湖南省中考数学复习三角形课时22锐角三角函数及其应用课件

课前考点过关中考对接命题点一锐角三角函数的定义课前考点过关中考对接命题点一锐角三角函数的定义1课前考点过关命题点二特殊角的三角函数值课前考点过关命题点二特殊角的三角函数值2课前考点过关命题点三解直角三角形的应用3.[2018·娄底]如图22-2,往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水,水面高度为6cm,现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB的位置,则AB中水柱的长度约为 (

)图22-2A.4cm

B.6cm

C.8cm

D.12cm【答案】C【解析】将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°后,左、右两侧液面的竖直高度相等,且竖直方向和AB方向的总长度不变.根据AB与水平方向成30°夹角,可知此时AB中水柱的长度为右边竖直高度的2倍,而总长度仍然为12cm.利用方程易得AB中水柱的长度为8cm.故选C.课前考点过关命题点三解直角三角形的应用3.[2018·娄3课前考点过关4.[2018·邵阳]某商场为了方便消费者购物,准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图22-3,已知原阶梯式自动扶梯AB的长为10m,坡角∠ABD为30°;改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°,请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.(结果精确到0.1m,温馨提示:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)图22-3课前考点过关4.[2018·邵阳]某商场为了方便消费者购4课前考点过关5.[2018·长沙]为了加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对A,B两地间的公路进行改建,如图22-4,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶,已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要行驶多少千米?(2)开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少行驶多少千米?(结果精确到0.1千米,参考数据:≈1.41,≈1.73)课前考点过关5.[2018·长沙]为了加快城乡对接,建设5课前考点过关课前考点过关6课前考点过关6.[2018·湘潭]随着航母编队的成立,我国海军日益强大,2018年4月12日,中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵,在阅兵之前我军加强了海上巡逻,如图22-5,我军巡逻舰在某海域航行到A处时,该舰在观测点P的南偏东45°的方向上,且与观测点P的距离PA为400海里;巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后,到达位于观测点P的北偏东30°方向上的点B处,问:此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里?(参考数据:≈1.414,≈1.732,结果精确到1海里)课前考点过关6.[2018·湘潭]随着航母编队的成立,我7课前考点过关考点自查考点一锐角三角函数的概念课前考点过关考点自查考点一锐角三角函数的概念8课前考点过关考点二特殊角的三角函数值1课前考点过关考点二特殊角的三角函数值19课前考点过关考点三锐角三角函数之间的关系余弦值正弦值正切值的倒数课前考点过关考点三锐角三角函数之间的关系余弦值正弦值正切值10课前考点过关考点四解直角三角形课前考点过关考点四解直角三角形11课前考点过关课前考点过关12课前考点过关考点五解直角三角形的应用仰角和俯角定义

在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角坡度和坡角坡度

坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i=①

坡角

坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.i=tanα,坡度越大,坡角越大,坡面②

方向角(或方位角)定义

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角图例越陡课前考点过关考点五解直角三角形的应用仰角和俯角定义在视线13课前考点过关易错警示【失分点】1.要注意坡度,坡角的正切值,即是比值,结果为数;2.方位角的转向,如南偏东36°,即从正南的方向线向正东方向转过36°方向所成的角.1.如图22-6,梯形ABCD是某水库大坝的横截面,坝顶宽CD=3m,斜坡AD的长为15m,坝高8m,斜坡BC的坡度为.求:(1)斜坡AD,BC的坡角α,β(精确到0.01°);(2)坝底宽AB的值.(精确到1m)课前考点过关易错警示【失分点】1.要注意坡度,坡角的正切14课前考点过关1.如图22-6,梯形ABCD是某水库大坝的横截面,坝顶宽CD=3m,斜坡AD的长为15m,坝高8m,斜坡BC的坡度为.求:(2)坝底宽AB的值.(精确到1m)课前考点过关1.如图22-6,梯形ABCD是某水库大坝的横15课前考点过关2.如图22-7,已知在港口A的南偏东75°方向有一礁石B,轮船从港口出发,沿东北方向(北偏东45°方向)前行10里到达C后测得礁石B在其南偏西15°处,求轮船行驶过程中离礁石B的最近距离.课前考点过关2.如图22-7,已知在港口A的南偏东75°方16课堂互动探究探究一锐角三角函数的定义课堂互动探究探究一锐角三角函数的定义17课堂互动探究[方法模型]利用锐角三角函数的定义解题的步骤:(1)判定(构造)直角三角形;(2)找到所求或所用的锐角;(3)选用所用锐角的一种三角函数,根据其定义列出比例式,得出适当的方程(或式子);(4)解出结果.课堂互动探究[方法模型]利用锐角三角函数的定义解题的步骤:18课堂互动探究B课堂互动探究B19课堂互动探究拓展2[2018·宜昌]如图22-9,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得PC=100米,∠PCA=35°,则小河宽PA等于 (

