2014自考微分方程试题a

常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．y1

(x), y2

(x)为方程的基本解组充分必要条件是线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） ．y2yy0的基本解组是ex,xex．一个不可延展解的存在在区间一定是 开 区间．11y2方程dx

y1．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）dyx1y方程dx 3 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是D ．y（A）上半平面 （B）xoy平面 （C）下半平面 除y轴外的全平面y方程dydx

1（C ）奇解．有一个 （B）有两个 （C）无 有无数个f(y)连续可微是保证方程dyf(y)解存在且唯一的（B ）条件．dx必要 （B）充分 充分必要 必要非充分二阶线性非齐次微分方程的所有解（C ．构成一个2维线性空间 （B）构成一个3维线性空间不能构成一个线性空间 构成一个无限维线性空间dy3y21．方程dx 3过点(0,0有（A ．无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分：11.

dyylnydx12.

dy y1(y1(y)2xdy13. yxy5dx14．2xydx(x2

y2)dy015．yxy2(y)3四、计算题（每小题10分，本题共20分）y5y5x2的通解．求下列方程组的通解．dxy 1dt sintdy t五、证明题（每小题10分，本题共20分）1f(x在[0,limf(x)0，求证：方程xdyyf(x)dxy(xlimy(x)0． 在方程y p(x)yq(x)y0中，p(x),q(x)在(,)上连续求证若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(,)上的严格单调函数．第二套一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．方程xsinydxycosxdy0所有常数解是 yk,k2,或x2k,k0,1,2,．dy方程dxx siny满足解的存在唯一性定理条件的区域是xo平面．2Y1

(x),Y2

(x), ,Yn

(x)为基本解组的充分必要 条件是它们的朗斯基行列式W(x)0．dy方程

ysin(xy)的任一非零解 不能 与x轴相交．n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为n 个．y二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）y方程dydx

1（B ）奇解．（A）有无数个 （B）无 （C）有一个 有两个11y2方程dx

过点(,0)（A ．只有一个解 （B）有无数个解 （C）只有两个解 （D）无解

(x,y)有界是方程dyf(x,y)初值解唯一的（C ）条件．y dx必要 （B）必要非充分 （C）充分 （D）充分必要方程yx3yxy0的任一非零解在xoy平面上（A ）与x轴相切．不可以 （B）只有在点0)处可以只有在原点处可以 只有在点0)处可以n阶线性非齐次微分方程的所有解（D ．构成一个线性空间 （B）构成一个n1维线性空间构成一个n1维线性空间 （D）不能构成一个线性空间三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分：dy

exydx

dy

y1dx xeydx(xe

2y)dy014．yy2)15．yyy210四、计算题（每小题10分，本题共20分）2y4ycos2x的通解．求下列方程组的通解．dxydtdy2x t五、证明题（每小题10分，本题共20分）dy设方程dx

x2fy中，fy在(yfy0y0y(x0

)y0

的解y(x)必在区间[x0

,)上存在．y

(xy1

(x)是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们2不能有共同的零点．常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程M(x,y)dxN(x,y)dy0有只含x的积分因子的充要条件是（ 。只含y的积分因子的充要条件。２、 称为黎卡提方程，它有积分因。３、 称为伯努利方程，它有积分因４若X1(t),X2(t), ,Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解则它们线性无关的充要条件是 。５、形的方程称为欧拉方程。(t) (t) ６、若 和 都是

A(t)x

的基解矩阵，则

(t)

(t)和

具有的关系是 。７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部时，零解是稳定的，对应奇点称。二、计算题（６０％）ydx(xy3)dy01、２、xxsintcos2t2 1

A (t),(0)1３、若(dy４、dx

1 44xydx

试求方程组8y2

xAx的解

2 expAtdyxy2５、求方程dx 经过（0，0）的第三次近似解dx6.dt

xy1,dydt

xy

的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.3三、证明题（１０％）１、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。常微分方程期终试卷(2)一、填空题30%1、形如 的方程，称为变量分离方程，这.f(x).(y)分别为x.y的连续数。2、形如 的方程，称为伯努利方程，这里P(x).Q(x)为x的连续函数.n

