选高中数学数列分类典型试题及

选高中数学数列分类典型试题及答案选高中数学数列分类典型试题及答案PAGE39选高中数学数列分类典型试题及答案精选高中数学数列分类典型试题及答案总复习必定掌握的数列经典解题技巧精选高中数学数列分类典型试题及答案【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质研究通项的性质例题1.已知数列{an}满足a11,an3n1an1(n2).（1）求a2,a3；（2）证明：an3n12.解：（1）Qa11,a2314,a332413.（2）证明：由已知anan13n1，故an(anan1)(an1an2)(a2a1)a13n13n2L313n21，因此证得an3n21.例题2.数列an的前n项和记为Sn,a11,an12Sn1(n1)（Ⅰ）求an的通项公式；（Ⅱ）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T315，又a1b1,a2b2,a3b3成等比数列，求Tn.解：（Ⅰ）由an12Sn1可得an2Sn11(n2)，两式相减得：an1an2an,an13an(n2)，又a22S113∴a23a1故an是首项为1，公比为3的等比数列∴an3n1（Ⅱ）设bn的公比为d，由T315得，可得b1b2b315，可得b25故可设b15d,b35d，又a11,a23,a39，由题意可得(5d1)(5d9)(53)2，解得d12,d210∵等差数列bn的各项为正，∴d0∴d2第2页共23页第3页共23页总复习必定掌握的数列经典解题技巧因此k4时，f(k)k27k1424k1，又f(1)f(2)f(3)0，因此，不存在kN*，使得bkak(0,1).例题4.设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an，bn解：依题意得：2bn+1=a+an+2①an+1②=bbn+12n+1n∵an、bn为正数，由②得an1bnbn1,an2bn1bn2，代入①并同除以bn1得：2bn1bnbn2，∴{bn}为等差数列∵b1=22=3，a22b1b2,则b29，，a2bn2(n1)(921),(n1)2∴22)(nbn2，2∴当n≥2时，anbnbn1n(n1)2

，又a1=1，当n=1时成立，∴ann(n1)2研究前n项和的性质例题5.已知等比数列{an}的前n项和为Sna2nb，且a13.（1）求a、b的值及数列{an}的通项公式；第4页共23页总复习必定掌握的数列经典解题技巧n（2）设bnan，求数列{bn}的前n项和Tn.解：（1）n2时，anSnSn12n1a.而{an}为等比数列，得a1211aa，又a13，得a3，从而an32n1.又Qa12ab3,b3.（2）bnnn123n32n1，Tnan3(1222L2n1)11123n1n11111n)，2Tn3(22223L2n12n），得2Tn3(1222L2n12n21(11)n41n2nTn3[12n]3(12n2n1)12.例题6.1数列{an}是首项为1000，公比为10的等比数列，数列{bn}满足1(kN*)，bkk(lga1lga2Llgak)（1）求数列{bn}的前n项和的最大值；（2）求数列{|bn|}的前n项和Sn.解：（1）由题意：an104n，∴lgan4n，∴数列{lgan}是首项为3，公差为1的等差数列，∴lga1k(k1)1n(n1)7nlga2Llgak3k2，∴bnn[3n2]2bn0由bn10，得6n7，∴数列{bn}的前n项和的最大值为S6S7212.（2）由（1）当n7时，bn0，当n7时，bn0，37n1n213n2)nSbbLb(∴当n7时，n12n244第5页共23页复必掌握的数列典解技巧当n7，Snb1b2Lb7b82S7(b1b2Lbn)1n213n21b9Lbn441n213n(n7)Sn441213(n7).∴4n4n21例7.已知增的等比数列{an}足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中.（1）求{an}的通公式an；（2）若bnanlog12an，Snb1b2Lbn求使Snn2n130成立的n的最小.解：（1）等比数列的公比q（q＞1），由a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：1a1=2，q=2或a1=32，q=2（舍）an=2·2（n－1）=2n（2）∵bnanlog1ann2n2，∴Sn=－1·2+2·22+3·23+⋯+n·2n）2Sn=－（1·22+2·23+⋯+n·2n+1），∴Sn=2+22+23+⋯+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2，若Sn+n·2n+1＞30成立，2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小5.