线性代数-p主讲

线

性

代

数主讲：吴国丽：线性代数（第三版），巍然、王子亭主编，、吕大学一、学习必要性1、线性代数是高等工科学校本科各专业的一门重要的基础理论课。2、线性代数是一门必修课,考研必考内容。二、课程特点1、概念多、符号多、定理多。2、内容抽象。三、学习方法1、调整好心态，从心理上接受它，而不是抗拒它.2、认真听课，简单记笔记。3、课后看书，至少三遍，不要太快，看的时候多思考。4、认真做练习，遇到问题及时解决，学会向别人虚心请教。5、定期总结，检查自己掌握知识的程度。6、学

种方法，积累解决问题的能力。第一章n阶行列式一、主要内容1、排列的一些性质；2、n阶行列式的定义、性质和计算；3、

法则.二、学习重点行列式的性质和计算.1.1

排列的逆序数与对换引例解用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？1

2

3百位3种放法十位1

2

31

2

1

3个位1

232种放法1种放法共有

3

2

1

6

种放法.一、概念的引入二、全排列及其逆序数把n

个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？把n

个不同的元素排成一列，叫做这n

个元素的全排列（或排列）.n

个不同的元素的所有排列的种数，通常问题定义用Pn表示.P3

3

2

1

6.Pn

n

(n

1)

(n

2)

3

2

1

n!.由引例同理在一个排列

i

i

i

i

i

中，若数1

2

t

s

nitis

则称这两个数组成一个逆序.定义排列的逆序数规定各元

间有一个标准次序,

n

个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.例如

排列32514

中，逆序3

2

5

1

4逆序

逆序定义

一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.注：标准排列为偶排列（逆序数为0）.计算排列逆序数的方法方法1分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.（先前数大）方法2分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.（向后数小）例1

求排列32514的逆序数.解

在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;3

2

5

1

40

1

0

3

1于是排列32514的逆序数为t

0

1

0

3

1

5.它们的奇217986354例2

计算下列排列的逆序数，并偶性.1解9

80 1

0

0

1

3t

5

4

4

3

1

18此排列为偶排列.2

nn

1n

2321解

n1

2

1

nn

1,2n

4k,4k

1

时为偶排列；当当n

4k

2,4k

3

时为奇排列.t

n

nnn1nn

2三、对换的定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．例如a1

al

aa

bb

b1

bmbbaa

b1

bma1

ala1

alaa

b1

bm

bb

c1

cna1

al

bb

b1

bmaa

c1

cn四、对换与排列的奇偶性的关系定理1

一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明

设排列为对换a

与ba1

al

aabb

b1

bm

a1

al

bbaa

b1

bm除a,b

外，其它元素的逆序数不改变.当a

b时，经对换后a

的逆序数增加1,b

的逆序数不变;当a

b时，经对换后a

的逆序数不变，b的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为a1

al

ab1

bm

bc1

cn现来对换a

与b.m

次相邻对换a1

al

aabb

b1

bmc1

cnm

1

次相邻对换na1

al

bb

b1

bm

aa

c1

c

a1

al

ab1

bmbc1

cn

,2m

1次相邻对换a1

al

bb1

bm

ac1

cn

,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.a1

al

aa

b1

bm

bb

c1

cn推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明

由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立.思考题证明一半.在全部n

级排列中n

2

,奇偶排列各占注：n级排列是由自然数1到n组成的有序数组.例排列32514为5级排列.思考题解答证设在全部n

级排列中有s

个奇排列,t

个偶排列,现来证s

t

.将s

个奇排列的前两个数对换,则这s个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以s

t.若将t个偶排列的前两个数对换,则这t个偶排列全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有t

s.故必有s

t.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表a11

a12a21

a22(1)定义1表达式a11a22

a12a21称为数表（1）所确定的二阶a11

a12a21

a22行列式，并记作即12

21

a

a

.11

222221

a

aa

aD

a11

a121.2

n阶行列式的定义一、二阶、三阶行列式.列标行标定义2a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33设有9个数排成3行3列的数表(2)

a11a22a33

a12a23a3113

21

3211

23

32

12

21

3313

22

31,

a

a

a

(3)

a

a

a

a

a

a

a

a

a记a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33（3）式称为数表（2）所确定的三阶行列式.a11a12a22a21主对角线副对角线对角则

a11a22

a12a21

.二、三阶行列式的计算a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33

a11a22a33

a12a23a31

a13a21a32

a11a23a32

.说明

a13a22a31

a12a21a33三阶行列式共有6

项，即3!