，可化为线性方程。3、如果存在常数 L 使得不等式

对于所有（x,y1

),(x,y2

)R都成立，L称为利普希兹常数。函数f(x,y)称为在R上关于y满足利普希兹条件。14、形如 的方程，称为欧拉方程，这里1

,a,是常数。25(t)是xAx的基解矩阵，(t)xA(t)xf(t的某一解，则它的任一解(t)可表为 一、计算题40%dy1

6yx

xy的通解。 exy2、求方程dx x 的通解。3、求方程x''6x'5xe2t的隐式解。dy4dx

xy2通过点的第三次近似解。二、证明题30%t2 t

0 1

x

2 2

1

=2t 是方程组x'=t2

tx,x=x2，在任何不包含原点的区间atb上的基解矩阵。t设 为方程x'=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E，证明:1

0)=(t-t

)t

为某一值.常微分方程期终试卷(3)1y1y21. 2xylnydx+{x2+y2dy y

}dy=0dx(

x-xy2y2 )23. y'

xy1x2y2x2y25. tgydx-ctydy=046. 6. {y-x(x2+y2)}dx-xdy=0m（比例系数为k（比例系数为k2试求此质点的速度与时间的关系。xf(t)dt8.已知f(x)0 =1,x

0,试求函数f(x)的一般表达式。二．证明题(10%*2=20%)1Mdx+Ndy=0MNxM+yN0,则(xMyN)是该方程的一个积分因子。证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。一、填空题

常微分方程期终试卷（4）1（ ）称为变量分离方,它有积分因( )。２、当（ ）时，方程M(x,y)dxN(x,y)dy0称为恰当方程，或称全微分方程。３、函数f(x,y)称为在矩形域Ｒ上关于y满足利普希兹条件，如果（ 。(x) (x)()４、对毕卡逼近序列，k k1 。５、解线性方程的常用方法有（ 。i６若X(t)(i,n)为齐线性方程的n个线性无关解则这一齐线性方程的所有解可为（ 。i７、方程组xA(t)x（ 。８、若(t)和t)都是x(t)x的基解矩阵，则(t)和t)具有关系（ 。９、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（）的奇点称为（。１０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（ ）时，零解是渐近定的，对应的奇点称为（。当（）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（ 。0１１、若(t)是xA(t)x的基解矩阵，则xA(t)xf(t)满足x(t) 的解0（ 。二、计算题dy求下列方程的通解。dy 4eysinx1１、dx 。 dy y2(dx)21２、 。dyxy2３、求方程dx 通过(0,0)的第三次近似解。求解下列常系数线性方程。5xxx0xxet。试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：dx xy!,dy xy5６、 dt dt 。三、证明题。１、１、设(txAx（Ａnn常数矩阵）的标准基解矩阵（即(0)E)，证0 明(t)1(t)(tt)其中t 为某一值常微分方程期终考试试卷0 一．填空题（30分）dyP(x)yQ(xdx e

P(x)dx

其通解为 。函数f(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果 。((x)若 为毕卡逼近序列x2 y

()xn x

(x)n

。方程dx 定义在矩形域R:2x2,2y2上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 。函数组et,et,e2t的伏朗斯基行列式为 。

x(t)(i,i

为齐线性方程的一个基本解组，x(t)

为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 。若(tx'

A(t)x的基解矩阵，则向量函数(t)= 是x'

A(t)xf(t的满足0初始条件(t0)0的解；向量函数(t)= 0x'

A(t)xf(t的满足初始条件(t

)的解。8．若矩阵A具有n个线性无关的特征向量v

,v, ,v12 1

，它们对应的特征值分别为,, 1 2

，那么矩阵(t)= 是常系数线性方程组x'Ax的一个基解矩阵。满足 的点(x*,y*)，称为驻定方程组。二．计算题（60分）求方程4x2y2dx2(x3y1)dy0的通解。dy dydx

x0求方程 x2y2dx求初值问题

y(1)0 R:x1,y1的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。x

9xtsin的通解。6x'

