2013年考研数三真题及答案解析(完整版)

倚窗远眺，眼光眼光尽处必有一座山，那隐隐约约的黛绿色的影，是春季的颜色。周遭流岚升腾，没露出那真切的面貌。面对那流转的薄雾，我会想象，那里有一个世外桃源。在天阶夜色凉如水的夏夜，我会静静地，静静地，等候一场流星雨的到临许下一个梦想，不恳求去实现，起码，以前，有那么一刻，我那还未枯败的，青春的，诗意的心，在我最美的年光里，同星空做了一次灵魂的沟通秋天里，阳光其实不刺目，天空是一碧如洗的蓝，点缀着俊逸的流云。有时，一片飞舞的落叶，会飘到我的窗前。斑驳的印迹里，携刻着暮秋的颜色。在一个落雪的晨，这纷繁扬扬的雪，飘落着一如千年前的洁白。窗外，是未被污染的银白色世界。我会去迎接，此人间的圣洁。在这流转的光阴里，有着流转的四时，还有一颗流转的心，亘古不变的心。2013年考研数三真题及答案分析o(x2)故应当选（D）．xx2．函数f(x)x(x1的可去中断点的个数为（）1)lnx（A）00时，xx（B）1（C）2（D）3【详解】当xlnxexlnx1~xlnx，1xxxlnxlim1，因此x0是函数f(x)的可去中断点．limf(x)lim1x0x0x(x1)lnxx0xlnxxxlnxlim1，因此x1是函数f(x)的可去中断点．limf(x)limx1x1x1x(x1)lnxx02xlnxx2x1xlnx，因此因此x1不是函数f(x)的limlimf(x)1lim(x1)lnxxx1x(x1)lnxx1可去中断点．故应当选（C）．（A）若an（B）若an1，则(1)n1an收敛；n1(1)n1an收敛，则ann1an1；1，使limnpan存在；an收敛．则存在常数Pn1（C）若n（D）若存在常数P1，使limnpan存在，则an收敛．nn1【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．A），但少一此小题的（A）（B）选项想考察的交织级数收敛的莱布尼兹条件，关于选项（条件liman0，明显错误．而莱布尼兹条件不过交织级数收敛的充足条件，不是必需条件，选项（B）也不正确，反例自己去结构．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则lA）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．lB）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．lC）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．lD）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．2,,n，因为ＡＢ＝Ｃ，【详解】把矩阵A，C列分块以下：A1,2,,n,C1,则可知ibi11bi22,n)，获得矩阵C的列向量组可用矩阵A的binn(i1,2,列向量组线性表示．同时因为B可逆，即ACB1，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，因此矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应当选（B）．1a1200b0006．矩阵aba与矩阵0相像的充足必需条件是1a10（A）a（C）a（B）a0，b为随意常数0,b2,b20（D）a2，b为随意常数2001a12000【详解】注意矩阵0b是对角矩阵，因此矩阵A=aba与矩阵0相00b10001a00似的充足必需条件是两个矩阵的特点值对应相等．1a1aEAab(2(b2)2b2a2)1a1进而可知2b2a22b，即a0，b为随意常数，应选择（是随机变量，且X1~N(0,1),X2B）．7．设X1,X2,X3~N(0,22),X3~N(5,32)，PiP2Xi2，则（A）P1P2P3（B）P2P1P3（C）P3（D）P1P2P1P3P2,2)，则X【详解】若X~N(~N(0,1)1，P2P12(2)PP2X22P1X212(1)1，23P3P2X3225X3352335(1)771)3，P3P23173(1)23(1)0．应选择（A）．8．设随机变量X和Y互相独立，且X和Y的概率散布分别为XP0123P1/21/41/81/8YP-1011/31/31/3【详解】由条件可知f10,f'(1)1．因此f12nnf(1)limnflim22f'(1)2nn22n2nn22n10．设函数zzx,y是由方程yxxy确立，则z|(1,2)．