由三角函数图象求解析式

-.z.函数=Acos()的图象如下图，，则=〔〕〔A〕(B)(C)－(D)【解析】选B.由图象可得最小正周期为EQ\f(2π,3)，于是f(0)＝f(EQ\f(2π,3)),注意到EQ\f(2π,3)与EQ\f(π,2)关于EQ\f(7π,12)对称，所以f(EQ\f(2π,3))＝－f(EQ\f(π,2))＝.如果函数的图像关于点中心对称，则的最小值为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕(D)【解析】选A.函数的图像关于点中心对称由此易得.函数y=sin〔*+〕〔>0,-<〕的图像如下图，则=________________【解析】由图可知，函数的图像如下图，则。【解析】由图象知最小正周期T＝〔〕＝＝，故＝3，又*＝时，f〔*〕＝0，即2〕＝0，可得，所以，2＝0。〕函数〔其中〕的图象与*轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.(Ⅰ)求的解析式；〔Ⅱ〕当，求的值域.【解析】〔1〕由最低点为得A=2.由*轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，由点在图像上得故又〔2〕当=，即时，取得最大值2；当即时，取得最小值-1，故的值域为[-1,2]把函数y＝cos(3*＋)的图象适当变动就可以得到y＝sin(－3*)的图象，这种变动可以是()A.向右平移B.向左平移C.向右平移D.向左平移分析：三角函数图象变换问题的常规题型是：函数和变换方法，求变换后的函数或图象，此题是变换前后的函数，求变换方式的逆向型题目，解题的思路是将异名函数化为同名函数，且须*的系数一样.解：∵y＝cos(3*＋)＝sin(－3*)＝sin［－3(*－)］∴由y＝sin［－3(*-)］向左平移才能得到y＝sin(－3*)的图象.答案：D4.将函数y＝f(*)的图象沿*轴向右平移，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sin*的图象一样，则y＝f(*)是()A.y＝sin(2*＋)B.y＝sin(2*－)C.y＝sin(2*＋)D.y＝sin(2*－)分析：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题，解题的思路是逆推法.解：y＝f(*)可由y＝sin*，纵坐标不变，横坐标压缩为原来的1/2，得y=sin2*;再沿*轴向左平移得y＝sin2(*＋)，即f(*)＝sin(2*＋).假设函数f(*)＝sin2*＋acos2*的图象关于直线*＝－对称，则a＝–1.分析：这是函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.解：∵*1＝0，*2＝－是定义域中关于*＝－对称的两点∴f(0)＝f(－)即0＋a＝sin(－)＋acos(－)∴a＝－1假设对任意实数a，函数y＝5sin(π*－)(k∈Ｎ)在区间［a，a＋3］上的值出现不少于4次且不多于8次，则k的值是()A.2B.4C.3或4D.2或3分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：先求出与k相关的周期T的取值范围，再求k.解：∵T＝又因每一周期内出现值时有2次，出现4次取2个周期，出现值8次应有4个周期.∴有4T≥3且2T≤3即得≤T≤，∴≤≤解得≤k≤，∵k∈Ｎ，∴k＝2或3.巧求初相角求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角"初相角有几个"下面通过错解剖析，介绍四种方法.如图，它是函数y＝Asin(ω*＋)(A＞0，ω＞0)，｜｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式.错解：由图知：A＝5由得T＝3π，∴ω＝＝∴y＝5sin(*＋)将(π，0)代入该式得：5sin(π＋)＝0由sin(＋)＝0，得＋＝kπ＝kπ－(k∈Z)∵｜｜＜π，∴＝－或＝∴y＝5sin(*－)或y＝5sin(*＋)分析：由题意可知，点(，5)在此函数的图象上，但在y＝5sin(*－)中，令*＝，则y＝5sin(－)＝5sin(－)＝－5，由此可知：y＝5sin(*－)不合题意.则，问题出在哪里呢"我们知道，三角函数值求角，在一个周期内一般总有两个解，只有在限定的范围内才能得出惟一解.正解一：(单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上∴＋∈［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)由sin(＋)＝0得＋＝2kπ＋π∴＝2kπ＋(k∈Z)∵｜｜＜π，∴＝正解二：(最值点法)将最高点坐标(，5)代入y＝5sin(*＋)得5sin(＋)＝5∴＋＝2kπ＋∴＝2kπ＋(k∈Z)取＝正解三：(起始点法)函数y＝Asin(ω*＋)的图象一般由"五点法〞作出，而起始点的横坐标*正是由ω*+=0解得的，故只要找出起始点横坐标*0,就可以迅速求得角.由图象求得*0=-,∴=-ω*0=-(-)=.正解四：(平移法)由图象知，将y=5sin(*)的图象沿*轴向左平移个单位，就得到此题图象，故所求函数为y＝5sin(*＋)，即y＝5sin(*＋).【根底知识精讲】1.用五点法作y=Asin(ω*+φ)(ω＞0)的图像时，我们采用换元法，将ω*+φ看成y=sin*中的*，模仿y=sin*的五点法来作.ω*1+φ=0*1=-,ω*2+φ=*2=ω*3=π*3=,ω*4+φ=*4=,ω*5+φ=2π*5=.