数的解析式；⑵设,求证：≥在上恒成立；〔反比例,变形构造⑶已知,求证：.〔替换构造解：⑴将代入切线方程得.∴,化简得.,解得.∴.⑵由已知得在上恒成立化简,即在上恒成立设,.∵∴,即∴在上单调递增,∴在上恒成立.⑶∵,∴,由⑵知有,整理得∴当时,.〔替换证明已知函数．〔1试判断函数的单调性；〔2设,求在上的最大值；〔3试证明：对任意,不等式都成立〔其中是自然对数的底数．解：〔1函数的定义域是．由已知．令,得．因为当时,；当时,．所以函数在上单调递增,在上单调递减．〔2由〔1可知当,即时,在上单调递增,所以．当时,在上单调递减,所以．当,即时,．综上所述,〔3由〔1知当时．所以在时恒有,即,当且仅当时等号成立．因此对任意恒有．因为,,所以,即．因此对任意,不等式．〔2010XX,利用⑵结论构造已知函数的图象在点处的切线方程为.〔反比例,作差构造⑶.〔替换构造解：本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识,同事考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想。⑴,则有,解得.⑵由⑴知,,令,则,①当,若,则,是减函数,所以,故在上恒不成立。②时,若,故当时,。综上所述,所求的取值范围为⑶由⑵知：当时,有.令,有当时,令,有即,将上述个不等式依次相加得,整理得.已知的图像在点处的切线与直线平行.〔1求a,b满足的关系式；〔2若上恒成立,求a的取值范围；〔3证明：〔n∈N*解：〔Ⅰ,根据题意,即.〔Ⅱ由〔Ⅰ知,,令,则,=①当时,,若,则,在减函数,所以,即在上恒不成立．②时,,当时,,在增函数,又,所以．综上所述,所求的取值范围是.〔Ⅲ由〔Ⅱ知当时,在上恒成立．取得令,得,即,所以上式中n=1,2,3,…,n,然后n个不等式相加得已知函数〔1求函数的极值点。〔2若恒成立,试确定实数的取值范围。〔3证明：.解：<1>的定义域为〔1,+∞,.当时,,则在〔1,+∞上是增函数。在〔1,+∞上无极值点.当时,令,则.所以当时,,∴在上是增函数,当时,,∴在上是减函数。∴时,取得极大值。综上可知,当时,无极值点；当时,有唯一极值点.<2>由<1>可知,当时,,不成立.故只需考虑.由<1>知,,若恒成立,只需即可,化简得：,所以的取值范围是[1,+∞.<3>由<2>知,∴.∴<替换构造>已知函数⑴求函数的单调区间；⑵若≤0恒成立,试确定实数的取值范围；〔一次,作差构造⑶证明：①当时,；②.解：⑴函数的定义域为中,.当≤0时,,则在上是增函数.当时,在上是增函数,在上是减函数.⑵由⑴知,当≤0时,在上是增函数.而,≤0不成立.当时,由⑴知,要使≤0恒成立,则≤0,解得≥1.⑶①由⑵知当时,有在上恒成立,且在是减函数.又,∴当时,,即.②令则即,从而.∴成立.〔2011XX理22,替换构造已知函数.⑴求的单调区间和极值；⑵求证：.解：⑴定义域为,.令,令故的单调递增区间为,的单调递减区间为的极大值为⑵证明：要证即证,即证即证令,由⑴可知在上递减,故即,令,故累加得,故,得证法二：=,其余相同证法.〔替换构造已知函数.⑴求函数的最小值；⑵若≥0对任意的恒成立,求实数a的值；〔一次,作差构造⑶在⑵的条件下,证明：.解：〔1由题意,由得.当时,；当时,.∴在单调递减,在单调递增.即在处取得极小值,且为最小值,其最小值为〔2对任意的恒成立,即在上,.由〔1,设,所以.由得.∴在区间上单调递增,在区间上单调递减,∴在处取得极大值.因此的解为,∴.〔3由〔2知,因为,所以对任意实数均有,即.令,则.∴.∴. HYPERLINK四、不等式恒成立求字母范围恒成立之最值的直接应用〔2011北京理18倒数第3大题,最值的直接应用已知函数。⑴求的单调区间；⑵若对于任意的,都有≤,求的取值范围.