2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 （解析版）

第Page\*MergeFormat16页共NUMPAGES\*MergeFormat16页直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是____．2.斜率为1的直线l与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为____．3.直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交点个数是____个．4.已知A1，A2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－eq\f(4,9)，则椭圆C的离心率为____．5.在平面直角坐标系中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点，离心率为eq\f(1,2).(1)求椭圆C的方程．(2)若斜率为eq\f(\r(3),2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，试探究OA2＋OB2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一.直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．变式在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．例2如图，在平面直角坐标系中，已知焦点在x轴上，离心率为的椭圆E的左顶点为A，点A到右准线的距离为6．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点A且斜率为的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于M点，求M点的坐标．题型二弦长问题例3如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq\f(eq\r(2),2)，右焦点F到左准线l的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．BBAOxylPC变式如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(1,2)，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，AB＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝eq\f(48,7)，求直线AB的方程．题型三定点问题例4如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点．若直线斜率为时，．（1）求椭圆的标准方程；（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．例5已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．变式1已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，四点(1,1)，(0,1)，，中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．变式2如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(eq\r(2)－1)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点M(0，－1)的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试判断以线段AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四定值问题例6已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且与轴平行，过点作两条直线分别交椭圆于两点，若直线平分，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值．变式在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的右顶点为.（1）求该椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线的斜率之和为定值.例7如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．变式在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，，记直线的斜率分别为，当时，求的值.题型五最值、范围问题例8已知椭圆C：的左焦点为F(－1，0)，左准线方程为x＝－2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C上有A，B两点，满足OA⊥OB(O为坐标原点)，求△AOB面积的取值范围．例9如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6。（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点Q的横坐标为，求的取值范围。例10如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，为右准线上一点．点在椭圆上，且．（1）若椭圆的离心率为，短轴长为．=1\*GB3①求椭圆的方程；=2\*GB3②若直线的斜率分别为，求的值．（2）若在轴上方存在两点，使四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．四、课堂练习1.已知抛物线上的点M到其准线的距离为5，直线l交抛物线于A，B两点，且AB的中点为N(2，1)，则点M到直线l的距离为____．2.已知F为双曲线C：的左焦点，直线l经过点F，若点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，则双曲线C的离心率为____．3.已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为____．4.已知椭圆过点作直线l与椭圆交于另一点C，求△OBC面积的最大值．5.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到右准线的距离为1．过轴上一点的直线与椭圆交于两点，与交于点，是弦的中点，直线与交于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．6.已知，在平面直角坐标系中，椭圆的焦点在椭圆上，其中，且点是椭圆位于第一象限的交点.求椭圆的标准方程；过轴上一点的直线与椭圆相切，与椭圆交于点，已知，求直线的斜率.五、课后练习1.由椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝____．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在坐标原点，斜边长是5eq\r(3)，一条直角边所在的直线方程是y＝2x，那么抛物线的方程为____．若直线kx－y＋3＝0与椭圆有公共点，则k的取值范围是____．已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则双曲线C的离心率为____．5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2)，两条准线之间的距离为4eq\r(2).(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A，点M在圆上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．6.如图，已知椭圆O：的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.(1)当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；(2)①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；②求eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))的取值范围．已知椭圆SKIPIF1<0，过右焦点的直线与椭圆交于两点，SKIPIF1<0且当点是椭圆的上顶点时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0．（1）求椭圆的方程；（2）延长线段SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求此时SKIPIF1<0的方程．已知椭圆C：的长轴长为4，两准线间距离为．设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1，0)，且与椭圆C相交于E，F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若△AEF的面积为，求直线l的方程；（3）已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′，求证：k·k′为