)图22-9A.100sin35°米 B.100sin55°米C.100tan35°米 D.100tan55°米课堂互动探究拓展2[2018·宜昌]如图22-9,要测量20课堂互动探究课堂互动探究21课堂互动探究探究二特殊角的三角函数值的计算[方法模型]特殊角的三角函数值的计算分两种:(1)已知函数值求锐角;(2)已知特殊角求三角函数值.同一锐角的三角函数值互化:一般将已知锐角的函数比值的分子、分母转化为直角三角形的两边,通过勾股定理求出第三边,再结合锐角三角函数的定义,通过比值计算即可求出.课堂互动探究探究二特殊角的三角函数值的计算[方法模型]特22课堂互动探究90°

课堂互动探究90°23课堂互动探究课堂互动探究24课堂互动探究探究三实际应用问题例3[2018·岳阳]图22-10①是某小区入口实景图,图②是该入口抽象成的平面示意图.已知入口BC宽3.9米,门卫室外墙AB上的点O处装有一盏路灯,点O与地面BC的距离为3.3米,灯臂OM的长为1.2米(灯罩长度忽略不计),∠AOM=60°.(1)求点M到地面的距离.(2)某搬家公司一辆总宽2.55米,总高3.5米的货车从该入口进入时,货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离,此时,货车能否安全通过?若能,请通过计算说明;若不能,请说明理由.(参考数据:≈1.732,结果精确到0.01米)课堂互动探究探究三实际应用问题例3[2018·岳阳]图25课堂互动探究课堂互动探究26课堂互动探究拓展1[2018·常德]如图22-11①是一商场的推拉门,已知门的宽度AD=2米,且两扇门的大小相同(即AB=CD),将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°,将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°,其示意图如图②,求此时B与C之间的距离(结果保留一位小数).(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,≈1.4)课堂互动探究拓展1[2018·常德]如图22-11①是27课堂互动探究课堂互动探究28课堂互动探究课堂互动探究29课堂互动探究课堂互动探究30课堂互动探究课堂互动探究31课堂互动探究课堂互动探究32课堂互动探究探究四坡度、坡角问题课堂互动探究探究四坡度、坡角问题33课堂互动探究课堂互动探究34课堂互动探究课堂互动探究35课堂互动探究课堂互动探究36课堂互动探究拓展[2018·重庆B卷]如图22-14,AB是一垂直于水平面的建筑物.某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°≈0.45) (

)A.21.7米

B.22.4米

C.27.4米

D.28.8米课堂互动探究拓展[2018·重庆B卷]如图22-14,37课堂互动探究课堂互动探究38课堂互动探究探究五仰角、俯角、方位角问题例5[2018·湘西州]如图22-15,某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A,B两个景点,景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量,C位于A的北偏东60°的方向上,C位于B的北偏东30°的方向上,且AB=10km.(1)求景点B与C之间的距离;(2)为了方便游客到景点C游玩,景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路,不考虑其他因素,求出这条最短公路的长.(结果保留根号)解:(1)由题意,得∠CAB=30°,∠ABC=90°+30°=120°,∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=30°,∴∠CAB=∠C=30°,∴BC=AB=10km,即景点B,C之间的距离为10km.课堂互动探究探究五仰角、俯角、方位角问题例5[2018·39课堂互动探究例5[2018·湘西州]如图22-15,某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A,B两个景点,景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量,C位于A的北偏东60°的方向上,C位于B的北偏东30°的方向上,且AB=10km.(2)为了方便游客到景点C游玩,景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路,不考虑其他因素,求出这条最短公路的长.(结果保留根号)课堂互动探究例5[2018·湘西州]如图22-15,某市40课堂互动探究课堂互动探究41课堂互动探究拓展1[2018·济宁]如图22-16,在一笔直的海岸线l上有相距2km的A,B两个观测站,B站在A站的正东方向上,从A站测得船C在北偏东60°的方向上,从B站测得船C在北偏东30°的方向上,则船C到海岸线l的距离是

km.