解：⑴,令,当时,与的情况如下：+00+0所以,的单调递增区间是和：单调递减区间是,当时,与的情况如下：0+00所以,的单调递减区间是和：单调递减区间是。⑵当时,因为,所以不会有当时,由〔Ⅰ知在上的最大值是,所以等价于,解综上：故当时,的取值范围是[,0].〔2008天津理20倒数第3大题,最值的直接应用,第3问带有小的处理技巧已知函数,其中.⑴若曲线在点处切线方程为,求函数的解析式；⑵讨论函数的单调性；⑶若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.解：⑴,由导数的几何意义得,于是．由切点在直线上可得,解得．所以函数的解析式为．⑵．当时,显然<>,这时在,上内是增函数．当时,令,解得．当变化时,,的变化情况如下表：＋0－－0＋↗极大值↘↘极小值↗∴在,内是增函数,在,内是减函数．⑶由⑵知,在上的最大值为与的较大者,对于任意的,不等式在上恒成立,当且仅当,即,对任意的成立．从而得,所以满足条件的的取值范围是．〔转换变量,作差已知函数. ⑴若,求的单调区间；⑵已知是的两个不同的极值点,且,若恒成立,求实数b的取值范围。解：⑴,或1令,解得令,解得,的增区间为；减区间为,⑵,即由题意两根为,,又且△,.设,或2+00+极大值极小值又,,,.恒成立之分离常数〔分离常数已知函数<1>若在处的切线平行于直线,求函数的单调区间；<2>若,且对时,恒成立,求实数的取值范围.解:<1>定义域为,直线的斜率为,,,.所以由;由所以函数的单调增区间为,减区间为.<2>,且对时,恒成立,即.设.当时,,当时,,.所以当时,函数在上取到最大值,且所以,所以所以实数的取值范围为.〔法二讨论法,在上是减函数,在上是增函数.当≤时,≥,解得,∴≤.当时,,解得,∴.综上.〔2011XX一模,恒成立,分离常数,二阶导数已知函数,〔其中R,为自然对数的底数.<1>当时,求曲线在处的切线方程；<2>当≥1时,若关于的不等式≥0恒成立,求实数的取值范围.〔改x≥0时,≥0恒成立.≤1解：〔1当时,,,,切线方程为．〔2[方法一]≥1,12><212><2axxexfxa0xxex122设xxexgxxexgx12><22212>1<><'xxexxgx设,则,在上为增函数,≥,,在上为增函数,≥,≤．[方法二], ,设,,≥0,≥0,在上为增函数,≥. 又≥0恒成立,≥0,≤,≥,,在上为增函数,此时≥≥0恒成立,≤．〔改x≥0时,≥0恒成立.≤1解：先证明在上是增函数,再由洛比达法则,∴,∴≤1.〔正常的讨论进行不了,除非系数调到二次项上,分两种情况讨论可得≤1〔两边取对数的技巧设函数且〔1求的单调区间；〔2求的取值范围；〔3已知对任意恒成立,求实数的取值范围。解：〔1,当时,即.当时,即或.故函数的单调递增区间是.函数的单调递减区间是.〔2由时,即,由〔1可知在上递增,在递减,所以在区间〔－1,0上,当时,取得极大值,即最大值为.在区间上,.函数的取值范围为.分〔3,两边取自然对数得〔分离常数已知函数．〔Ⅰ若函数在区间其中a>0,上存在极值,求实数a的取值范围；〔Ⅱ如果当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围；解：〔Ⅰ因为,x>0,则,当时,；当时,．所以在〔0,1上单调递增；在上单调递减,所以函数在处取得极大值．因为函数在区间〔其中上存在极值,所以解得．〔Ⅱ不等式即为记所以令,则,,在上单调递增,,从而,故在上也单调递增,所以,所以．〔2010XX,分离常数,构造函数已知函数对任意的恒有.⑴证明：当⑵若对满足题设条件的任意b、c,不等式恒成立,求M的最小值。〔第3问不常见,有特点,由特殊到一般,先猜后证已知函数〔Ⅰ求函数f<x>的定义域〔Ⅱ确定函数f<x>在定义域上的单调性,并证明你的结论.〔Ⅲ若x>0时恒成立,求正整数k的最大值.