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文档简介
一、四心的概念介绍（1重心——中线的交点：重心将中线长度分成2；（2垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3心——角平分线的交内圆的圆线的任意点到角两边的距离相等；（4外心——中垂线的交点（外接圆的圆心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合1）
OAOBOC0O
是
的重心证法1：设
Ox),A(x,y),(x,y(xy)11223OAOB是的心证法2：如图OAOBOC
)x)x)23())y)23
33y3AOD0
O
EA、、D
三点共线，且
分
AD
为2：OABC的重心(2)若是ABC的重心则故SBOCOAOB;1PO(PAPC)OABC的重心3
BDCSAOCAOB
2.
OBOC为的心证明：如图所示是角形ABC的心BE垂直ACAD垂，D、E是足OAOBOA)
A,同OA，OC
EO为的心
O3.设
,
,
是三角形的三条边长O是
ABC的内心
BC(1)
cOC0O为ABC的心证明：
ACAB分为AC方上的单位向量，cc
平分,
(
ACb
)，
bcAC（)a化简得
(a
,
bOBcOC0内心的充要条件是/
ABCABC
)OB
|
BC
)
CB
)4.
为ABC的心。典型例题：例：是面上一点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
满足OPABAC，
，则点
的轨迹一定通过
的（）A外心B内心．重心
D．心分析：如图所示中点
，
分别为边
AC
的
ABOA
OA
DC
AP//AD点P的迹一定通过ABC的心，即选C例全理4O
是平面上一定点，
A、C
是平面上不共线的三个点点
满足
OA
ACAC
)
点
的轨迹一定通过B）A外心
B内心
．重心
D．心分析：
AC、
分别为
AC
方向上的单位向量，
平分
,AC点P的轨迹一定通过ABC的心，即选.例3：
是平面上一定点，
A、B、
是平面上不共线的三个点，动点
满足OA
(
AC
)
，
0,则P的迹一定通过（cBA外心
ACcB内心
C．重心
D．心分析如所示垂直BCBE直ACDE是足
(
cos
ACACcos
)
=
ACAC
C/
22222222ABBCcos
BCcos=
ABB
cosC
=
+
=0
点
的轨迹一定通过
ABC
的垂心，即选
D
练习：．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
及平面内一点
P
，满足
PB
，若实数
满足：
AC
，则
的值为（）A2B．
32
．3D6若ABC的接圆的圆心为半径为1OAOC则
()A
11B．0．1．22．
在
内部且满足
OC
，则
面积与凹四边形ABOC
面积之比是（）A0B．
354C．．23．
的外接圆的圆心为O，若
OA
，则
H
是
的（）A外心
B内心
C．重心
D．心．
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，若
OAOC，是ABC的）A外心
B内心
．重心
D．心外接圆的圆心为O边的高的交点为HOHOAOBOC)则实数=
，→→→→→→AC→AC陕）已知非零向A与AC足(+)且·=则→→→→|AB||AC|△ABC为()A三边均不相等的三角形C．腰非等边三角形
B直角三角形D．边角形
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