课堂互动探究拓展1[2018·济宁]如图22-16,在一42课堂互动探究拓展2[2018·宁波]如图22-17,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为

米(结果保留根号).

课堂互动探究拓展2[2018·宁波]如图22-17,某高43课堂互动探究拓展3[2018·广安]据调查,超速行驶是引发交通事故的主要原因之一,小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速.如图22-18所示,观测点C到公路的距离CD=200m,检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上,终点B位于点C的南偏东45°方向上,一辆汽车由东向西匀速行驶,测得此车由A处行驶到B处的时间为10s,问:此车是否超过了该路段16m/s的限制速度?(观测点C离地面的距离忽略不计,参考数据:≈1.41,≈1.73)课堂互动探究拓展3[2018·广安]据调查,超速行驶是44课堂互动探究课堂互动探究45课前考点过关中考对接命题点一锐角三角函数的定义课前考点过关中考对接命题点一锐角三角函数的定义46课前考点过关命题点二特殊角的三角函数值课前考点过关命题点二特殊角的三角函数值47课前考点过关命题点三解直角三角形的应用3.[2018·娄底]如图22-2,往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水,水面高度为6cm,现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB的位置,则AB中水柱的长度约为 (

)图22-2A.4cm

B.6cm

C.8cm

D.12cm【答案】C【解析】将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°后,左、右两侧液面的竖直高度相等,且竖直方向和AB方向的总长度不变.根据AB与水平方向成30°夹角,可知此时AB中水柱的长度为右边竖直高度的2倍,而总长度仍然为12cm.利用方程易得AB中水柱的长度为8cm.故选C.课前考点过关命题点三解直角三角形的应用3.[2018·娄48课前考点过关4.[2018·邵阳]某商场为了方便消费者购物,准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图22-3,已知原阶梯式自动扶梯AB的长为10m,坡角∠ABD为30°;改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°,请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.(结果精确到0.1m,温馨提示:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)图22-3课前考点过关4.[2018·邵阳]某商场为了方便消费者购49课前考点过关5.[2018·长沙]为了加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对A,B两地间的公路进行改建,如图22-4,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶,已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要行驶多少千米?(2)开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少行驶多少千米?(结果精确到0.1千米,参考数据:≈1.41,≈1.73)课前考点过关5.[2018·长沙]为了加快城乡对接,建设50课前考点过关课前考点过关51课前考点过关6.[2018·湘潭]随着航母编队的成立,我国海军日益强大,2018年4月12日,中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵,在阅兵之前我军加强了海上巡逻,如图22-5,我军巡逻舰在某海域航行到A处时,该舰在观测点P的南偏东45°的方向上,且与观测点P的距离PA为400海里;巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后,到达位于观测点P的北偏东30°方向上的点B处,问:此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里?(参考数据:≈1.414,≈1.732,结果精确到1海里)课前考点过关6.[2018·湘潭]随着航母编队的成立,我52课前考点过关考点自查考点一锐角三角函数的概念课前考点过关考点自查考点一锐角三角函数的概念53课前考点过关考点二特殊角的三角函数值1课前考点过关考点二特殊角的三角函数值154课前考点过关考点三锐角三角函数之间的关系余弦值正弦值正切值的倒数课前考点过关考点三锐角三角函数之间的关系余弦值正弦值正切值55课前考点过关考点四解直角三角形课前考点过关考点四解直角三角形56课前考点过关课前考点过关57课前考点过关考点五解直角三角形的应用仰角和俯角定义

