2021年专升本高等数学公式全集

专升本高等数学公式（全）常数项级数：qq

qn

1qn1q23n

(n1)n2

111是发散的2 3 n级数审敛法：、正项级数的审敛法 ——根植审敛法（柯西判 别法）：1时，级数收敛设：limnn

u，则n

时，级数发散 时，不确定2、比值审敛法：

1时，级数收敛

Un1，则

时，级数发散nUn3、定义法：

时，不确定s uun 1 2

un

;limsn

存在，则收敛；否则发 散。交错级数uu1 2

uu3

(或1

uu2

,unu

un1，那么级数收敛且其和su

,其余r的绝对ru 。 limu n

1 n n

n1绝对收敛与条件收敛：(1)uu1

un

为任意实数；n(2)u1

uu2 3

un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数：1发散，而(1)n收敛；n1n

n收敛；p1

ｐ１时发散np p时收敛幂级数：1xx2x3xn

x时，收敛于x时，发散

1x对于级数(3)a0

axa1

x2n

xn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散，其中R称为收敛半径。xR时不定R1anan1a求收敛半径的方法：设limn

a，an

是的系数，则 时，Rn1n R0函数展开成幂级数：

f(x

) f(n)(x)函数展开成泰勒级数：fx)fx0f(n1)()

)(xx0

) 2!

(xx)0

n!

(xx0

)n余项：Rn

(xx(n

)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR 0n nf (0)f (0)x 时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)x x2

f(n)(0)0 某些函数展开成幂级数：m(m1)x)m1mx x

m(m1)(mn1) x

(1x1)2! n!x3 x5 x2n1 sinxx (1)n1 (x(2n1)!可降阶高阶微分方程y(n)f(x)解法（多次积分法）：令uy(n1)yf(xy')

duf(x多次积分求f(x)dx令pydpdx

f(x,p一阶微分方程yfyy')令pydpdx

dpdy

pdpdy

fy,p类型二y'p(xyQ(x)若Q(X)等于0，则通解为yCep(x)dx（一阶齐次线性）。若不等于0，通解yepx)dxQ(x)epx)dxdxc（一阶齐次非线性）。一阶齐次非线性方程通解是相应齐次方程通解与它一种特解之和。三、线性微分方程类型一：y''P(x)y'Q(x)y0（二阶线性齐次微分方程）y1

(x),y2

(x)y(xc1

y(x)c1

y(x)2yP(xy'Q(xyf(x（二阶线性非齐次微分方程）y3

(x)c1

y(x)c1

y(x)2

(x)，则：y(x)yp

(x)c1

y(x)c1

y(x)2ypy'q0（二阶线性常系数齐次微分方程）p p24q解法（特性方程法）：2pp p24q1,2 2（一）p24q0ycexcex1 21 2 1 2（二）01 2

y(c1

cx)ex2（三）01

i,2

iyex(c1

cosxc2

sinx)导数公式：(tgx)sec2x(ctgx)csc2x(secx)secx

(arcsinx) 1(arccosx) (cscx)cscx(ax)axlna

(arctgx)

111x21x21x2(loga

x) 1xlna

(arcctgx)

11x2基本积分表：tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtgx

dxcos2xdxsin2x

sec2xdxtgxCcsc2xdxctgxCcscxdxlncscxctgx dx 1 x

secxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCarctg Ca2x2 a axaxa dx xaxa

axdxa Cxlnaxx2a2 2a

shxdxchxC dx 1lnaxC

chxdxshxCx2a2x2a2a2x2a2x2a2a2a2x2

arcsin

xCa

ln(x

)CI 2sinn

xdx2cosnxdx

n1n

In20 xx2a2x2xx2a2

a2

ln(x

x2ax2a2x2a2dx

2 2xx2xx2a2xaxa2x2

lnx Cx2a2a2x2dxx2a2

a2arcsinxC三角函数有理式积分：

2 a某些初等函数： 两个重要极限：双曲正弦shxexex2 双曲余弦chxexe

limsinxx0 xlim(11

1)xe2.718281828459045...双曲正切thx

2shxchx

exexexex

x xarshxln(x x2archxln(x x21)1 1xarthx

ln2 1x)sincoscossin)coscossinsintg() tgtg1tgtg

sinsin2sin2sinsin2cos2

cos2sin2ctg()ctg

ctg

coscos2cos2

cos2ctg

coscos2sin2

sin2·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：sin2sincoscos2cos2112sin2cos2sin2