即五点(-,0),(,A),(,0).(,-A).(,0)2.函数y=Asin(ω*+φ)的图像与y=sin*的图像关系.(1)振幅变换函数y=Asin*(A＞0,且A≠1)的图像，可以看作是y=sin*图像上所有点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫振幅变换，它实质上是纵向的伸缩.(2)周期变换函数y=sinω*(ω＞0,且ω≠1)的图像，可以看作是把y=sin*的图像上各点的横坐标都缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1到原来的倍(纵坐标不变)而得到的，由y=sin*的图像变换为y=sinω*的图像，其周期由2π变.这种变换叫做周期变换.它实质上是横向的伸缩.(3)相位变换函数y=sin(*+φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y=sin*的图像上各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位而得到的.这种由y=sin*的图像变换为y=sin(*+φ)的图像的变换，使相位*变为*+φ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换.应用振幅变换、周期变换、相位变换(左右平移变移)和上下平移变换可由y=sin*的图像得到y=Asin(ω*+φ)+k的图像.事实上，设f、t、h分别表示相位变换，周期变换，振幅变换，则变换作图法共有以下不同的程序.(1)f→t→h;(2)f→g→t(3)t→h→f;(4)t→f→h;(5)h→f→t;(6)h→t→f3.y=Asin(ω*+φ)(A＞0，ω＞0)与振动在物理学中，y=Asin(ωt+φ)(A＞0,ω＞0),其中t∈［0，+∞)，表示简谐振动的运动方程.这时参数A，ω，φ有如下物理意义.A称为振幅，它表示振动时物体离开平衡位置的最大距离.T=称为周期，它表示振动一次所需的时间(亦即函数y的最小正周期).f==称为振动的频率，它表示单位时间内往复振动的次数，ωt+φ叫做相位，当t=0时的相位，即φ称为初相.4.函数图像的对称变换一个函数的图像经过适当的变换(例如对称、平移、伸缩等)得到与其图像有关函数的图像，叫做函数的初等变换.前面的平移、伸缩变换均属初等变换.对称变换主要指下面几种：(1)函数y=-f(*)的图像与y=f(*)的图像关于*轴对称.(2)函数y=f(-*)的图像与y=f(*)的图像关于y轴对称.(3)函数y=f(-*)的图像与y=-f(*)的图像关于原点对称.(4)函数y=f-1(*)(或*=f(y))的图像与y=f(*)的图像关于直线y=*对称.【重点难点解析】重点：用"五点法〞画函数y=Asin(ω*+φ)的简图及三角函数的图像变换.难点：三角函数的图像变换.即由y=sin*的图像变换到y=Asin(ω*+φ)的过程.关键：理解A、ω、φ的对图像变化所起的作用.例1函数y=3cos(-)的图像可以由y=sin*的图像经过怎样的变换得到"解：y=3cos(-)=3sin［+(-)］=3sin(+).先将y=sin*的图像向右平移个单位，得到y1=sin(*+)的图像.再将y1的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y2=sin(+)的图像.再将y2的图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，就得到所求函数的图像.评析：这种图像变换的顺序通常是先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换.此题中假设将相位变换与周期变换的顺序交换，得到的结果将是y=3sin(+)而不是y=3sin(+).例2用五点法作出函数y=4sin(+)在一个周期内的简图.解：函数y=4sin(+)的振幅A=4，周期T=4π,令+=0,得初始值*0=-(初始值指图像由*轴下方向上经过*轴时的横截距).列表：+0π2π*-y040-40评注：注意到五点的横坐标是从*0开场，每次增加周期的，即*i=*i-1+(i=1,2,3,4)可简化*的五个值的运算.例3设三角函数f(*)=sin(*+)(k≠0).(1)写出f(*)的最大值M，最小值m和最小正周期T；(2)试求最小正整数k，使得当自变量*在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(*)至少有一个值是M，一个值是m.解：(1)M=1,m=-1,T==.(2)f(*)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m，而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f(*)至少有一个值是M与一个值m，必须且只须f(*)的周期≤1，即≤1,｜k｜≥10π=31.4,可见，k=32就是这样的最小整数.例4正弦数y=Asin(ω*+φ)(其中A＞0，ω＞0)的一个周期的图像如下图，试求函数的解析式.分析：求函数的解析式，就是确定解析式中A，ω，φ的值.由图像中三个点的坐标列出A，ω，φ的方程组求解.假设令*=ω*+φ,要注意*0=-是初始值，对应于*=0,*=-π时对应于*=π.∴函数解析式为y=2sin(*+).【难题巧解点拔】例1指出将y=sin*的图像变换为y=sin(2*+)的图像的两种方法.思路1*→2*→2(*+)=2*+.解法1y=sin*y=sin2*y=sin［2(*+)］=sin(2*+).思路2*→*+→2*+.