专题2.7以二次函数与圆问题为背景解答题-208年中考数学备考优生百日闯关系列解析版

第七关：以二次函数与圆的问题为背景的解答【总体点评】二次函数在中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类等多种数【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的点就较多综性和题技巧强给解题来一的而将数与相结合并为中考压轴就更显得复杂了．只要掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的．解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技【典型例题 求经过C、A、Bx轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使CBNN（1（5，4（2）y1x25x+4 存在点N，使CBNa=4

SCBN16,此时，N（4，-Rt△ADEDADDADA=r=5，故只需证明∠DAF=90°，利用勾股定理的逆定理证明NNNPyBCP，BCN1a25a4P

a+4， 2N（1）DCDC⊥y/*科+-网Rt△ADE

DE242DE242a

4a2bcc

{52cC、A、By=1x25x4

，DF=4+

3232944

154

∵DA+AF=5 ）

4BCBCy12

1x25x4NNPyBC

1x+42NP=1a+4-（1a25a4）=1a22a =1×PN×OH+1×PN×BH=1PN×BO=1×8×（1a2+2a）=16-（a- a=4△16，此时，N（4，-【名师点睛】本题考查了二次函数及圆的综合，涉及了垂径定理、抛物线求二次函数解析式、切线要能将所学知识融会贯通，第四问解法不止一种，可以积极探索其他解法．A（3，0H（1）y1x25x32 2 （2）H

)，最小周长值是94

，E点坐标为（ （1）（30（41（2）（3）BD⊥OAD．首先证明△EOFOE⊥AC时，△EOF的面积最小．试题解析（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0，B（4，1）两2a2 解得： ∴y1x25x

b2（0，3D（2，0）对称轴为x2A、DACH此时△CDHC（0，3，A

yACx当x5时，y1H(5,1 22CD+DH+CH=CD+CH+HA=CD+AC=132（3）3EM⊥AO于AB的解析式为：y=x-∴EF∴△OEF

1OE22OE最小时SΔEFO∵OE⊥ACOE∴OE=1AC 2

1OE22

12

2242 又∵EAC ∴E（ 【名师点睛】x轴的交点间的距离的表示，抛问题关键是将函数问题转化为方程问题，利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并y=x2+2m+c（≠0C（0，﹣4B．POCPPE∥OAACEAP，当△AEP的面积最大时，求此P的坐标；D为该抛物线的顶点，⊙Q为△ABD的外接圆，求证⊙Q与直线y=2x2+x﹣4（2）P（，﹣2（3）（1）（0，t此题应先求出圆心Q解（1）把点C（0，﹣4，点A（﹣4，0）坐标代入：y=mx2+2mx+c（m≠0）得 解得 PE∥OACPE，三角形POAAOC均为直角三角形，所以：S△AEP=×OA×OC﹣×OA×OP﹣=×4×4﹣×4×（﹣t）﹣所以：当 =﹣2时，△AEP的面积最大此时：P（0，﹣2（3）DDM⊥x抛物线的解析式为：y=x2+x﹣4=，M（﹣1，0，AM=﹣1（﹣4）=3由圆和抛物线的对称性可知：圆心QDMr2=+32，解得：r=，QM=﹣r=，所以点Q（﹣1，﹣因为直线y=2与x轴平行，所以点Q到直线y=2的距离为：2﹣（﹣）=，所以：圆心Qy=2的距离=圆的半径所以：⊙Q与直线y=2相切．【名师点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的【方法归纳】函数知识要理解好数形结合的思想，知识点的掌握中要理解文字解释和图像之间的关系【针对练习如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0，c＞0）xA、By轴交于点CAB为直径的圆经过点C．A（﹣2，0B（8，0A（x1，0，B（x2，0D是圆与抛物线的交点（DA、B、C不重合，在（1）P，P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．（）a=﹣（）ac﹣1（3）P3（0，16

32 3∵A（﹣2，0，B（8，0∴M（3，0，⊙M∴C（0，4y=a（x+2（x﹣8C∴a=﹣∴y=﹣（x+2（x﹣8）=﹣x2+ac的值是定值，为A（x1，0，B（x2，0∵∠O∴c2=﹣D是圆与抛物线的交点（DA、B、C不重合，C（0，4∴D（，Px1P的坐标为（m，0∵C（0，4，D（6，4，B（8，0P、B、C为顶点的三角形与△CBD∴P2（2，0∴P1（﹣P在y∴P3（0，∴P4（0，16即：满足条件的点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）或（0，）或（0，16A（﹣3，0．B（1，0，C．请求出△PDEx的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．【答案（1）（2）（3）S△PDE=（＜x＜0，且△PDE面积的最（3）y=0x轴的交点坐标，由此即可得出点P横坐标的范围，再过点PPP′⊥yP′，过点DDD′⊥yD′，通过分割图（1）A（﹣3，0 y=﹣2∴C（0，2，OC=，CE=4．∵（﹣30（10M∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE=90°，∴△COM∽△CDE，∴，∴DC= 中y=0，即，解得： ，=，＜，＜•D′P′﹣ ＜x＜0 ＜0，∴当x=时，S△PDE取最大值，最大值为故：△PDE的面积关于x的函数关系式为S△PDE=（ ＜x＜0（1）（2）（3）M（x1，y1N（x2，y2xx y22 31213121