zx【详解】设，则Fxyz,z,(yxxy)1，(Fxx,y,z(zy)xlzy)y,Fz(x,ny,z)x(zy)x当x2时，z0，因此z|(1,2)2ln2．1,y2x11．2dx．lnxx)(11【详解】lnx|11x11dxlnxx|1ln21lnxy2dx11lnxd1x14(1x)x(1x)112．微分方程y0的通解为．yr【详解】方程的特点方程为x0，两个特点根分别为141，因此方程通122解为y(C1C2x)e2，此中C1,C2为随意常数．Aij为元素aij的代数余子式，且知足13．设Aaij是三阶非零矩阵，A为其队列式，Aijaij1,2,3)，则A=．0(i,j【详解】由条件1,2,3)可知*T0，此中A*为A的陪伴矩阵，从Aaijij0(i,jAA而可知A*A*1A，因此A可能为1或0．T3An,r(A)0,r(A)n但由结论r(A*)1可知，AA*T0可知r(A)r(A*),陪伴矩阵的秩只1,r(A)nn1能为3，因此A1.14．设随机变量X听从标准正散布X~N(0,1)，则EXe2X．【详解】EXe2Xxe2x1x2x(x2)2e2(x2)2e2dxe(x22)e22dx2dx222e2t2t2te2dt2e2dte2E(X)2e22e2．2因此为2e2．三、解答题15．（此题满分10分）a47Vy2a6a3xf(x)dx2x3dx；007由条件10VxVy，知a77．17．（此题满分10分）y8所围成，求x2dxdy．设平面地区D是由曲线x3y,y3x,xD【详解】x2dxdyx2dxdy23x62dx83x4163x2dxdyx2dxx．dyxx03dy2D18．（此题满分D1D210分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变为本为20元/件，价钱函数为PQ,1000是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销均衡，求：l1）该的边沿收益．l2）当P=50时的边沿收益，并解说其经济意义．l3）使得收益最大的订价P．【详解】Q2（1）设收益为y，则yPQ(600020Q)40Q边沿收益为y'406000，1000Q.500l2）当P=50时，Q=10000，边沿收益为20．经济意义为：当P=50时，销量每增添一个，收益增添20．（3）令y'0，得Q20000,P602000040.1000019．（此题满分10分）设函数fx在[0,)上可导，0，且lim2，证明f0f(x)x（1）存在a0，使得fa1;（2）对（1）中的a，存在(0,a)，使得f'(．1)aa【详解】X时，有3f(x)证明（1）因为limf(x)2，因此存在X0，当xx，522又因为fx在[0,)上连续，且f，由介值定理，存在a0，使得f001;全部矩阵C．【详解】明显由2阶的方阵．设ACCA，B可知，假如C存在，则一定是x1x2Cx3x4则ACCAB变形为x2ax3ax1x2ax401x4x2ax3，x1x31bx2ax3x20ax1ax41即获得线性方程组x4，要使C存在，此线性方程组一定有解，于是对方x1x31x2ax3b程组的增广矩阵进行初等行变换以下01a00101a110aA|b1001a111001000100，10a1a0b000b因此，当a0时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得ACB．1,bCA1011010此时，A|b0101000，0000010x101C21因此方程组的通解为x3x2C1，也就是知足CAB的矩阵x010AC10x4001C为1C1C2C1C1,C2为随意常数．C1，此中CC221．（此题满分11分）f(x1,x2,x3)2(a1x1a2x2a3x3)2(b1x1b2x2b3x3)2设二次型．记a1a2b1b2．,（1）证明二次型f对应的矩阵为2TT；在正交变换下的标准形为2y12y22．（2）若,正交且为单位向量，证明f【详解】证明：（1）f(x1,x2,x3)2(a1x1a2x2a3x3)2(b1x1b2x2b3x3)2a12x1,x2,x3a2a3x1b1x2b3x1x3a1,a2,a3x2x1,x2,x3b2b1,b2,b3x3一个特点值．其余0,23．（此题满分11分）2ex,x0设整体X的概率密度为x3f(x;)，此中为为未知参数且大于零，0,其余Xn为来自整体X的简单随机样本．X1X2,l1）求的矩预计量；l2）求的极大似然预计量．【详解】（1）先求出整体的数学希望E（X）22ex