解：〔1定义域〔2单调递减。当,令,故在〔－1,0上是减函数,即,故此时在〔－1,0和〔0,+上都是减函数〔3当x>0时,恒成立,令又k为正整数,∴k的最大值不大于3下面证明当k=3时,恒成立当x>0时恒成立令,则,,当∴当取得最小值当x>0时,恒成立,因此正整数k的最大值为3<恒成立,分离常数,涉及整数、较难的处理>已知函数〔Ⅰ试判断函数上单调性并证明你的结论；〔Ⅱ若恒成立,求整数k的最大值；〔较难的处理〔Ⅲ求证：<1+1×2><1+2×3>…[1+n<n+1>]>e2n－3.解：〔I上递减.〔II则上单调递增,又存在唯一实根a,且满足当∴故正整数k的最大值是3.〔Ⅲ由〔Ⅱ知∴令,则∴ln<1+1×2>+ln<1+2×3>+…+ln[1+n<n+1>]∴〔1+1×2〔1+2×3…[1+n〔n+1]>e2n－3<分离常数,双参,较难>已知函数,.〔１若函数依次在处取到极值．①求的取值范围；②若,求的值．〔２若存在实数,使对任意的,不等式恒成立．求正整数的最大值．解：〔1①②.〔2不等式,即,即.转化为存在实数,使对任意,不等式恒成立,即不等式在上恒成立。即不等式在上恒成立。设,则。设,则,因为,有。故在区间上是减函数。又故存在,使得。当时,有,当时,有。从而在区间上递增,在区间上递减。又所以当时,恒有；当时,恒有；故使命题成立的正整数的最大值为5.〔2008XX理22,分离常数,复合的超范围已知函数⑴求函数的单调区间;⑵若不等式对任意的都成立〔其中e是自然对数的底数,求a的最大值.〔分离常数解:⑴函数的定义域是,设则令则当时,在〔－1,0上为增函数,当x＞0时,在上为减函数.所以h<x>在x=0处取得极大值,而h<0>=0,所以,函数g<x>在上为减函数.于是当时,当x＞0时,所以,当时,在〔－1,0上为增函数.当x＞0时,在上为减函数.故函数的单调递增区间为〔－1,0,单调递减区间为.⑵不等式等价于不等式由知,＞0,∴上式变形得设,则则由⑴结论知,〔≤即所以于是G<x>在上为减函数.故函数在上的最小值为所以a的最大值为〔变形,分离常数已知函数<a为实常数>.<1>若,求证：函数在<1,+∞>上是增函数；<2>求函数在[1,e]上的最小值及相应的值；<3>若存在,使得成立,求实数a的取值范围.解：⑴当时,,当,,故函数在上是增函数．⑵,当,．若,在上非负〔仅当,x=1时,,故函数在上是增函数,此时．若,当时,；当时,,此时是减函数；当时,,此时是增函数．故．若,在上非正〔仅当,x=e时,,故函数在上是减函数,此时．⑶不等式,可化为．∵,∴且等号不能同时取,所以,即,因而〔令〔,又,当时,,,从而〔仅当x=1时取等号,所以在上为增函数,故的最小值为,所以a的取值范围是．〔分离常数,转换变量,有技巧设函数.⑴若函数在处与直线相切：①求实数的值；②求函数在上的最大值；⑵当时,若不等式≥对所有的都成立,求实数的取值范围.解：〔1①。∵函数在处与直线相切解得 .②当时,令得；令,得,上单调递增,在[1,e]上单调递减,.〔2当b=0时,若不等式对所有的都成立,则对所有的都成立,即对所有的都成立,令为一次函数,.上单调递增,,对所有的都成立...〔注：也可令所有的都成立,分类讨论得对所有的都成立,,请根据过程酌情给分恒成立之讨论字母范围〔2007全国I,利用均值,不常见设函数．⑴证明：的导数；⑵若对所有都有,求的取值范围．解：⑴的导数．由于,故．〔当且仅当时,等号成立．⑵令,则,①若,当时,,故在上为增函数,所以,时,,即．②若,方程的正根为,此时,若,则,故在该区间为减函数．所以,时,,即,与题设相矛盾．综上,满足条件的的取值范围是．设函数f<x>=ex+sinx,g<x>=ax,F<x>=f<x>－g<x>.