sin3sin4sin3

ctg212ctg

4cos33costg3tg2

1tg

13tg2·半角公式：sin

1cos

cos

1cos2 2 2 2 1cos 1cos sin 1cos 1cos sintg 2

1cos

sin

1cos

ctg 2

1cos

sin

1cos·正弦定理：

2R ·c2a2b22abcosCa b sinA sinB sinCa b ·arcsin

2

arccosx

2

arcctgx中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a) f()柯西中值定理： F(b)F(a)

F()当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。：空间解析几何和向量代数空间2点的距离：dMM(xxy(zz1 221 2121PrjABu

cos,是ABu轴的夹角。ABPrjAB

a)Pr

Pru 1 2 1 2ab abcos ab ab abxx yy

zzaxaxx yaxaxx yy2 a2yzzzb2 b2 bx y zcosicab axbx

jkacabsin例：线速度：vwy zby z向量的混合积abc](ab)cabxab向量的混合积abc](ab)cabxabyabzxcxcyyzcz代表平行六面体的体积。平面的方程：、点法式：A(x

)B(y

)C(z

)0

{A,B,C},

(x,y,z)0 0

，其中n

0 0 0 0、一般方程：AxByCzD0x y z、截距世方程： 1Ax Ax By Cz D0 0 0A2B2C2平面外任意一点到该平面的距离：dxx yy zz

xx

mtm n p 空间直线的方程： 0 0 0t,其s,n,};参数方程ym n p

nt二次曲面：

0zz pt0x2 y2 z2、椭球面：a2

1b2 c2x2 y2、抛物面： ,p,同号）2p 2q3、双曲面：x2 y2 z2单叶双曲面：a2

1b2 c2 x2y2

马鞍面）a2 b2 c2多元函数微分法及应用全微分：dzzdxzdy du

u u udx dy dzx y x y z全微分的近似计算：zdzfx多元复合函数的求导法：

(x,y)xfy

(x,y)ydz u z vzf[u(t),v(t)] dt u t v tz z u z vzf[u(x,y),v(x,y)]

x

u

vx当uu(x,y)，vv(x,y)时，u u duxdxydy dvdxdy隐函数的求导公式：dy F

d2y F

F dy隐函数F(x,y) x， ( x( x)dx Fy

dx2

x F

F dxyx 隐函数F(xyzzx

zFx Fz

Fz微分法在几何上应用：x(t)

(t)在点M(xy

xx处的切线方程： 0

yy0

zz 0z(t)

0 0 0

(t0

) 0

) (t)0在点M处的法平面方程：(t0

)(xx0

)0

)(yy0

)(t0

)(zz0

)0若空间曲线方程为F(x,y,z)

F,则切向量T{ y

F Fz, z

F F Fx, x y}G(x,y,z)

G G G G G G曲面F(xyz上一点M(x 0

,y,z0

)，则：

y z z x x y、过此点的法向量：n{Fx

(x,y,z0 0

),Fy

(x,y,z0 0

),Fz

(x,y,z)}0 0 02、过此点的切平面方程：Fx

(x,y,z0 0

)(xx0

)Fy

(x,y,z0 0

)(yy0

)Fz

(x,y,z0 0

)(zz0

)03、过此点的法线方程：

xx0

yy0

zz0F(xx 0

,y,z) F0 0

(x,y,z) F0 0 0

(x,y,z)0 0 0方向导数与梯度：函数z

f

fcosf

sinf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：l x y其中为x轴到方向l的转角。函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)

fff

xi

yj 它与方向导数的关系是：l

gradf(xye，其中ecos

isin

j，为l方向上的单位向量。fl

是gradf(x,y)在l上的投影。多元函数极值及其求法：设fxyx 0

)fy

(x,y0

)0，令：fxx

(x,y0

)A, fxy

(x,y0

)B, fyy

(x,y0

)CB

ACA0,(x0,y

)为极大值A0x,y)为极小值0 0B

AC时， 无极 值B2AC时, 不确定柱面坐标和球面坐标：曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设f(xy)

x(t), t),则：在L上连续，L的参数方程为y

(t)

xtf(x,y)dsftt)] 2t