信号与系统课件-第8讲

信号与系统第8

讲级数表示位置:第3章周期信号的§3.8-§3.11内容概要:级数与LTI系统；滤波；微分、差分方程描述的滤波器开讲前言－前讲回顾离散时间周期信号的

级数表示成谐波关系的复指数信号的线性组合与连续情况不同，只有有限个谐波，周期为N，N个系数的确定离散时间周期信号

级数的分解和综合表达式序列的周期性，系数的周期性，任意N个顺序序列，顺序系数的意义系数的多种表达，幅度、相位周期周期的分解分解的表达式有限个谐波分量对原序列的近视，没有吉伯斯现象性质与连续情况有差别的性质，相乘、差分、帕斯瓦尔定理有限长（周期内）求和信号与系统－第8讲2020/11/192开讲前言－本讲导入周期信号的

级数表示复指数信号作为基本信号可以表示任何周期信号系统与复指数信号的关系系统对复指数信号的响应是描述系统的重要特征冲激响应作为系统的重要特征，与系统对于复指数信号的响应有什么关系？系统对不同谐波复指数信号响应的分析系统响应与信号频率的关系滤波的概念滤波器的描述信号与系统－第8讲2020/11/193§3.8

级数与LTI系统复指数信号与LTI系统级数可以表示任何离散周期信号和几乎所有有用的连续周期信号LTI系统对复指数信号有特别简单的响应形式连续情况h(t)e

dt

stH

(s)

输入为x(t)

est

,输出为y(t)

H

(s)esth(t)是系统的单位冲激响应离散情况输入为x[n]

zn

,输出为y[n]

H

(z)znH

(z)

h[n]znnh[n]是系统的单位脉冲响应信号与系统－第8讲2020/11/194§3.8

级数与LTI系统系统函数与频率响应系统函数一般情况，s和z都是复数频率响应频率响应用于表示系统对复指数信号的响应很简单，频率响应用于表示系统对周期信号的响应也很方便周期信号是不同谐波的复指数信号的线性组合频率响应如何表示系统对非周期信号的响应H

(s)

h(

)e

st

dk

H

(z)

h[k

]zkest

e

jt

,对连续系统，考虑s为纯虚数情况：对离散系统，考虑z

=1的情况：zn

e

jnH

(z)

H

(e

j

)

h[n]e

jn，H

(e

j

)称为系统的频率响应n

H

(s)

H

(

j)

jth(t)e dt，H

(

j)称为系统的频率响应信号与系统－第8讲2020/11/195§3.8

级数与LTI系统周期信号的频率响应连续信号系统对x(t)的响应为：y(t)离散信号如果系统的单位冲激响应为h(t),jk

(2jk

(2

/

N

)n系统对x[n]的响应：y[n]ka

H

(e)e

/

N

)k

N

00a

H

(e

)ejk

jk

t

kk

0x(t)

jk

ta

e

kk

周期信号：0jk

(2

/

N

)n周期信号：x[n]jk

nkkk

N

k

N

a

ea

e如果系统的单位脉冲响应为h(n),系统的频率响应系统的频率响应信号与系统－第8讲2020/11/196§3.8

级数与LTI系统频率响应举例-连续情况33x(t)

akk

ex(t)

a

e

jkjk

22kk

−−33其中：其中：aa00

11,,aa11由于0

2

,所以：y0

11,

b4

1

j2b

1,

b

1系统对x(t)的响应为：y(t),

b1

j43a

ejk

2k

3x(t)

k其中：a0

1,a1频率响应为：H

(j冲激响应收敛，这个积分才存在，频率响应才存在信号与系统－第8讲2020/11/1972020/11/19信号与系统－第8讲8§3.8

级数与LTI系统频率响应举例-连续情况（续）k从上面结果看，b*

CkkDBkkReI

m0

11,4

1

j2b

1,

b

1,1

j433

1

2

Bk

cos(2

ktk

1kk

1y(t)

1

2

R

e

b

e3或：y(t)

1

2Ck

cosk

1§3.8

级数与LTI系统频率响应举例-离散情况x[n]

cos(

2

n

)，h[n]

anu[n],其中：a

1,求N]傅里叶级数系数12e

j

(2

/

N

)

ne

j

(2

/

N

)

ny[n]

1

H

(e

j

2

/

N

)e

j

(2

/

N

)

n

1

H

(e

j

2

/

N

)e

j

(2

/

N

)

n2

2

1

12

1

ae

j

2

/

N

1

12

1

ae

j

2

/

N11

ae

j

2

/

Ny[n]

1

re

j

e

j

(2

/N

)n2

1

re

j

e

j

(2

/

N

)n

r

cos(n2

/

N

)211

ae

j

2

/N

re

j，有

re

j令：等比级数求和的条件是公比小于1，否则级数是发散的，频率响应不存在n

0

n

011

ae

jx[n]表示为H

(e

j

)