在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角坡度和坡角坡度

坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i=①

坡角

坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.i=tanα,坡度越大,坡角越大,坡面②

方向角(或方位角)定义

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角图例越陡课前考点过关考点五解直角三角形的应用仰角和俯角定义在视线58课前考点过关易错警示【失分点】1.要注意坡度,坡角的正切值,即是比值,结果为数;2.方位角的转向,如南偏东36°,即从正南的方向线向正东方向转过36°方向所成的角.1.如图22-6,梯形ABCD是某水库大坝的横截面,坝顶宽CD=3m,斜坡AD的长为15m,坝高8m,斜坡BC的坡度为.求:(1)斜坡AD,BC的坡角α,β(精确到0.01°);(2)坝底宽AB的值.(精确到1m)课前考点过关易错警示【失分点】1.要注意坡度,坡角的正切59课前考点过关1.如图22-6,梯形ABCD是某水库大坝的横截面,坝顶宽CD=3m,斜坡AD的长为15m,坝高8m,斜坡BC的坡度为.求:(2)坝底宽AB的值.(精确到1m)课前考点过关1.如图22-6,梯形ABCD是某水库大坝的横60课前考点过关2.如图22-7,已知在港口A的南偏东75°方向有一礁石B,轮船从港口出发,沿东北方向(北偏东45°方向)前行10里到达C后测得礁石B在其南偏西15°处,求轮船行驶过程中离礁石B的最近距离.课前考点过关2.如图22-7,已知在港口A的南偏东75°方61课堂互动探究探究一锐角三角函数的定义课堂互动探究探究一锐角三角函数的定义62课堂互动探究[方法模型]利用锐角三角函数的定义解题的步骤:(1)判定(构造)直角三角形;(2)找到所求或所用的锐角;(3)选用所用锐角的一种三角函数,根据其定义列出比例式,得出适当的方程(或式子);(4)解出结果.课堂互动探究[方法模型]利用锐角三角函数的定义解题的步骤:63课堂互动探究B课堂互动探究B64课堂互动探究拓展2[2018·宜昌]如图22-9,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得PC=100米,∠PCA=35°,则小河宽PA等于 (

)图22-9A.100sin35°米 B.100sin55°米C.100tan35°米 D.100tan55°米课堂互动探究拓展2[2018·宜昌]如图22-9,要测量65课堂互动探究课堂互动探究66课堂互动探究探究二特殊角的三角函数值的计算[方法模型]特殊角的三角函数值的计算分两种:(1)已知函数值求锐角;(2)已知特殊角求三角函数值.同一锐角的三角函数值互化:一般将已知锐角的函数比值的分子、分母转化为直角三角形的两边,通过勾股定理求出第三边,再结合锐角三角函数的定义,通过比值计算即可求出.课堂互动探究探究二特殊角的三角函数值的计算[方法模型]特67课堂互动探究90°

课堂互动探究90°68课堂互动探究课堂互动探究69课堂互动探究探究三实际应用问题例3[2018·岳阳]图22-10①是某小区入口实景图,图②是该入口抽象成的平面示意图.已知入口BC宽3.9米,门卫室外墙AB上的点O处装有一盏路灯,点O与地面BC的距离为3.3米,灯臂OM的长为1.2米(灯罩长度忽略不计),∠AOM=60°.(1)求点M到地面的距离.(2)某搬家公司一辆总宽2.55米,总高3.5米的货车从该入口进入时,货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离,此时,货车能否安全通过?若能,请通过计算说明;若不能,请说明理由.(参考数据:≈1.732,结果精确到0.01米)课堂互动探究探究三实际应用问题例3[2018·岳阳]图70课堂互动探究课堂互动探究71课堂互动探究拓展1[2018·常德]如图22-11①是一商场的推拉门,已知门的宽度AD=2米,且两扇门的大小相同(即AB=CD),将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°,将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°,其示意图如图②,求此时B与C之间的距离(结果保留一位小数).(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,≈1.4)课堂互动探究拓展1[2018·常德]如图22-11①是72课堂互动探究课堂互动探究73课堂互动探究课堂互动探究74课堂互动探究课堂互动探究75课堂互动探究课堂互动探究76课堂互动探究课堂互动探究77课堂互动探究探究四坡度、坡角问题课堂互动探究探究四坡度、坡角问题78课堂互动探究课堂互动探究79课堂互动探究课堂互动探究80课堂互动探究课堂互动探究81课堂互动探究拓展[2018·重庆B卷]如图22-14,AB是一垂直于水平面的建筑物.某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°≈0.45) (

)A.21.7米

B.22.4米

C.27.4米

D.28.8米课堂互动探究拓展[2018·重庆B卷]如图22-14,82课堂互动探究课堂互动探究83课堂互动探究探究五仰角、俯角、方位角问题例5[2018·湘西州]如图22-15,某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A,B两个景点,景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量,C位于A的北偏东60°的方向上,C位于B的北偏东30°的方向上,且AB=10km.(1)求景点B与C之间的距离;(2)为了方便游客到景点C游玩,景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路,不考虑其他因素,求出这条最短公路的长.