=134，5A（0，4B（﹣1，2C（4，2xOyy=x2﹣4xA、B（AB的①A、B【答案 （3）①A（-2,0）（2,0；80.（1）（2）（3）x=-2，故此可得到A，B的坐标；②首先依据两点间的距离公式表示出PA²+PB²的长，通过化简可得到PA²+PB²=2PO²+8OP的最大值，从而可得到问题的答案．1BC（k＞0，S△MON=6S△BONk的值；学**科--网（3，﹣1，线的对称轴上有一点EEx2（Ex轴的上方E为圆心，1为半径画圆，在对PP作⊙EQPQP点的坐标，并求PQ的最小值．9（1）y=－2x＋2（2）k=8

（3）P（5,1，Q（1）（2,0（1,0=BC解析式为y=kx+2,B、C得x= ,由图可知M的

，

y=－2x＋2M

+N

+2）S△MON=6S△BON，S△MONS△BON+S△MOB，△MOB与等底不等高，且高分别为点M、N

-

-2）8b（3﹣1 =3b=-b3 3 2 x23x17227点E的坐标为（3,2），设点P的坐标为（ x2-2

）∴PEx26x361x26x361x26x4z6142z1

5时，PE有最小 ，即x2-6x+3=-5PE2x1=1,x2=5，动点P在对称轴右侧的抛物线上，所以x1=1舍去，x=5,所以PQPE2DDB为直径的⊙G经过点C，求解下列问题：用含m的代数式表示出C，D能否在抛物线上找到一点Q，使BDQ为直角三角形？如能，求出Q点的坐标，若不能，请说明理yx22x

39

115

点有三个： 、

， 24 24ymx124mD的坐标为C0，3mx=0y=-3m,即点C连接CD、BC，过点D作DEy轴于E，:根据直径所对的圆周角是直角，DCB90,出现“一线三等角模型”，得

COB得DE 即

m，解得m1yx22x33k3得QQ3，9

BDQ90（图③）DQy轴于MDEyE 4 DH

EM1EMEM1，点M 标为07DMy=kx+bM

7D（1,4）， 2

，2b kb

k1,b DMy1x

,把y1x7代入yx22x3

2x23x10x1，最后把x1代入y1x 得y15,点Q的坐标为115

，

39

115

24

点有三个： 、

， 24 24（1）∵ymx124mx=0y点C的坐标为C0，连接CD、BC，过点D作DEy轴于E，∵BD⊙G∴∠DCB=∵∠DEC=∠BOC=900

3m2

m

∵m0∴myx22x很明显，点C即在抛物线上，又在⊙G

BCD90，这时Q与C点Q坐标为Q如图②，若DBQ为90，作QFyFDHx轴于

2k23k90,解得

k3（不合题意，舍去k2k3得Q坐标：Q3，9 4 DEM∽若BDQ为90DQy轴于M，DEyE，DHxDEM∽∴DE 1

EM

072 ,2

M的坐标为207DMy=kx+b

2b kb

k1,b ，1M（4，061

x2+bx+c过点6

x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值（1）C（0，2（2）PQ+PB

（3）OE

1x2（1）（2，0（6，0y1x2+bx+c过点A61222b则1626b6解得 则抛物线的解析式为y=1x24 C（0，2（2）由已知，得∵CE是⊙MCMy＝2

又∵直线OEO1∴OE2

x33233

3

3已知点Q33

BQACD，BCBDIBC、ABE、FEFEFQ（1）y

3x223x

3（2）①S1t22

3t，(3t

S

7438262②EF4

，点Q的坐标为

3.3（1） 33（2）① 中，令y0，得到点A的坐标，连接OQ，3SΔAQCSΔAOQSΔOCQSΔAOC即可得到S与t的函数关系；②由点B10，C0,3得CBO60

y

3x223x 3 333(2)①连接OQ，在直线yx 中，令y0，则x 3322∴当t22

74.83 3RtΔBOC∴CBO

tanCBOOC 作直径ETI于点T，连接FT，则EFT又FTECBO

sinFTEEFEFETsin60

3ET2此时点Q的坐标为

3.A（0，3）xOyBBD轴的负半轴于点E，且∠BEO＝60°，AD的延长线交x轴于点分别求点E、C的坐标；学/*科求经过A、C两点，且以过E而平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式设抛物线的对称轴与AC的交点为M，试判M点为圆心，ME为半径的圆与⊙A的位置关（－3，0（2）