例8.已知数列{an}的前n和Sn，且1,Sn,an1成等差数列，nN*,a11.函数f(x)log3x.（I）求数列{an}的通公式；（II）数列{bn}足bn1(n3)[f(an)2]，数列{bn}第6页共23页总复习必定掌握的数列经典解题技巧的前n项和为Tn，试比较Tn与52n5的大小.12312解：（I）Q1,Sn,an1成等差数列，2Snan11①当n2时，2Sn1an1②.an13.①－②得：2(SnSn1)an1an，3anan1，an当n=1时，由①得2S12a1a21，又a23,a23,a1a11,{an}是以1为首项3为公比的等比数列，an3n1.（II）∵fxlog3x，f(an)log3anlog33n1n1，bn111(n11)，(n3)[f(an)2](n1)(n3)21n3Tn1(11111111L1111)224354657nn2n1n311111)52n5,(122(n2)(n3)223n2n3比较Tn与52n52)(n3)与12312的大小，只需比较2(n312的大小即可.2(n22(n2又2(n2)(n3)3125n6156)5n150)2(n15)(n10)∵nN*,∴当1n9且nN*时，2(n2)(n3)312,即Tn52n512;31252n5当n10时，2(n2)(n3)312,即Tn;12312N*时，2(n2)(n3)312,即Tn52n5当n10且n12312.研究生成数列的性质例题9.（I）已知数列cn，其中cn2n3n，且数列cn1pcn为等比数列，求常数p；第7页共23页总复习必定掌握的数列经典解题技巧II）设an、bn是公比不相等的两个等比数列，cnanbn，证明数列cn不是等比数列.解：（Ⅰ）由于{cn+1－pcn}是等比数列，故有cn+1－pcn）2=（cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1），将cn=2n＋3n代入上式，得[2n＋1+3n＋1－p（2n＋3n）]2=[2n＋2+3n＋2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n1＋3n－1）]，即[（2－p）2n+（3－p）3n]2=[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][（2－p）2n－1+（3－p）3n－1]，1整理得6（2－p）（3－p）·2n·3n=0，解得p=2或p=3.（Ⅱ）设{an}、{bn}的公比分别为p、q，pq，cn=an+bn.为证{cn}不是等比数列只需证c22≠c1·c3.事实上，c22112=a122＋b12q2＋=（ap＋bq）p2a1b1pq，22）=a122213111＋b12）（ap＋b1pqc·c=（a＋bqa1b1（p2＋q2）.由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零，因此c22c1·c3，故{cn}不是等比数列.例题10.n2（n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比13数列，并且所有公比相等已知a24=1，a428,a4316第8页共23页复必掌握的数列典解技巧求S=a11+a22+a33+⋯+ann解：数列{a1k}的公差d，数列{aik}（i=1，2，3，⋯，n）的公比qa1k=a11+（k－1）d，akk=[a11+（k1）d]qk－1a24(a113d)q1a42(a11d)q318依意得：a4333(a112d)q16，解得：a11=d=q1±2又n2个数都是正数，∴a111kkk2k=d=q=2，∴a=S1131n1222232n，21S12131n122223242n1，两式相减得：S21n2n12n例11.已知函数f(x)log3(axb)的象点A(2,1)和B(5,2)，an3f(n),nN*.（1）求数列{an}的通公式；（2）bnanbn，若Tn2n,Tnb1b2m(mZ)，求m的最小；（3）求使不等式(11)(11)(11)p2n1a1a2an一切nN*均成立的最大数p.第9页共23页总复习必定掌握的数列经典解题技巧log3(2ab)1a2解：（1）由题意得log3(5ab)2，解得b1，f(x)log3(2x1)an3log3(2n1)2n1,nN*2n1（2）由（1）得bn，2nTn1352n32n1①2122232n12n1Tn132n52n32n1222232n12n2n1②①－②得1122222n1111112Tn2122232n12n2n121(21222n22n1)2n1312n1.Tn312n132n3，2n122n12n12n22n2n设f(n)2n3,nN*，则由2nf(n1)2n52n511112n1f(n)2n32(2n3)22n32152n得f(n)2n3,nN*随n的增大而减小2n当n时，Tn3又Tnm(mZ)恒成立，mmin3（3）由题意得成立

