2022-2023学年福建省泉州市实验中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年福建省泉州市实验中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列的前n项和为，已知，,则A.38

B.20

C.10

D.9参考答案：C2.等差数列的前n项和为，已知，,则（

）（A）38

（B）20

（C）10

（D）9参考答案：C3.若是偶函数，则p是q的A．充要条件

B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件参考答案：A4.已知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（

）A． B．

C．

D．参考答案：【解析】本小题主要考查解三角形问题。，，.选C.本题在求角B时,也可用验证法.答案：C5.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为（

）A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：B6.已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.下列选项叙述错误的是

(

)A.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B.若命题P：，则：C.若为真命题，则，均为真命题D.“”是“”的充分不必要条件参考答案：C略8.已知表示直线,表示平面.若,则的一个充分条件是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D9.某校共有500名高二学生，在一次考试中全校高二学生的语文成绩服从正态分布，若，则该校高二学生语文成绩在120分以上的人数大约为A．70

B．80

C．90

D．100参考答案：D10.已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数x，y满足则的最大值为________.参考答案：10【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】根据题意画出可行域，如图所示：由图可知目标函数经过点时，取得最大值10.故答案为：10.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.12.若P，Q为y=1﹣x2上在y轴两侧的点，则过P，Q点的切线与x轴围成的三角形的面积的最小值为．参考答案：【考点】IE：直线的截距式方程．【分析】由P，Q为y=1﹣x2上在y轴两侧的点，设P（a，1﹣a2），Q（b，1﹣b2），（a＞0＞b），曲线y=1﹣x2在P（a，1﹣a2）处的切线为l1：y=﹣2ax+a2+1，曲线y=1﹣x2在Q（b，1﹣b2）处的切线为l2：y=﹣2bx+b2+1，所求图形为△EFG，其面积S△EFG=（a﹣b）（2﹣ab﹣），由此能求出所求面积最小值．【解答】解：∵P，Q为y=1﹣x2上在y轴两侧的点，∴设P（a，1﹣a2），Q（b，1﹣b2），（a＞0＞b），又曲线y=1﹣x2在点（x，y）的切线斜率为y′=﹣2x，∴曲线y=1﹣x2在P（a，1﹣a2）处的切线为l1：y=﹣2a（x﹣a）+1﹣a2，即y=﹣2ax+a2+1，曲线y=1﹣x2在Q（b，1﹣b2）处的切线为l2：y=﹣2b（x﹣b）+1﹣b2，即y=﹣2bx+b2+1，直线l1与x轴的交点为点E（，0），直线l2与x轴的交点为点F（，0），直线l1与l2的交点为点G（，1﹣ab），∴所求图形为△EFG，其面积S△EFG=（﹣）?，化简得：S△EFG=（a﹣b）（2﹣ab﹣），令f（a，b）=S△EFG=（a﹣b）（2﹣ab﹣），假设b=b0＜0时，f（a，b）才能取得最小值，则令f（a）=（a﹣b0）（2﹣ab0﹣），则f′（a）=﹣2+2ab0﹣+，令f′（a0）=0，得：﹣2+2a0b0﹣+，得f（a）min=f（a0）=（a0﹣b0）（2﹣a0b0﹣），即a=a0，b=b0时，f（a，b）取得最小值f（a，b）min=f（a0，b0）=（a0﹣b0）（2﹣a0b0﹣），即a=a0＞0时，f（a，b）才能取得最小值，则令f（b）=（a0﹣b）（2﹣a0b﹣），则f′（b）=﹣2+2a0b﹣a02+，令f′（b0）=0，得：﹣2+2a0b0﹣a02+，得f（a）min=f（a0）=（a0﹣b0）（2﹣a0b0﹣），∴﹣2+2a0b0﹣b02+，﹣2+2a0b0﹣a02+=0，（a0＞0＞b0），解得a0=，b0=﹣，f（a，b）min=f（a0，b0）=，∴所求面积最小值为（S△EFG）min=．13.函数且的最小值等于则正数的值为_____________.参考答案：1略14.已知盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为．参考答案：．【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【解答】解：易得共有3×3=9种等可能的结果，两次记下的数字之和为2的有3种，所以概率是．故答案为．15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△ABC的面积为，则A=____▲____，b+c=___▲_____．参考答案：由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面积公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得

16.如图，在等腰直角中，OA=OB=1，C为AB上靠近点的四等分点，过C作AB的垂线，P为垂线上任一点，则等于

.参考答案：-17.已知函数若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是

▲

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知抛物线，过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）.（1）证明：动点在定直线上；（2）作的任意一条切线（不含轴）与直线相交于点，与（1）中的定直线相交于点，证明：为定值，并求此定值.

参考答案：（1）解：根据题意可设AB方程为y=kx+2,代入，得，

即，设A，B，则有：=-8，（2分）

直线AO的方程为；BD的方程为，解得交点D的坐标为（4分）

，注意到=-8及，则有y===-2，（5分）

因此D点在定直线y=-2上（）（6分）（2）依据题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b

代入得,即，由=0得

化简整理得，（8分）故切线l的方程可写为.分别令y=2、y=-2得的坐标为，（11分）则即为定值8.（13分）试题分析：本题考查了直线与抛物线的位置关系，对学生的分析和转化能力要求较高，解决该类问题应抓住问题的实质，充分合理的运用已知条件是解决该题的关键。

19.（本小题满分12分）已知函数处取得极值2。（1）求函数的表达式；（2）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？

（3）若为图象上任意一点，直线与的图象切于点P，求直线的斜率的取值范围。参考答案：（1）因为

····················2分

而函数在处取得极值2，

所以，

即

解得

所以即为所求

····················4分

（2）由（1）知

令得：

则的增减性如下表：（-∞，-1）（-1，1）（1，+∞）负正负

可知，的单调增区间是[-1，1]，

所以

所以当时，函数在区间上单调递增。

·········9分

（3）由条件知，过的图象上一点P的切线的斜率为：

令，则，

此时，的图象性质知：

当时，；

当时，

所以，直线的斜率的取值范围是

····················12分

略20.（12分）函数，、是其图象上任意不同的两点．（1）求直线的斜率的取值范围；（2）求函数图象上一点到直线、直线距离之积的最大值．参考答案：解析：设、两点坐标分别为，，则，于是，==∵且，∴.故直线斜率的取值范围是.

…5分（2）设点,其中，则到直线的距离到直线的距离则==，当时，，递增当时，，递减；∴当时，有最大值．

…12分21.（14分）（2014?黄冈模拟）已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+an=1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log3（1﹣Sn+1）（n∈N*），求适合方程的正整数n的值．参考答案：【考点】：等差数列与等比数列的综合．【专题】：综合题；等差数列与等比数列．【分析】：（1）由S，得（n≥2），两式相减得an与an﹣1的递推式，由递推式易判断数列{an}为等比数列，从而可求an；（2）由（1）易求得1﹣Sn+1，进而可求bn，利用裂项相消法可求得，从而可把方程变为关于n的方程，解出即可；解：（1）由S，得（n≥2），两式相减得，an+﹣=0（n≥2），即（n≥2），由S得=1，即=1，解得，所以数列{an}各项均不为0，且是以为首项、为公比的等比数列，所以an==；（2）由（1）知，，即1﹣Sn+1==，所以b==﹣（n+1），则=，所以=++…+=，所以方程即=，解得n=100，故适合方程的正整数n的值为100．【点评】：本题考查由数列递推公式求通项公式，考查等比数列及用列项相消法进行数列求和