12ane

jn

ae

j

n

信号与系统－第8讲2020/11/199§3.8级数与LTI系统课堂练习kTaTT

1

(t)e

jk

(2

/

T

)tdt

10T

1

1000

20001y(t)

a0

a1e

j

(2

/

T

)t

a

e

j

(2

/

T

)t0T

1

(1

2cos

t)信号与系统－第8讲2020/11/1910§3.9

滤波0.滤波的概念改变信号中各频率分量相对大小是信号处理经常做的。该过程称为滤波用于改变频谱形状的LTI系统称为频率形成滤波器衰减或消除部分频率信号，无失真通过其他频率信号称为频率选择性滤波器1.频率成形滤波器音频信号处理中的举例低频滤波器连续可调成形滤波器频率响应的上下限均衡器响应信号与系统－第8讲2020/11/1911§3.9

滤波图像信号处理举例“对信号求导”功能的频率响应求导功能的效果对信号的放大能力与频率正比突显了高频成分，细节增强y(t)

dx(t)/

dt若：x(t)

e

jt

,得：y(t)

jejt频率响应：H

(j)

j信号与系统－第8讲2020/11/1912§3.9

滤波离散信号的频率成形滤波举例对连续两点的平均“平均”功能的效果对细节平滑损失了变化快的高频信息“平均”功能的频率响应n

0

2

1

(1

e

j

)

e

j

/2

cos(

/

2)2H

(e

j

)

1

(

[n]

[n

1])e

jny[n]

1

(x[n]

x[n

1])2h[n]

1

(

[n]

[n

1])2信号与系统－第8讲2020/11/1913§3.9

滤波2.频率选择性滤波器对指定频率的信号进行衰减，其他信号不变低通、高通、带通滤波器设计的问题衰减频带内的衰减是否等于0通带内是否无失真能否做到等于1通与阻之间的过渡能否做到无过度的跳变连续时间系统的举例理想低通滤波器频率响应H

(

j)

1,

c信号与系统－第8讲2020/11/1914c0,

§3.9

滤波2.频率选择性滤波器离散时间选择性滤波器低通、高通、带通与连续的差别何在？离散时间滤波器特点频率特性的周期性2π为周期高频位于π的奇数倍位置低频位于π的偶数倍位置信号与系统－第8讲2020/11/1915§3.10

用微分方程描述的连续时间滤波器0.微分方程的意义能描述很多实际情况；微分便于物理实现1.简单RC低通滤波器系统的性质判定在松弛初始条件下为LTI系统系统频率响应系统冲激响应阶跃响应1u(t)RCt

/

RCh(t)

ec

sdt微分方程:RC

dvc

(t)

v

(t)

v

(t)jt

jt若：vs

(t)

e

，

有：vc

(t)

H

(

j)e11

RCj信号与系统－第8讲2020/11/1916求解得到：H

(j)dtRC

d

H

(

j)e

jt

H

(

j)e

jt

e

jts(t)

(1

et

/

RC

)u(t)§3.10

用微分方程描述的连续时间滤波器时间常数τ=RC，τ越大响应达到稳定的时间越长冲击响应和阶跃响应频率响应的模和相位1.简单RC低通滤波器（图解）具有低通特征滤波器的参数由RC调整信号与系统－第8讲2020/11/1917§3.10

用微分方程描述的连续时间滤波器2.简单RC高通滤波器输出选择电阻上的电压确定方程阶跃响应jt输入vs

(t)

ejt输出vr

(t)

G(j)erv

(t)

et

/

RCu(t)阶跃响应频率响应的模和相位具有高通特征滤波器的参数由RC调整rdt

dt频率响应RC

dvr

(t)

v

(t)

RC

dvs

(t)RC

d

G(

j)e

jt

G(

j)e

jt

jRCejt信号与系统－第8讲2020/11/1918dtG(

j)

(

jRC§3.11

用差分方程描述的离散时间滤波器0.

差分方程的意义差分滤波器实际应用广泛；便于物理实现方程频率响应单位脉冲响应单位阶跃响应1H

(e

j

)

1

ae

jn输入x[n]

e

jn，输出y[n]

H

(e

j

)e

jnH

(e

j

)e

jn

aH

(e

j

)e

j（n

1）

e

jnh[n]

anu[n]a=-0.6频率响应的模和相位a=0.6频率响应的模和相位具有低通特征具有高通特征无限长脉冲

a分别为正负情况分析递归滤波器（无限长单位脉冲响应）非递归滤波器（有限长单位脉冲响应）1.一阶递归离散时间滤波器滤波器的参数由a调整y[n]

ay[n

1]

x[n]u[n]信号与系统－第8讲2020/11/19191

an1s[n]

1

a§3.11

用差分方程描述的离散时间滤波器平均数据举例：3点等权平均系统方程频率响应3h[n]

1

[n

-1]

[n]

[n

1]）（1

133j

j

jH

(e

)

（e

1

e

]）

（1

2cos]）这是一个低通滤波器低通和带阻之间没有陡峭的过度没有可以调整滤波器性能的参数信号与系统－第8讲2020/11/1920M2.非递归离散时间滤波器一般形式y[