Axf(t的解(t).1 2 et(0),A4 3,f(t)1 dx2x7y19,

x2y5试求线性方程组dt dt

的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。三．证明题 （10分） 0如果(tx0

Ax满足初始条件(t

)的解，那么(t)

expA(tt)0常微分方程期终考试试卷(6)（30分，9小题，103分。1、当 时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。2、 称为齐次方程。dydx3、求 =f(x,y)满足(x0)y0的解等价于求积分方的连续解。dyf(x,y)4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程dx 的解y=(x,x0,y0)作为x,x0,y0的函数在它的存在范围内。5、若x

(t),x121

(t),...x3

(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是 。6x

A(t)x的 称之为x

A(t)x的一个基本解组。7、若(t)是常系数线性方程组x/Ax的基解矩阵，则expAt= 。8、满 的点（x*,y*，称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实时，零解是稳的，对应的奇点称。二、计算题（610分。dy xy11dx

xy232、2、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0dy 3 13讨论方程dx 2y3在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件并求通过的一切解4、求解常系数线性方程：x//2x/3xetcost5x

Ax

1 24 e其A 4 dxaxby, dycy6试讨论方程组dt dt三、证明题（10分。

（1a,b,cac0。7试证：如果（t）x

Ax满足初始条件(t

)的解，那么 0(t 0

eA(t常微分方程期终试卷(7)一、选择题1．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个（）n （）n-1（C）n+1 （D）n+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件（A）充分（B）必要 （C）充分必要（D）必要非充分11y2 ( ,方程dx 过点2 共有（ ）个解．（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三yxdy yx方程dx （ ）奇解．（A）有一个（B）有两个 （C）无 （D）有无数个ydyydx

的奇解是（ ．（A）yx （B）y1 （C）y1 （D）y0x2x2y21.xy'= +y2.tgydx-ctydy=0(x2y)dxxdy0dyy1dx xyx

dx(y3lnx)dy0三、求下列方程的通解或通积分dyydx

y2) ( )2dydx

x x3ye2x四．证明

(x) y1，21，

(x)是方程

yp(x)yq(x)y01的解，且满足y1

(x0)=y2

(x0)=0，y

(x)0，这里p(x),q(x)在(,)上连续，112x0(．试证明：存在常数Cy112

(x)=Cy

(x)．yp(xyq(xy0p(xq(x在(上连续．求证：该方xoy平面上不能与x轴相切．常微分方程期终试卷(8)8一、填空（每空3分）1、其通解为称为一阶线性方程，它有积分因子。，2、函数f(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果。3

(t),x121

(t), ,xn

(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是 。4、形如 的方程称为欧拉方程。5、若(t)和(t)都是x'A(t)x的基解矩阵，则(t)和(t)具有的关系： 。6、若向量函数g(t;y)在域R上 ，则方程组dyg(t;y),(t;t,ydt 0 0

)y

0的解存在且惟一。7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 ，零解是稳定的对应的奇点称为 。二、 求下列方程的解1、(y3x2)dx(4yx)dy0 （6分）2、 ydxxdy(x2y2)dx （8分）3、 y2((2y')2 exy

（8分）4、 dx x （8分）15、x''6x'5xe2t1x''x

（6分）6、x''

sit （8分）17、 2x' （8分）三、求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8分）dx2x7y19,dt dt

x2y5常微分方程期终试卷(9)一、填空题（每小题5分，本题共30分）dyysinxex方程dx 的任一解的最大存在区间必定是 ．方程y4y0的基本解组是 ．Y向量函数组

(x),Y2

(x), ,Yn

(x)在区间I上线性相关条件是在区间I上它们的朗斯基行列式W(x)0．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．9向量函数组Y12n在其定义区间I上线性相关的 条件是它的朗斯基行列式W0，xI．二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解dydx8.ey