<Ⅰ>若x=0是F<x>的极值点,求a的值；<Ⅱ>当a=1时,设P<x1,f<x1>>,Q<x2,g<x2>><x1>0,x2>0>,且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；<Ⅲ>:若x≥0时,函数y=F<x>的图象恒在y=F<－x>的图象上方,求实数a的取值范围．解：<Ⅰ>F<x>=ex+sinx－ax,.因为x=0是F<x>的极值点,所以.又当a=2时,若x<0,;若x>0,.∴x=0是F<x>的极小值点,∴a=2符合题意.<Ⅱ>∵a=1,且PQ//x轴,由f<x1>=g<x2>得:,所以.令当x>0时恒成立.∴x∈[0,+∞时,h<x>的最小值为h<0>=1.∴|PQ|min=1.<Ⅲ>令则.因为当x≥0时恒成立,所以函数S<x>在上单调递增,∴S<x>≥S<0>=0当x∈[0,+∞时恒成立;因此函数在上单调递增,当x∈[0,+∞时恒成立.当a≤2时,,在[0,+∞单调递增,即.故a≤2时F<x>≥F<－x>恒成立.〔用到二阶导数,二次设函数.⑴若,求的最小值；⑵若当时,求实数的取值范围.解：〔1时,,.当时,；当时,.所以在上单调减小,在上单调增加故的最小值为〔2,当时,,所以在上递增,而,所以,所以在上递增,而,于是当时,.当时,由得当时,,所以在上递减,而,于是当时,,所以在上递减,而,所以当时,.综上得的取值范围为.<第3问设计很好,2问是单独的,可以拿掉>已知函数,斜率为的直线与相切于点.〔Ⅰ求的单调区间；〔Ⅱ当实数时,讨论的极值点。〔Ⅲ证明：.解：〔Ⅰ由题意知：………………2分解得：；解得：所以在上单调递增,在上单调递减………………4分〔Ⅱ=得：.若即,+-+极大值极小值此时的极小值点为,极大值点………………7分若即,,则,在上单调递增,无极值点.若即,,+-+极大值极小值此时的极大值点为,极小值点.综上述：当时,的极小值点为,极大值点；当时,无极值点；当时,的极大值点为,极小值点.〔2011全国I文21,恒成立,一次,提出一部分再处理的技巧设函数.⑴若a=,求的单调区间；⑵若当≥0时≥0,求a的取值范围.解：⑴时,,.当时;当时,;当时,.故在,单调增加,在<－1,0>单调减少.⑵.令,则.①若,则当时,,为减函数,而,从而当x≥0时≥0,即≥0,符合题意.②若,则当时,,为减函数,而,从而当时＜0,即＜0,不合题意.综合得的取值范围为〔2011全国新理21,恒成立,反比例,提出公因式再处理的技巧,本题的创新之处是将一般的过定点〔0,0变为过定点〔1,0,如果第2问范围变为则更间单已知函数在点处的切线方程为.⑴求、的值；⑵如果当,且时,,求的取值范围。解：⑴,依意意且,即,,解得,.⑵由⑴知,所以.设,则.〔注意h<x>恒过点<1,0>,由上面求导的表达式发现讨论点0和1①当,由,〔变形难想,法二当时,.而,故当时,,可得；当x<1,+>时,<0,可得>0,从而当x>0,且x1时,－<+>>0,即>+.法二：的分子≤＜0,∴.②当0<k<1,由于当x<1,>时,<k－1><x2+1>+2x>0,故>0,而=0,故当x<1,>时,>0,可得<0,不合题意.③当k≥1,此时>0,则x<1,+>时,递增,,∴<0,不合题意.综上,k的取值范围为<－,0]<恒成立,讨论,较容易,但说明原理>已知函数.〔1求函数的单调区间和极值；〔2若对上恒成立,求实数的取值范围.解：〔1.当时,,在上增,无极值；当时,,在上减,在上增,∴有极小值,无极大值.〔2当时,在上恒成立,则是单调递增的,则只需恒成立,所以.当时,在上减,在上单调递增,所以当时,这与恒成立矛盾,故不成立.综上：.〔2010新课程理21,恒成立,讨论,二次,用到结论设函数.⑴若,求的单调区间；⑵若当时,求的取值范围.解：命题意图：本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题,考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力.