3x2 3x

3（3）⊙M与⊙A外（1）BEOOBOEEOACCCDE∥OB，因此∠MED=∠ABD，AB=AD，那么∠ADB=∠ABD，将相等的（1）

EOOBcot6023 23333∴a 33∴y

x1x3，333y 3x2 3x 3 ∴⊙M与⊙A如图1,已知抛物线yx4x1x轴交于A,B（A在点B的右边，与y轴交于点C.过两点作直线l1，P是抛物线上的动点，过PPDx轴，垂足为D，交直线l1于点E.设点P的横坐标为m求直线l1的函数表达式PO,E,C,P四点能构成平行四边形,若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理2A点作直线l2l1OE,作△AOE的外接圆,交直线l2FOF,EF.当△EOF的面P的坐标和最小值.（1）yx4（2）存在（3）P(2,6)，SOEF∴k1,b∴直线l1的表达式为：yx

Pm,m4m1,Em,m∵PD⊥x ∴PE∥yO,E,C,PPE=0C=4(1)Pl1的上方（0x4）PE=m4m1m4MOy3x6x轴、yA，B41设（2）中的抛物线交轴于D、EP，

6（﹣800﹣（）（3）62

6或6

2，-1）或2

2，1）或2

，1）时，使得

1

ABC（1）（2）A、BAB的长，进而可得到⊙MC点的坐标，再用待定系数法求解即可；（1）4

y6y0A（﹣8，0，B（0，﹣662 62M（﹣4﹣3MC∥y，MC=5，∴C（﹣4，2设抛物线的解析式为B（0，﹣6）16a+2=﹣6，a=12y1x2

y1x24x62∴1261t24t6=1 即|1t24t6|=1，当1t24t6=- 66解得t14 ，t24 666262

，-1）或

，-62当1t24t61时，解得t62

，t 2

22，1）或22

66

1

622ABC622性较强，注意分类的思想应用.A（3，0A⊙AYxBB⊙Al．C（0，9

y1(x6)233DE33BF2或3（1）C（0，9∴36ak9a1,k解得 y1(x6)2 ∵DE⊙ARt△ADE3∴DE 3AE∴ BD3即 3BF 23∴BF2或333

2，B（0，﹣3）xl，ClDy如图3，在（2）的条件下，平移直线CN经过点A，与抛物线相交于另一点E，过点A作x轴的平行线m，过点（﹣3，0）作y轴的平n，直线m与直n相交SRn点PEA上，连接SP，以SP为边向上作等边△SPQ，连接RQ，PR，若∠QRS=60°，线段PR的中点K恰好落在抛物Q3（1）y=﹣

（3）点Q的坐标为（2， 3（1）a3（x，0，（m，﹣

m2 9b﹣63PRkky=3﹣

yy上运动，由

63x2

3y x2+6x﹣27=0，x=3﹣9（舍弃，x=3x=24bb=233则有（x﹣m）2+（

m2）2=m2+（﹣

m2+3∴x=m+3m﹣3∴N（m+3，0，M（m﹣3∴MN=23Rt△CFNCFN=90°，CN=MN=23，CF=333CNAy=

x﹣833y=

x﹣83x=﹣3GG（﹣3，﹣93QRSSQSP ∵S（﹣3，﹣63∴MS=63∴SR=RM+MS=b+63=PG，PH⊥n ∴GH=2PG=2（b+63 ∴MH=MG﹣HG=93﹣2（b+63）=63﹣23∴P（6+

b，

b﹣63 ∴K（2+

b，

b﹣33 为了方便，记K（x，y，即x=2+4b，y=4b﹣33，消去b得y=3x﹣ 39Ky=3﹣

yy由

363x2

3（－1,0（4，0＝x²＋bx＋cy轴交于点Py＝－xPB,PC,当PB＋PC＋POP的坐标及其最小值：＝x²－3－4（）M（5,6（）P（2－ 3， 3 （1）（2）（3）60°得△BFE，连接FP得等边△BFP，则PB＋PC＋PO＝PC＋PF＋FE，所以连接EC与直线y＝－于点P即为所求.EC关系式为:y＝(3＋2)x－4y＝－xP的坐标即可；A（－1,01bc{164bcDl∥BCl的关系式为：y＝x＋1yx{y

3x∴点 (3)把△BPOB60°得△BFE，FP得等边△BFP，∴连接EC与直线y＝－于点P，则点P即为所求.在等边△OBE中∴点 又∵点EC关系式为:y＝(3＋2)x－4y＝－x得 3， 3 y

1x3mx

(m0)xA、B两点（AB左侧

E9 ,0 ,0 写出点A、B、C的坐标（用m表示若以DEC②PDE上一动（D、E重合PPQECPHDFPQPH ABA30°yMBMSAM连接OSNBM上一个动点，连接SN，将SMNS逆时针旋转60得到SOT1TOBMK。若KTN的面积等于△ABM

，求线段MN（1）A(-3m，0)，B(m，0)，C(0，3m2（2）①y

3x2x33

，②PQ+

15（3）MN25（3）A（6

，0，B（，0，又∠33=3，∴∠OBM=60°，∠AMB=90°

SAM的中点，∴∠OSM=60°AOS=30°SOT=90°AOT=60°TK：y=-3x；BM：y=3x-6，联立两个方程，解得：K（3，-MN=a，TK=TO+OK=a+23，∴