项．每项都是位于不

不同列的三个元素的乘积．a11

a12

a13

a11

a12

a13a21

a22

a23

a21

a22

a23a31

a32

a33

a31

a32

a33（3）每项的正负号都取决于位于不的三个元素的下标排列．不同列a13a21a32例如

列标排列的逆序数为t312

1

1

2,a11a23a32列标排列的逆序数为t132

1

0

1,偶排列奇排列

负号,

正号1

p1

2

p2

3

p3

(1)t

aa

a

.22

23a32

a33

aa

aa11

a12

a1321a31二、n阶行列式的定义nn21npna1anaaa2naaanna记作

D

aaa.21p2p1

)1t

(1211取自不

不同列的

n

个元素的乘积的代数和由n2

个数组成的

n

阶行列式等于所有2221定义简记作det(aij

).数aij

称为行列式det(aij

)的元素其中p1

p2

pn

为自然数1，2，，n

的一个排列为这个排列的逆序数．

npnp1

p2

pna

a

at

p

p

p

1

2

n1

p1

2

p2an1

an2

anna1na2na11

a12a22D

a21

1说明1、n

阶行列式是n!项的代数和，结果是一个数;2、

n

阶行列式的每项都是位于不

、不同列

n

个元素的乘积;anp1

2

n3、a1

p

a2

p的符号为

1即某一乘积项符号的确定：先把该项的n个元素按行标排成标准顺序，然后由列标所成排列的奇偶性来决定这一项的符号。4、一阶行列式a

a不要与绝对值记号相

;5、高阶行列式不能用对角

则计算.npnp1

p2

pnat

p

p

p

1

2

na1

p

a2

p1

21an1

an

2

anna1na2na11

a12a22D

a21

npnp1

p2

pna

a

at

p

p

p

1

2

n1

p1

2

p2an1

an2

anna1na2na11

a12a22D

a21

1利用定义计算行列式步骤：（1）取项；（2）冠符；（3）求和例

计算对角行列式0

0

0

10

0

2

03

0

00

0解

分析展开式中项的一般形式是

a1

p

a2

p

a3

p

a1

2

311

1

p若

p

4

a

0,

从而这个项为零，所以p1只能等于4

,同理可得p2

3,p0001002003004000

1t

4321

1

2

3

4

24.即行列式中不为零的项为a14a23a32

a41.例2

计算上三角行列式anna11

a12

a1n0

a22

a2n0

0

解

分析展开式中项的一般形式是a1

p

a2

p

anp

.1

2

npn

n,

pn1

n

1,

pn3

n

3,

p2

2,

p1

1,所以不为零的项只有a11a22

ann

.ann0

0

a11

a12

a1n0

a22

a2nt

12n

1nna

a

a11

22

a11a22

ann

.例34

20

0

5

60

0

0

81

2

3

41

?D

011

22

33

441

2

3

44

20

0

5

60

0

0

81

a

a

a

aD

0

1

4

5

8

160.同理可得下三角行列式anna11a210

0

0a22

0

0an1

an

2

an

3

a11a22

ann

.n21212

n

.nn1

1

12

n;n例4

证明对角行列式12n21

n1a

a

a1n

2,n1t

nn121

112

n

.nn12

1证明第一式是显然的,下面证第二式.若记

i

ai

,ni1

,

则依行列式定义an1a2,n1a1n证毕结论调换行列式的乘积项中两元素的次序，行标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性。三、行列式的列顺序表示法行标排列的逆序数设为r列标排列的逆序数设为tnnpjpa

a

a

a1

i

j1

p

ip证设有乘积项对换元素

a

jp

,

a

后，得j

ipi11 j

i n1

p

jp

ip

np列标排列的逆序数设为t行标排列的逆序数设为r1a

a

a

a由于r1与r

的奇偶性相反，t1与t

的奇偶性也相反，故r1有相同的奇偶性。

t1与r

tnnaaa21211记D

)1s

(npntD

a

a1

p1

2

p2(1)

ata

a(1)

a1

p1

2

p2

1易知对于D中任一项

npn

，在D

中p11

p2

2

pnnD

(1)s

a

a

a定理2

(列顺序表示法)n阶行列式也可定义为其中s

为行标排列p1

p2

pn

的逆序数。证

由定义，总有且只有一项与其对应并相等，反之亦然。也即D与D1中的项一一对应并相等，从而D=

D1.定理3

n阶行列式也可定义为p1q1

p2q2

pnqnD

1t

a

a

a其中p1

p2

pn

,标排列逆序数与列标排列逆序数的和.2

qn是两个n

级排列，t

为行例5试判断a14a23a31a42a56a65和

a32a43a14a51a25a66是否都是六阶行列式中的项.解a14a23a31a42a56a65

下标的逆序数为t431265

0

1

2

2

0

1

6所以a14a23a31a42a56a65

是六阶行列式中的项.

a32a43a14a51a25a66下标的逆序数为t452316

8所以

a32a43a14a51a25a66

不是六阶行列式中的项.

a14a25a32a43a51a66,例6

在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.a23a31a42a56a14a65;a32a43a14a51a66a25

.(1)(2)解a23a31a42a56a14a65(1)431265的逆序数为t

1

0

2

2

1

0

6,所以a23a31a42a56a14a65

前边应带正号.

a14a23a31a42a56a65

,行标排列341562的逆序数为t

0

0

2

0

0

4

6列标排列234165的逆序