⑴时,,.当时,；当时,.故在单调减少,在单调增加.⑵①当≤时,,由⑴结论知≥,则,故,从而当,即时,,而,于是当时,,符合题意.②时,由可得.〔太难想,法二,故当时,,而,于是当时,.综合得的取值范围为.法二：设,则,令,得.当,,在此区间上是增函数,∴≤,∴在此区间上递增,∴≤,不合题意.〔恒成立,2010全国卷2理数,利用⑴结论,较难的变形讨论设函数．⑴证明：当时,；⑵设当时,,求a的取值范围．解：本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式,考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.[点评]导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等,常伴随对参数的讨论,这也是难点之所在.已知函数,且函数是上的增函数。〔1求的取值范围；〔2若对任意的,都有〔e是自然对数的底,求满足条件的最大整数的值。解析：〔1设,所以,得到．所以的取值范围为………2分〔2令,因为是上的增函数,且,所以是上的增函数。…………4分由条件得到〔两边取自然对数,猜测最大整数,现在证明对任意恒成立。…………6分等价于,………………8分设,当时,,当时,,所以对任意的都有,即对任意恒成立,所以整数的最大值为2．……………………14分〔2008XX卷21已知函数其中n∈N*,a为常数.⑴当n=2时,求函数f<x>的极值；⑵当a=1时,证明：对任意的正整数n,当x≥2时,有f<x>≤x－1.解：⑴由已知得函数f<x>的定义域为{x|x＞1},当n=2时,所以①当a＞0时,由f<x>=0得＞1,＜1,此时=.当x∈〔1,x1时,＜0,f<x>单调递减；当x∈〔x1+∞时,＞0,f<x>单调递增.②当a≤0时,＜0恒成立,所以f<x>无极值.综上所述,n=2时,当a＞0时,f<x>在处取得极小值,极小值为当a≤0时,f<x>无极值.⑵证法一：因为a=1,所以①当n为偶数时,令则=1+＞0〔x≥2.所以当x∈[2,+∞]时,g<x>单调递增,又g<2>=0,因此≥g<2>=0恒成立,所以f<x>≤x－1成立.②当n为奇数时,要证≤x－1,由于＜0,所以只需证ln<x－1>≤x－1,令h<x>=x－1－ln<x－1>,则=1－≥0<x≥2>,所以,当x∈[2,+∞]时,单调递增,又h<2>=1＞0,所以当x≥2时,恒有h<x>＞0,即ln<x－1>＜x－1命题成立.综上所述,结论成立.证法二：当a=1时,当x≤2,时,对任意的正整数n,恒有≤1,故只需证明1+ln<x－1>≤x－1.令则当x≥2时,≥0,故h<x>在上单调递增,因此,当x≥2时,h<x>≥h<2>=0,即1+ln<x－1>≤x－1成立.故当x≥2时,有≤x－1.即f〔x≤x－1.HYPERLINK五、函数与导数性质的综合运用〔综合运用已知函数⑴求函数的单调区间和极值；⑵已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,⑶如果,且,证明解：本小题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力.⑴,令=0,得.当变化时,,的变化情况如下表<>1<>+0-极大值∴在<>内是增函数,在<>内是减函数；极大值.⑵证明：由题意可知g<x>=f<2－x>,∴g<x>=<2－x>.令F<x>=f<x>－g<x>＝,则当时,2x－2>0,从而,从而在[1,+∞>是增函数。又F<1>=F<x>>F<1>=0,即f<x>>g<x>.⑶证明：①若②若∴根据①②得由⑵可知,>,则=,所以>,从而>.因为,所以,又由⑴可知函数在区间〔－∞,1内是增函数,所以>,即>2.