p1(11)(11)(11)对nN*2n1a1a2an恒记F(n)11112n1(1a1)(1a2)(1an)，则1(111)1)(11)F(n1)2n)(1(1an3a1a2an1F(n)1(111)(11)2n1)(1a2ana12n22(n1)2n11(2n1)(2n3)4(n1)2(n1)2n1F(n)0,F(n1)F(n),即F(n)是随n的增大而增大F(n)的最小值为F(1)23，p23，即pmax23.333第10页共23页总复习必定掌握的数列经典解题技巧（二）证明等差与等比数列转变成等差等比数列.例题12.数列{an}中，a18,a42且满足an22an1an，nN*.⑴求数列{an}的通项公式；⑵设Sn|a1||a2||an|，求Sn；1⑶设bn=n(12an)(nN*),Tnb1b2Lbn(nN*)，可否存在最大的整数m，使得对任意nN*，均有Tnm成立？若32存在，求出m的值；若不存在，请说明原由.解：（1）由题意，an2an1an1an，{an}为等差数列，设公差为d，由题意得283dd2，an82(n1)102n.（2）若102n0则n5，n5时,Sn|a1||a2||an|a1a2Lan8102nn9nn2,2n6时，Sna1a2a5a6a7anS5(SnS5)2S5Snn29n40Sn9nn2n5故n29n40n6（3）Qbn11111)，n(12an)2n(n1)2(nn11111111111nTn[(1)()()L()()].2223341nnn2(n1)mn1若Tnnm32对任意nN*成立，即n116对任意nN*成立，Qn*1m1(nN)的最小值是2，,m的最大整数值n1162是7.第11页共23页复必掌握的数列典解技巧m即存在最大整数m7,使任意nN*，均有Tn32.bn3a1

例13.已知等比数列{bn}与数列{an}足3an,nN*.（1）判断{an}是何种数列，并出明；（2）若a8a13m,求b1b2Lb20.解：（1）{bn}的公比q，∵bn3an，∴qn13anana1n1log3q。因此{an}是以log3q公差的等差数列.（2）∵a8a13m,因此由等差数列性可得a1a20a8a13m,(a1a20)20a1a2a3⋯a20210mb1b2Lb203(a1a2La20)310m由推关系明等差等比数列例14.已知数列{an}和{bn}足：a11，a22，an0，bnanan1（nN*），且{bn}是以q公比的等比数列.I）明：an2anq2；（II）若cna2n12a2n，明：数列{cn}是等比数列；111111（III）求和：a1L1a2n.a2a3a4a2nbn1an1an2a2qnq解法1：（I）：由bnan，有anan1，∴an2anq2nN*.（II）：∵anan2q2，a2n1a2n3q2La1q2n2，a2na2n2q2...a2q2n2，cna2n12a2na1q2n22a2q2n2(a12a2)q2n25q2n2.第12页共23页总复习必定掌握的数列经典解题技巧cn是首项为5，公比为q2的等比数列.11q22n1122n（III）解：由（II）得a2n1a1，a2na2q，于是11L1(11L1)(11L1)a1a2a2na1a3a2n1a2a4a2n1(111L1)1(111L1)aq2q4q2n2a2q2q4q2n213(111L1).2q2q1q2n211L1311L13n当q1时，a1(1242n2).a2a2n2qqq21113111当q1时，a1a2La2n2(1q2q4Lq2n2)31q2n3q2n11)].2(1q2)2[q2n2(q23，q，111n1L2q2na1a2a2n[11.故2n22]，qq(q1)解法2：（I）同解法1（I）.（II）证：cn1a2n12a2n2q2a2n12q2a2nq2(nN*)，又cna2n12a2na2n12a2nc1a12a25，cn是首项为5，公比为q2的等比数列.（III）由解法1中（II）的近似方法得a2n1a2n(a1a2)q2n23q2n2，111a1a2a3a4a2n1a2nLLa1a2a2na1a2a3a4a2n1a2n，第13页共23页{bn}总复习必定掌握的数列经典解题技巧a2k1a2k3q2k232k2Q2q4k4q，k1，2，L，n.a2k1a2k211...131q2...q2n2∴a1a2a2n2.例题15.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn(1)1）证明：数列{an}是等比数列；2）设数列{an}的公比qf()，数列bn=f（bn－1）（n∈N*，n≥2），求数列

