24指数与指数函数

要点梳理1.根式（1）根式的概念如果一个数的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么这个数叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，则x叫做

___________,其中n＞1且n∈N*.式子叫做_____,

这里n叫做_________，a叫做___________.§2.4指数与指数函数a的n次方根根式根指数被开方数基础知识自主学习（2）根式的性质①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的

n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号____

表示.②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数,这时，正数的正的n次方根用符号____表示,

负的n次方根用符号________表示.正负两个n次方根可以合写为________（a＞0）.③=______.a④当n为奇数时，=____;当n为偶数时，=_______________.⑤负数没有偶次方根.2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：

（n∈N*）；②零指数幂：a0=____（a≠0）；③负整数指数幂：a-p=_____（a≠0，p∈N*）；a1④正分数指数幂：=_______（a>0，m、n∈N*，且n>1）；⑤负分数指数幂：==(a>0,m、n

∈N*,且n>1).⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂

_____________.（2）有理数指数幂的性质①aras=

______(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=

______(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=

_______(a>0,b>0,r∈Q).ar+sarsarbr0没有意义3.指数函数的图象与性质y=axa>10<a<1图象定义域___值域___________性质(1)过定点_________(2)当x>0时,_____;x<0时,_______(2)当x>0时,_______;x<0时,_____(3)在(-∞，+∞)上是_______(3)在(-∞，+∞)上是________R(0,+∞)(0,1)y>1y>10<y<10<y<1减函数增函数基础自测1.已知a<则化简的结果是（）

A.B.C.D.

解析C2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）

A.y=x3B.y=-x2+1

C.y=|x|+1D.y=2-|x|

解析因为y=x3是奇函数，从而可排除A，因为函数

y=-x2+1及y=2-|x|在（0，+∞）上单调递减，所以排除B、D.C3.右图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx,（3）y=cx,（4）y=dx

的图象,则a，b，c，d与1的大小关系是()

A.a<b<1<c<d

B.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<d

D.a<b<1<d<c

解析

方法一当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大时，在第一象限内，图象越靠近y轴；当底数大于0且小于1时,图象下降,且在第一象限内,底数越小，图象越靠近x轴.故可知b<a<1<d<c,选B.方法二令x=1,由图象知c1>d1>a1>b1,∴b<a<1<d<c，故选B.答案

B

4.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于（）

A.5B.7C.9D.11

解析∵f（x）=2x+2-x，f（a）=3，∴2a+2-a=3，

f（2a）=22a+2-2a=4a+4-a=（2a+2-a）2-2=9-2=7.

B5.若函数y=(a2-3a+3)·ax为指数函数，则有（）

A.a=1或2B.a=1

C.a=2D.a>0且a≠1

解析∴a=2.C题型一指数幂的化简与求值【例1】计算下列各式：题型分类深度剖析解

根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.探究提高知能迁移1

解题型二指数函数的性质【例2】(12分)设函数f(x)=为奇函数.

求：（1）实数a的值；（2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性.

由f（-x）=-f（x）恒成立可解得a的值;

第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可.思维启迪解(1)方法一依题意，函数f（x）的定义域为R，∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），2分∴2(a-1)(2x+1)=0，∴a=1.6分方法二∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，即∴a=1.6分（2）由(1)知，设x1<x2且x1,x2∈R，8分

10分∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在R上是增函数.12分

(1)若f(x)在x=0处有定义,且f(x)是奇函数,则有f(0)=0,即可求得a=1.（2）由x1<x2推得实质上应用了函数

f（x）=2x在R上是单调递增这一性质.探究提高知能迁移2

设是定义在R上的函数.（1）f（x）可能是奇函数吗？（2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性.

解

(1)方法一假设f(x)是奇函数,由于定义域为R,∴f（-x）=-f（x）,即整理得即即a2+1=0,显然无解.∴f（x）不可能是奇函数.

方法二若f(x)是R上的奇函数，则f(0)=0,即∴f(x)不可能是奇函数.(2)因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x),即整理得又∵对任意x∈R都成立，∴有得a=±1.当a=1时，f(x)=e-x+ex,以下讨论其单调性，任取x1,x2∈R且x1<x2,当f(x1)<f(x2),f(x)为增函数,此时需要x1+x2>0，即增区间为[0,+∞),反之(-∞,0]为减区间.当a=-1时，同理可得f(x)在（-∞，0］上是增函数，在［0，+∞）上是减函数.题型三指数函数的图象及应用【例3】已知函数

(1)作出图象；

(2)由图象指出其单调区间；

(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.

解（1）由已知可得其图象由两部分组成：一部分是：另一部分是：y=3x(x<0)y=3x+1(x<-1).向左平移1个单位向左平移1个单位图象如图：(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，在（-1，+∞）上是减函数.(3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值.

在作函数图象时,首先要研究函数与某一基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.探究提高知能迁移3若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是______.

解析数形结合.

当a>1时，如图①,只有一个公共点，不符合题意.

当0<a<1时，如图②,由图象知0<2a<1,1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线.当0<a<1，

x→+∞时，y→0；当a>1，x→-∞时,y→0;当a>1时，

a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快；当0<a<1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.2.画指数函数y=ax的图象,应抓住三个关键点:(1,a)、

(0,1)、(-1,).方法与技巧思想方法感悟提高3.在