〔2010天津理数21,综合运用已知函数⑴求函数的单调区间和极值；⑵已知函数对任意满足,证明：当时,⑶如果,且,证明：解：⑴∵=,∴=.<2分>令=0,解得.2＋0－↗极大值↘∴在内是增函数,在内是减函数.<3分>∴当时,取得极大值=.<4分>⑵证明：,则=.<6分>当时,＜0,＞3,从而＜0,∴＞0,在是增函数.<7分><8分>⑶证明：∵在内是增函数,在内是减函数.∴当,且,、不可能在同一单调区间内.不妨设,由⑵可知,又,∴.∵,∴.∵,且在区间内为增函数,∴,即<12分>已知函数<1>求函数的单调区间和极值；<2>若函数对任意满足,求证：当,<3>若,且,求证：解：⑴∵=,∴=.<2分>令=0,解得.2＋0－↗极大值↘∴在内是增函数,在内是减函数.<3分>∴当时,取得极大值=.<4分>⑵证明：,,∴=.<6分>当时,＜0,＞4,从而＜0,∴＞0,在是增函数.<8分>⑶证明：∵在内是增函数,在内是减函数.∴当,且,、不可能在同一单调区间内.不妨设,由⑵可知,又,∴.∵,∴.∵,且在区间内为增函数,∴,即已知函数,〔Ⅰ若,求的单调区间；〔Ⅱ对于任意的,比较与的大小,并说明理由．解：〔Ⅰ,,1分=1\*GB3①当时,在上恒成立,的递增区间为；2分=2\*GB3②当时,的递增区间为；3分=3\*GB3③当时,的递增区间为,递减区间为；4分〔Ⅱ令,,令,在上恒成立,当时,成立,在上恒成立,在上单调递增,当时,恒成立,当时,恒成立,对于任意的时,,又,,,即．〔2011XX理21,利用2的对称已知函数．⑴讨论的单调性；⑵设,证明：当时,；〔作差⑶若函数的图像与x轴交于A、B两点,线段AB中点的横坐标为,证明：.解：⑴①若单调增加.②若且当所以单调增加,在单调减少.⑵设函数则当.故当,⑶由⑴可得,当的图像与x轴至多有一个交点,故,从而的最大值为不妨设由⑵得从而由⑴知,〔恒成立,思路不常见已知函数,其中为实数．<1>当时,求曲线在点处的切线方程；<2>是否存在实数,使得对任意,恒成立?若不存在,请说明理由,若存在,求出的值并加以证明．解：⑴时,,,,又,所以切线方程为.⑵①当时,,则令,,再令,当时,∴在上递减,∴当时,,∴,所以在上递增,,所以②时,,则由①知当时,在上递增当时,,所以在上递增,∴,∴；由①②得.已知函数,在区间上有最大值4,最小值1,设．〔Ⅰ求的值；〔Ⅱ不等式在上恒成立,求实数的范围；〔Ⅲ方程有三个不同的实数解,求实数的范围．解:〔Ⅰ<1>当时,上为增函数故当上为减函数故即..〔Ⅱ方程化为,令,∵∴记∴∴〔Ⅲ方程化为,令,则方程化为〔∵方程有三个不同的实数解,∴由的图像知,有两个根、,且或,记则或∴已知函数,设〔1是否存在唯一实数,使得,若存在,求正整数m的值；若不存在,说明理由。〔2当时,恒成立,求正整数n的最大值。解：〔1由得则因此在内单调递增。……………4分因为,,即存在唯一的根,于是……………6分〔2由得,且恒成立,由第〔1题知存在唯一的实数,使得,且当时,,；当时,,因此当时,取得最小值……………9分由,得即于是又由,得,从而,故正整数n的最大值为3。………12分<第3问难想>已知函数,其中ｅ是自然数的底数,。当时,解不等式；若在［－１,１］上是单调增函数,求的取值范围；当时,求整数ｋ的所有值,使方程在［ｋ,ｋ＋１］上有解。⑴因为,所以不等式即为,又因为,所以不等式可化为,所以不等式的解集为．………4分⑵,①当时,,在上恒成立,当且仅当时取等号,故符合要求；………6分②当时,令,因为,所以有两个不相等的实数根,,不妨设,因此有极大值又有极小值．若,因为,所以在内有极值点,故在上不单调．………8分若,可知,因为的图象开口向下,要使在上单调,因为,必须满足即所以.综上可知,的取值范围是．