an,其中1,0满足b1，{bn}的通项公式；（3）设1，Cnan(11)，求数列{Cn}的前n项bn和Ｔn.（1）证明：由Sn(1)anSn1(1)an1(n2)相减得：ananan1,an(n2),∴数列{an}是等an11比数列（2）解：{b1n}是首项为b112，公差为1的等差数列，∴1n1bn12(n1).n1.bn（3）解：时,an1n111n11(2),Cnan(bn1)(2)nTn12(1)3(1)2Ln(1)n1①222②①－②得：1Tn21nn1n1∴222因此：Tn4(11n1n.(2))2n(2)第14页共23页总复习必定掌握的数列经典解题技巧例题16.OBC的各个极点分别为(0,0),(1,0),(0,2)，设P1为线段BC的中点，P2为线段OC的中点，P3为线段OP1的中点.对每一个正整数n,Pn3为线段PnPn1的中点.令Pn的坐标为(xn,yn)，an1ynyn1yn2.21）求a1,a2,a3及an,(nN)；（2）证明：yn41yn,(nN)4（3）记bny4n4y4n,(nN)，证明：{bn}是等比数列.1）解：由于y1=y2=y4=1，y3=12，y5=34，因此得a1=a2=a3=2.又由yn3yn2yn1，对任意的正整数n有an+1=12yn1yn2yn3=21yn1yn2yn2yn1=12ynyn1yn2=an恒成立，且a1n=2，因此{a}为常数数列，a=2，（n为正整数）n（2）证明：依照yn4yn12yn2，及21ynyn1yn2=an=2，易证得yn+4=1－y4n（3）证明：由于bn+1=y4n8y4n4=（1－y44n4）－（1－y44n）=14bn，第15页共23页总复习必定掌握的数列经典解题技巧又由b1=y8y4=1－y44y4=41，11因此{bn}是首项为4，公比为4的等比数列.【模拟试题】一、填空题在等差数列｛an｝中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于=.2.已知数列的通项an5n2，则其前n项和Sn.首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d的取值范围是.4.在等比数列{an}中，a3和a5是二次方程x2kx50的两个根，则a2a4a6的值为.5.等差数列{a}中，a=1，a+a=14，其前nn135项和Sn=100，则n=.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为________7.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别An7n45a7为An和Bn，且Bnn3，b7=an，若bn为正整数，n的取值个数为___________。8.已知数列an对于任意p，qN*，有apaqapq，若a119，则a36.记数列{an}所有项的和为S(1)，第二项及今后第16页共23页2n(a1an)，n(n1)an,Sn,n,d总复习必定掌握的数列经典解题技巧各项的和为S(2)，第三项及今后各项的和为S(3),，第n项及今后各项的和为S(n)，若S(1)2，S(2)1，S(3)1,L，21.S(n)2n2,L，则an等于等差数列{an}共有2n1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_____.11.等差数列{an}中，an0，若m1且am1am2am10，S2m138，则m的值为.设Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S636,Sn324,Sn6144(n6)，则n等于.已知函数f(x)定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f(x2)2f(x1)f(x)，且f(1)2,f(3)6，则f(2005)____.三个数a,b,c成等比数列，且abcm(m0)，则b的取值范围是.等差数列{an}中，前n项和为1）若anSn10，求n2）设bn2an，求使不等式小正整数n的值.