3ye2xxy2yy3yx0求方程y 5y sin5x的通解．求下列方程组的通解．dxxdtdy4xdt三、证明题（每小题15分，本题共30分）1 设y 和y 是方程y 0的任意两个解，求证：它们的朗斯基列式WC，其中C1 设在区间(, 上连续．试证明方程dy dx的所有解的存在区间必为(, 常微分方程期终试卷(10)一、填空（30分）dy y dyg() PQR1、dx

xdx

称为黎卡提方程。dy 2、如果

Ry满足利普希兹条件，则方程dx

存在唯一的解0y ，定义于区间xx0

h

)y0，其中0hmb)M max0M， R 。3、若xn)是齐线性方程的nw为其伏朗斯基行列式，则wi1满足一阶线性方程wa0。1MLk1(x)4、对逼卡逼近序列，k kxxk! 0 5、若

和

x'

A的基解矩阵，则和具有关系。M N6、方程M(N0有只含x的积分因子的充要条件是

y x N 10MN有只含y的积分因子的充要条件是

y x (y)M 。dy7、方程dx

y212 经过(0,0点的解在存在区间是(,。二、计算（60分）1xdyyx2y4)dx0。解：所给微分方程可写成(xdyydx)x2y4dx0即有 d(xy)x2y4dx0d(xy)

1dx0上式两边同除以(xy)4，得 (xy)4 x2 1 1c由此可得方程的通解为 3(xy)3 x 1即 13x2y

cx3y3

(c)2yp

12p3解：所给方程是关于y可解的，两边对x求导，有p(2p6p2)dpdx（1）当p0时，由所给微分方程得y0；（2）当dx26p)dpx2p3p2因此，所给微分方程的通解为

c。x2p3p而y0是奇解。

c，yp

2p3

（p为参数）3x

4x

4xet

e2t1解：特征方程2

440，1,2

2，1故有基本解组e2tte2t，11x1

4x

4xet

，因为1不是特征根，故有形如x(t)Aet的特解，x

4x

4xe2t，得2Ae

e2t，解之得A2，x

4x

4x1，因为0不是特征根，故有形如x(t)A的特解，313x

4x

4x1A

4，所以原方程的通解为1 1x(t)e2t(c1

ct)ett2e2t 2 2 44x

Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中2 1 A1 11331解：p()det(EA)0， 331

，2

，均为单根， 设

对应的特征向量为v

1，则由(

EA)v1

v0，得

(2 0 1 1 2 v 2 取1 ，同理可

v1

2 2 则

(t)

v ，1，

(t)ev2 2

，均为方程组的解，令(t)(

(t),2

(t))，3311 1331w(0)det(0) 03又 23

2e e

，e所以(t)即为所求基解矩阵(2 3)e

(2 3)rdxdtdy

xy1 xy55、求解方程组dt 的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。 xy10 x 解：令xy50，得y3，即奇点为Xx2

dXdtdY

XY XY令Yy3，代入原方程组得dt ，1 1 1 1因为1

2

2，又由2

1 1

220，1解得 1

2，22，

为两个相异的实根，所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。dyxy26、求方程dx 经过（0，0）的第二次近似解。0解： (x)0，0x 1， (x)0 f(x,0)dxx1 2，0x 1 1 1 (x)0 f(x, x2)dx x2 x52 2 0

20 。三、证明（10分）假设mA的特征值，试证非齐线性方程组有一解形如其中cp是常数向量。

x'Axcemt(t)pemt12证：设方程有形如(t)pemt的解，则p是可以确定出来的。事实上，将pemt代入方程得mpemt

Apemtcemt，因为emt0，所以mpApec，(mEA)Pc （1）mAdet(mEA0所以(mEA)1存在，于是由（1）得p(mEA)1c存在。故方程有一解(t)(mEA)1cemt

pemt常微分方程期终试卷(11)一．填空称为一阶线性方程，它有积分因子 其通解为 。y(x),则经过(x(x)若（x）为毕卡逼近序列n。

的极限，则有

（x）—

(x)n若xi(t)（i=1,2,┄, n）是齐线形方程的n个解为其伏朗斯基行列式，则满足阶线性方程 。若xi(t)（i=1,2,┄, n）是齐线形方程的一个基本解组为非齐线形方程的一个特解则非齐线形方程的所有解可表为 。如果A(t)n×nnatb上满足时，方程组xˊ=A(t)x+f(t)满足初始条件x（t0）=的解在atb上存在唯一。若（t）和（t）都是xˊ=A(t)x的基解矩阵，则（t）与（t）具有关系：。若是常系数线性方程组x