………10分⑶当时,方程即为,由于,所以不是方程的解,所以原方程等价于,令,因为对于恒成立,所以在和内是单调增函数,……………13分又,,,,所以方程有且只有两个实数根,且分别在区间和上,所以整数的所有值为．………16分〔2011高考,单调性应用,第2问难已知a、b是实数,函数和是的导函数,若在区间I上恒成立,则称和在区间I上单调性一致.〔1设,若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；〔2设且,若函数和在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a－b|的最大值.解：⑴因为函数和在区间上单调性一致,所以,即即实数b的取值范围是⑵由若,则由,,和在区间上不是单调性一致,所以.;又.所以要使,只有,取,当时,因此当时,因为,函数和在区间〔b,a上单调性一致,所以,即,设,考虑点<b,a>的可行域,函数的斜率为1的切线的切点设为则；当时,因为,函数和在区间〔a,b上单调性一致,所以,即,当时,因为,函数和在区间〔a,b上单调性一致,所以,即而x=0时,不符合题意,当时,由题意：,综上可知,。〔2010XX文数,另类区间已知函数其中a<0,且a≠-1.〔Ⅰ讨论函数的单调性；〔Ⅱ设函数〔e是自然数的底数。是否存在a,使在[a,－a]上为减函数？若存在,求a的取值范围；若不存在,请说明理由。79. 〔2008XX理22,第2问无从下手,思路太难想设函数.⑴求的单调区间和极值;⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.说明：本小题主要考查函数的导数,单调性,极值,不等式等基础知识,考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分14分．解：⑴．故当时,,时,．所以在单调递增,在单调递减．由此知在的极大值为,没有极小值．⑵①当时,由于,故关于的不等式的解集为．②当时,由知,其中为正整数,且有．又时,．且．取整数满足,,且,则,即当时,关于的不等式的解集不是．综合①②知,存在,使得关于的不等式的解集为,且的取值范围为．80. 〔第二问较难设函数,,是的一个极大值点．⑴若,求的取值范围；⑵当是给定的实常数,设是的3个极值点,问是否存在实数,可找到,使得的某种排列〔其中=依次成等差数列?若存在,求所有的及相应的；若不存在,说明理由．解：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识,同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识．〔Ⅰ时,,,令,,设是的两个根,〔1当或时,则不是极值点,不合题意；〔2当且时,由于是的极大值点,故,即,<Ⅱ>解：,令,,于是,假设是的两个实根,且由〔Ⅰ可知,必有,且是的三个极值点,则,假设存在及满足题意,〔1当等差时,即时,则或,于是,即此时或〔2当时,则或①若,则,于是,即两边平方得,于是,此时,此时=②若,则,于是,即两边平方得,于是,此时此时综上所述,存在b满足题意,当b=－a－3时,,时,,时,.81. 已知函数,,记〔Ⅰ求的单调区间；〔Ⅱ当时,若,比较：与的大小；〔Ⅲ若的极值为,问是否存在实数,使方程有四个不同实数根？若存在,求出实数的取值范围；若不存在,请说明理由。解：〔Ⅰ的定义域为〔0,+∞,又,当时,>0恒成立∴在〔0,+∞上单调递增；令得当时,若,∴在〔0,上单调递减；若,,∴在〔,+∞上单调递增故时,增区间为；时,增区间为,减区间为〔0,。……4分〔Ⅱ令,则,所以在［1,+∞上单调递增,∴,∴.〔Ⅲ由〔Ⅰ知仅当时,在＝处取得极值由可得＝２,方程为,令,得．．．由方程有四个不同的根,得方程有两个不同的正根,令,当直线与曲线相切时,,得切点坐标〔３,∴切线方程为,其在y轴上截距为；当直线在轴上截距时,和在y轴右侧有两个不同交点,所以k的取值范围为〔,0.