Sn，首项a14,S90.b1b2Lbn2007的最点拨：在等差数列中知道其中三个便能够求出别的一个，由已知能够求出首项a1与公差d，把an,Sn分别用首项a1与公差d，表示即可.对于求和公式SnSnna1d采用哪一个都能够，但2是很多题目要视详尽情况确定采用哪一个可能更第17页共23页总复习必定掌握的数列经典解题技巧简单一些.比方：已知a90,a100,a9a100,判断S17,S18,S20的正负.问题2在思虑时要注意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项.16.等差数列{an}的前n项和为Sn，a112，S3932.（I）求数列{an}的通项an与前n项和为Sn；（II）设bnSnn（nN*），求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可以能成为等比数列.在直角坐标平面上有一点列P(x,y),P(x,y)L,P(x,y)L，对所有正整数n，点Pn位于函数111222nnny3x135的图象上，且Pn的横坐标组成以2为首项，14为公差的等差数列{xn}.⑴求点Pn的坐标；⑵设抛物线列c1,c2,c3,,cn,中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的极点为Pn，且过点Dn(0,n21)，设与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn，111求：k1k2Lkn1kn.k2k3⑶设Sx|x2xn,nN,n1,Ty|y4yn,n1，等差数列{an}的任一项anST，其中a1是ST中的最大数，265a10125，求{an}的通项公式.已知数列an满足a11,an12an1(nN*)，1）求数列an的通项公式；（2）若数列an满足4b114b21L4bn1(an1)bn(nN*)（n∈N*），证明：bn是等差数列.第18页共23页总复习必定掌握的数列经典解题技巧【试题答案】1.422.n(5n1)823.(,3]34.555.106.2107.；5个解法一：点拨利用等差数列的求和公式(a1an)nSn2及等差数列的性质N，则amapaq“若2mpq,m,p,q2”(a1a13)13A13172a7(b1b13)13B2剖析：b7=213第19页共23页总复习必定掌握的数列经典解题技巧解法2：点拨利用“若{an}为等差数列，那么Snan2bn”这个结论，依照条件找出an和bn的通项.剖析：可设Ankn(7n45)，Bnkn(n3)，则anAnAn1k(14n38)，a7k(14738)17bnk(2n2)，则b7=k(272)2ank(14n38)12由上面的解法2可知bn=k(2n7n1，显然2)12只需使n1为正整数即可，故n1,2,3,5,11，共5个.议论：同等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，依照详尽的情况能够灵便应用.反思：解法2中，若是填空题，比率常数k能够直接设为1.8.49.解：anS(n)S(n1)1112n22n12n1.(n1)an131910.解：依题意，中间项为an1，于是有nan1290解得an129.11.解：由题设得am2am1am12am，而am0，am2，又QS2m1(a1a2m1)(2m1)2am(2m1)10.38，38222(2m1)，m12.解：S6(SnSn6)6(a1an)36(324144)216，a1an36，Snn(a1an)324.∴n18。213.解：由f(x2)f(x)2f(x1)知函数f(x)(xN*)当x从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一第20页共23页总复习必定掌握的数列经典解题技巧个等差数列，f(1),f(3),L,f(2005)形成一个首项为2，公差为4的等差数列，f(2005)2(10031)44010.14.解：设abb1mq,cbq，则有qbbqm,Qb0,qq1b.m13m当qq10，0b0时，bq，而b3；m1m1，而m当q0时，bqq11，即b0，b0，则mb0，故b[m,0)(0,m].315.解：（1）由S99a136d0，得：d1,an5n，又由anSn10,4(n1)(1)