Ax的基解矩阵,

(t)0 的(t)解 =

则该方程满足初始条件满足 的点（*,y*，称为方程组的奇点。10．当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 二．计算题分）ydx(xy3)dy01．(dydx

4xydx

8y20dyxy2求方程dx 经过（0，0）的第三次近似解xxsintcos2t132 1

A (t),(0)1若

1

试求方程组

xAx的解

2 expAtdxdt

xy1,dydt

xy

的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三.证明题(10分)f设f(x,yy连续dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.一、填空题（30%）

常微分方程期终测试卷(12)若y=y

(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表1 2示为 ．dyx2y2方程dx 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．

f(x,y)f

(x,y)连续是保证方程dx 初值唯一的 条件．一条积分曲线.

dYA(x)Ydx

的一个基本解组的个数不能多于xRYRn．1 二阶线性齐次微分方程的两个解y(x),y (x)成为其基本解组的充要条是 ．1 dysinxcosy方程dxdy

x2tany

满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．方程dx 的所有常数解是 ．n方程xsinydxycosxdy0所有常数解是 ．n9Y(x),Y9．线性齐次微分方程组的解组1 2是它们的朗斯基行列式W(x)0．

(x), ,

(x)为基本解组的 条件10．n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个．二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：dyytanydx x xdycosycosxsin2ysinydx(2xycosx)dx(x

1)dy014dxydtdy

2xydxxydtdy

2x3y三、证明题（30%）x0及满足条件0y01y0，方程dy y(ydx 1x2y20 y(x)yyy(x在(,0 xlimf(x)x

dyyf(x)

f(x)在[0,)上连续，且 ，求证：方程dx 的任意解yy(x)均有

limxdy

y(x)0． 设方程dx 中，f(y)在( , )上连续可微且yf(y) 0y 0)求0 0 y(x)yy(x必在区间[x,上存在．0 0 一、填空题（30分）1、方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 有只含x 的积分因子的充要条件是M（ yx

N(x)

），有只含y 的积分因子的充要条件是M

M(y)（y x 。xdy

f(x,y)dx2、求dx=f(x,y)满足(x0)y0的解等价于求积分方程0+x0 。dy3、方程dx

x2y2

定义在矩形域R:-2

x2,2y

上，则经过点（0，0）的即1x1位存在区间是（4 4。4、若Xi(t)(I=1,2,,n)是齐线性方程的n个解，W(t)为伏朗斯基行列式，则W(t)满足一阶线性方程（W(t)+a1(t)W(t)=。5、若X1(t),X2(t),Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是（W[X1(t),X2(t),Xn(t)]0。6、在用皮卡逐步逼近法求方程组X'=A（t）X+f(x),X(t0

)=的近似解时，则15t(t)([A(s)tkt0

k

(s)f(s)]ds。7、当方程的特征根为两个共扼虚根时，则当其实部（为零）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（稳定中心。8、满足（X(x,y)=0,Y(x,y)=0）的点（x*,y*）,称为方程组的奇点。9、若(t)和(t)都是X'=A(t)X 的基解矩阵，则(t)和(t)具有关系：（(t)(t)C(C为非奇异矩阵。dnyn