解法2y=sin*y=sin(*+)y=sin(2*+).说明：在解法1中，先伸缩，后平移.在解法2中，先平移，后伸缩.外表上看来，两种变换方法中的平移是不同的(即和)，但由于伸缩变换的影响，所以实质上都是一致的.例2函数f(*)的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移个单位，所得到的曲线是y=sin*的图像，试求函数y=f(*)的解析式.分析：这个问题有两种解法，一是考虑以上变换的"逆变换〞(所谓"逆变换〞，即将以上变换倒过来，由y=sin*变换到y=f(*);二是代换法，即设y=Asin(ω*+φ),然后按题设中的变换分两步得：y=Asin［(*+)+φ］,它就是y=sin*，即可求得A、ω、φ的值.解法1：问题即是将y=sin*的图像先向右平移个单位，得y=sin(*-);再将横坐标压缩到原来的，得y=sin(2*-),即y=-cos2*.这就是所求函数f(*)的解析式.例2正弦函数y=Asin(ω*+φ)的一段曲线(如下列图)，试求解析式.解：(1)因为A=3，T=π,ω=2,φ=-ω*0=-2(-)=,所以y=3sin(2*+).(2)A=,当*=0时，y=1,所以sinφ=1,又｜φ｜＜，所以φ=,当*=π时，y=0，即sin(ω·+)=0,所以ω=,所以y=sin(*+).评析：假设曲线与*轴的交点的坐标，先确定ω=；假设曲线与y轴的交点的坐标，先确定φ；假设先确定ω则有φ=-ω*0,其中*0是离y轴最近的递增区间的中心点的横坐标.1.如图，是正弦函数f(*)=Asin(ω*+φ)(A＞0,ω＞0)的一个周期的图像.(1)写出f(*)的解析式；(2)假设g(*)与f(*)的图像关于直线*=2对称，写出g(*)的解析式.2.试说明y=cos*的图像经怎样的变换可得到y=3cos(3*+)+1的图像"3.y=Asin(ω*+φ)(A＞0,ω＞0,0＜φ＜π的最小正周期为，最小值为-2，且过点(π，0)，求它的表达式.1.f(*)=Asin(ω*+φ)(A＞0,ω＞0,｜φ｜＜)的图像在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(*0，2)和(*0+3π，-2).(Ⅰ)求f(*)的解析式；(Ⅱ)y=f(*)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，然后再将所得图像向*轴正方向平移个单位，得到函数y=g(*)的图像.写出函数y=g(*)的解析式并用列表作图的方法画出y=g(*)在长度为一个周期的闭区间上的图像.*yeq\f(13π*yeq\f(13π,3)ππeq\f(π,3)3－3O〔1〕试用y=Asin〔ω*+φ)型函数表示其解析式；〔2〕求这个函数关于直线*=2π对称的函数解析式．解：〔1〕T=eq\f(13π,3)－eq\f(π,3)=4π．∴ω=eq\f(2π,T)=eq\f(1,2)．又A=3，由图象可知所给曲线是由y=3sineq\f(*,2)沿*轴向右平移eq\f(π,3)而得到的．∴解析式为y=3sineq\f(1,2)(*－eq\f(π,3))．(2)设〔*，y)为y=3sin(eq\f(1,2)*－eq\f(π,6)〕关于直线*=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线*=2π的对称点应为〔4π－*，y)，故与y=3sin(eq\f(1,2)*－eq\f(π,6)〕关于直线*=2π对称的函数解析式是y=3sin［eq\f(1,2)〔4π－*)－eq\f(π,6)］=－3sin(eq\f(1,2)*＋eq\f(π,6)〕．点评y=sin(ω*+φ)(ω＞0)的图象由y=sinω*的图象向左平移〔φ＞0〕或向右平移〔φ＜0〕eq\f(|φ|,ω)个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．例1求函数f(*)=sin2*+2sin*cos*+3cos2*的最大值，并求出此时*的值．分析由于f〔*〕的表达式较复杂，需进展化简．解y=sin2*+cos2*+sin2*+1+cos2*=sin2*+cos2*+2=eq\r(2)sin(2*+eq\f(π,4))+2当2*+eq\f(π,4)=2kπ+eq\f(π,2)，即*=kπ+eq\f(π,8)(k∈Z)时，yma*=eq\r(2)+2．点评要熟练掌握y=asin*+bcos*类型的三角函数最值的求法，asin*+bcos*=eq\r(a2+b2)sin〔*+φ〕．例2假设θ∈［－eq\f(π,12),eq\f(π,12)］，求函数y=cos(eq\f(π,4)+θ〕+sin2θ的最小值．分析在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，假设能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化．解y=cos(eq\f(π,4)+θ)－cos［2(θ+eq\f(π,4))］=cos(eq\f(π,4)+θ)－［2cos2(θ+eq\f(π,4))－1］=－2cos2(θ+eq\f(π,4))+cos(eq\f(π,4)+θ)+1=－2［cos2(θ+eq\f(π,4))－eq\f(1,2)cos(θ+eq\f(π,4))］+1=－2［cos(θ+eq\f(π,4))－eq\f(1,4)］2+eq\f(9,8)．∵θ∈［－eq\f(π,12),eq\f(π,12)］，∴θ＋eq\f(π,4)∈［eq\f(π,6)，eq\f(π,3)］．∴eq\f(1,2)≤cos(θ+eq\f(π,4))≤eq\f(eq\r(3),2)，