〔注：也可用导数求解HYPERLINK六、导数应用题82. 某工厂生产某种儿童玩具,每件玩具的成本为30元,并且每件玩具的加工费为t元<其中t为常数,且2≤t≤5>,设该工厂每件玩具的出厂价为x元<35≤x≤41>,根据市场调查,日销售量与ex<e为自然对数的底数>成反比例,当每件玩具的出厂价为40元时,日销售量为10件．<1>求该工厂的日利润y<元>与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；<2>当每件玩具的日售价为多少元时,该工厂的利润y最大,并求y的最大值．解：<1>设日销售量为,则＝10,∴k＝10e40.则日销售量为,∴日利润y＝<x－30－t>·.∴y＝,其中35≤x≤41.<2>y′＝,令y′＝0得x＝31＋t.①当2≤t≤4时,33≤31＋t≤35.∴当35≤x≤41时,y′≤0.∴当x＝35时,y取最大值,最大值为10<5－t>e5.②当4<t≤5时,35<t＋31≤36,函数y在[35,t＋31]上单调递增,在[t＋31,41]上单调递减．∴当x＝t＋31时,y取最大值10e9－t.∴当2≤t≤4时,x＝35时,日利润最大值为10<5－t>e5元．当4<t≤5时,x＝31＋t时,日利润最大值为10e9－t元．83. 如图,ABCD是正方形空地,正方形的边长为30m,电源在点P处,点P到边AD、AB的距离分别为9m、3m,某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF,MN：NE=16：9,线段MN必须过点P,满足M、N分别在边AD、AB上,设,液晶广告屏幕MNEF的面积为〔I求S关于x的函数关系式,并写出该函数的定义域；〔II当x取何值时,液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？解：〔I如图,建立直角坐标系,设由已知有,又MN过点D时,x最小值为10,..定义域为[10,30].〔II令,当关于x为减函数；当时,关于为增函数.时,S取得最小值.答：当AN长为〔m时,液晶广告屏幕MNEF的面积S最小HYPERLINK\l"_top"七、导数结合三角函数84. 已知函数,函数是区间[-1,1]上的减函数．〔I求的最大值；〔II若上恒成立,求t的取值范围；〔Ⅲ讨论关于x的方程的根的个数．解：〔I,上单调递减,在[－1,1]上恒成立,,故的最大值为……4分〔II由题意只需＜,∴＞0<其中≤－1>恒成立.令＞0<≤－1>,则,即,而恒成立,∴.〔Ⅲ由令当上为增函数；当时,为减函数；当而方程无解；当时,方程有一个根；当时,方程有两个根． …………14分已知函数是奇函数,函数与的图象关于直线对称,当时,<为常数>.〔I求的解析式；〔II已知当时,取得极值,求证：对任意恒成立；〔III若是上的单调函数,且当时,有,求证：.解:<Ⅰ>当时,必有,则而若点在的图象上,则关于的对称点必在的图象上,即当时,由于是奇函数,则任取有且又当时,由必有综上,当时.……5分〔Ⅱ若时取到极值,则必有当时,即又由知,当时,,为减函数,.……9分〔Ⅲ若在为减函数,则对任意皆成立,这样的实数不存在若为增函数,则可令.由于在上为增函数,可令,即当时,在上为增函数由,设,则与所设矛盾若则与所设矛盾故必有85. 设函数〔,其中．〔Ⅰ当时,求曲线在点处的切线方程；〔Ⅱ当时,求函数的极大值和极小值；〔Ⅲ当,时,若不等式对任意的恒成立,求的值。解：当时,,得,且,．所以,曲线在点处的切线方程是,整理得．〔Ⅱ解：．令,解得或．由于,以下分两种情况讨论．〔1若,当变化时,的正负如下表：因此,函数在处取得极小值,且；函数在处取得极大值,且．〔2若,当变化时,的正负如下表：因此,函数在处