dn1yn1

ay0)10、形如（x dxn

+a

dxn1+ n

的方程称为欧拉方程。二、计算题求下列方程的通解（１－２）

x2y

y3)dx(x2y2)dy03M解：因为y

2xx2y2,x

2xM又因为yNNx所以方程有积分因子：u(x)=ex方程两边同乘以ex得：y3ex(2xyx2y

)dxex(x23

y2)dy0y3ex(2xyx2y)dxexx2dy][ex［

dxexy2dy]03也即方程的解为

exx2yex

y3c3 ．x3y33xy0(y２、dyyptx

dydx解：令，dx ，则x x3t

x 3tx 0

1t3ptx从而

3t21t3y ( )( )dt c又 1t3 1t316314t3 c＝2(1t3)2＝故原方程的通解为 x

3t1t3 314t3y c 2(1t3)2dyxy2

t为参数３、求方程dx 经过（０，０）的第三次近似解解：0

y 00x x2 xdx1 20x x4 x2 x 5 (x )dx 2 4 2 200 x(xx4

x10 x)7dx3 4 400 200x2x5 x8＝2 20 4400 160d2x

2

3x1４、求dt2 dtd2x2

的通解3x0解：齐线性方程dt2 dt

的特征方程为2

230故齐线性方程的一个基本解组为e3tet因为0不是特征方程的特征根所以原方有形如

x(t) B＝0

B1的特解x(t) B将 ＝0

B1代入原方程，比较t的同次幂系数得：3B0

t(2B0

1

)1 3B2 3 12故有

0B3B0

1 B0解之得：0

B12， 91所以原方程的解为：x(t)ce3tcet(3t1)1 2 2 917211211解：记A=1

1 12 1 2的基解矩阵1 12 1 2,p(det(E1)(2)(3)01 得1 ，

2,3

3均为单根设1

v1，则由

(EA)V01 1 得0 0v,0

11,

1 取 1同理可得2 3对应的特征向量为：1v ,v

02

1(t)etv,(t)e2tv,(t)e3tv则1 1 2 2 3 3均为方程组的解(t)(令 1

(t),2

(t),3

(t))01011w(0)det(0)1100111(t)(所以

(t),2

(t),3

(t))

即为所求。d2x3

2x0６、试求dt2 dt

的奇点类型及稳定性dxy

dy3y2x解：令dt ，则：dt0 10 02 3因为 ，又由 得2320

解之得

1,2

为两相异实根，且均为负故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。7.m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数1k。试求此质点的速度与时间的关系。218Fa (其中aF

为质点受到的合外力)解：由物理知识得： m 合

ktkv合m故： dt

1 2kt1

v(k2

0)dvdt

k k( 2)v 1t (*)m m(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有Ve

k2(m(

k1t

k2m

dtc)k2t k

mk2t

mk k2tem

(1temk2

1emk22mk1

c)t=0时，V=0

k22mkV 1

k2m

k 1(tk 22 因此，此质点的速度与时间的关系为： k2 22 高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分）1、若y,y1 2

是方程 y

( ) (())的两个特解，要使y1

y 也2是解，则 与 应满足的关系是（D）A 1 B 1 C 0 D 12 22、下列方程中为全微分方程的是（C）A(22xyy2)dx(xy1)2dy0B(x2xy2)dx(y2x2y)dy0C(1e2)d2e2d0D(x2y2)dx(2xyx)dy03、设

为实常数，方程y2y2y0的通解是（D）CexC1 2

CcosxC1

sinxex(C1

cosxC2

sinx) D (C1

Cx)e24、方程y2y2yexcosx 的特解

形式为（B）A axexcosxBaxexcosxbxexsinxC ax2excosxbx2exsinxDax2excosx5、已知yex

xy(t)dt ，则函数y(x)的表达式为（D）A yxexC yxex

0CCex

B yxexD y(x1)ex二、填空题（每小题4分，共20分）dy 11

的通解是xe2yyC)dx 2xe2y2、方程x(y1)y 的通解是yx(lnxC)193、以y1

e2x,y2

xe2x

为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为y4y4y04、已知方程yy0的积分曲线在点O(0,0) 处与直线yx相切则该积分曲线的1方程为y

(ex2

ex)shx5、方程xdyydx0的一个只含有x 的积分因子为1x2（60分）1（8分）求方程yx1)dx(2y2x3)dy0的通解解：令yx1u，则dydudx，代入原方程得(u1)dx(2u1)du 即(2 1 )dudx，两边积分得u12uln(u1)xC1

，代回原方程，得通解2yxln(yx2)C2（6分）求方程(1x2)dy(2xy3x23)dx的通解解：方程改写为y

2xy 3，则通解为1x2yeln(1x2)[3eln(1x2)dxC](1x2)(C