教育学数学学习的心理基础与过程课件

9.1数概念与数意识的形成过程皮亚杰的数概念学习理论：“数”是异于“物理性学问”与社会性学问”的所谓“规律——数学性学问”。他把数看做是一种“有序的分类”，也就是说，儿童必需能把握分类和序列性概念的规律操作才能了解数字。他认为“数守恒”的力量是数学理解的先决条件，儿童到了六岁半左右才具备这样的力量，假设不具备这样的力量，就不算是对数目有真正的了解，所谓守恒概念是指物体的数或量不由于位置外形的转变而转变。盖尔曼的儿童数概念理论盖尔曼将学前儿童数学学问和技巧分成两种形态1.数学抽象力量，数学抽象力量是帮助儿童建立数值概念2数学推理原则，它是帮助儿童对数量做进一步的操作而得到有效的推理数概念的特点在全部数学概念中，离学生日常生活最近的是数概念和初等几何概念，绝大多数的数概念都可以在现实生活中找到模型。正由于大多数的数概念都不贴近人类的生活源泉，因此，在数概念的教学中一般都可以借助于实际的情景和活动数概念是一个典型的过程性概念，也就是说它即使过程又是概念。数概念的这种两重性一方面增加了概念的内涵，另一方面也为教学供给了一种层次，使学生在具体操作的根底上，经过压缩和内化，逐步形成作为对象的概念，并纳入了已有的认知构造。过程概念的显著特点是要经受一个从过程压缩为对象的抽象过程，因此，与初等几何概念不同的是，数概念的显著特点是要经受一个从过程压缩为对象的抽象过程，因此，教学中虽然可以借助实际的模型操作，但又不能停留于具体的过程3表征的多样性例0.5的表达表征方式的多样性一方面可以为问题解决带来敏捷性，但另一方面也简洁造成理解上的混淆与误会。争论说明，对数概念符号的多重意义的生疏是帮助学生形成数学力量的一局部，因此如何帮助学生进展数学符号与过程的意义是数学教育家目前最重要的课题之一外延的扩张在中小学数学课程中，数概念是一个典型的外延型概念，而且其外延经过了屡次的扩张。从规律上看，数系的扩张有两条主要的途径：1、通过添加新的元素，如在正整数集合中参加数“0”就得到了自然数，从而使得两个一样的数可以相减；在自然数中参加负数就得到了全体整数2、等式抽象方法。这种方法的优势是能够提醒数概念的本质属性，如从中可以看到，自然数看扩张为整数的目的是现实加法的对称化，整数向有理数的扩张可以现实乘法的对称化，而有理数向实数的扩张则是为了连续化。数概念的形成从数系的角度看，数概念包括自然数、整数、有理数和复数。从学习心理的争论来看，主要集中在有理数，特殊是自然数上，但是对虚数和无理数的争论寥寥无几。有理数概念是学生在小学阶段遇到的最重要且最简单的概念之一，其重要性从以下几方面看出：1、实践角度，能有效的处理这些概念将大大的改进儿童理解和把握现实世界中的状况和问题力量2、心理学角度，有理数概念为儿童供给一个丰富的领域，使他们能够形成和扩张今后智力进展所必需的智力构造3、数学角度，有理数的概念把握以后为以后初等代数计算供给了牢靠的根底自然数皮亚杰数守恒概念的特点1、相互性：某局部增加了就会抵消另一削减的局部，二者之间具有补偿性用。2、同一性：自始至终设计同样的数与量，没有加多也没有拿走任何东西3、逆反性：某一转变状态可以在心里以同等但反向的旋转被逆反回到原来状态皮亚杰的儿童对数概念的生疏三个进展阶段第一阶段〔4-5岁〕是对数概念无法理解的阶段，无法运用一对一的对应关系去建构两组有同样数目的实物。其次阶段〔5-6岁〕是过度时期，会运用一对一对应关系建构同等数，但对于一对一关系不是充分理解第三阶段〔6岁半以后〕是对数概念能真正理解的阶段，儿童已能用各种方法建构同等性，例如用数的，或用一一对应的方式，并且也能理解守恒概念。不管外观安排如何变化，都不会影响其对同等性的推断盖尔曼和盖尔里斯特的计数原则〔1〕一对一原则：计数时要遵循“区分”和“标记”这两个过程。也就是集合中的每一个工程只能有一个数字标记，且标记不能重复。〔2〕规定挨次原则：在每一次在计数时，计数的“标记”必需是遵循同样挨次，也就是在序列中消失的次序是固定的〔3〕基数原则：计数集合中最终一个工程的标记，即代表此事物的工程总数〔4〕抽象原则：指以上三原则均可适用于任何可数的事物，即任何东西皆可拿来数，具体的椅子或抽象的心灵都可数〔5〕次序无关原则：只要遵守其他计数原则，集合中的工程无论从哪一个开头数起，并不影响其结果上述五项原则，强调计数现象，但这并不意味着儿童能“明确且系统”的完成不同种的作业，这些力量的实际表现会渐渐统和而稳定。斯蒂夫等人对儿童数数的进展六个阶段〔1〕数序。儿童将个数由1开头依序念出，但是不知其意义。这是一种机械记忆〔2〕以知觉单位为计数对象。儿童开头会数东西时只能数知觉单位〔3〕以心像单位为计数对象。以心中想象的东西作为数数的对象，称为心像单位。〔4〕以动作单位为计数对象。不数想象中的东西，而是数自己的动作〔5〕以语言单位为计数对象。本阶段的数数行为必需有意识地掌握念数字之间开头与完毕的时机〔6〕以抽象单位为计数对象。知道一个数字代表一个集合的数位值从20世纪70年月位值概念就始终是数学教育心理学的一个争论热点，其中的一些重要成果：贝德纳兹、詹妮弗的争论觉察〔1〕学生把“个、十、百”的位值含义更多的依据位值挨次来理解〔2〕学生把借位的含义解释为“删去一个数位u，拿走一个，在下一个数位上加一”整数和小数之间的位值联系对学习是有利的，但是儿童通常只留意整数方面而未能适应小数方面对位值缺乏理解的学生在理解小数时有一段困难时期有色的筹码是金钱常常被用来作为表示位值概念和运算的操作工具，但是他们却增加了的简单性学生学习位值概念时产生错误的主要缘由是英语中位值系统的语言简单性为了削减位值概念的教学困难，一些教学帮助工具便应运而生，最为著名的是狄恩斯的“狄氏多层算术积木”，他提出了以下四项原则：活动原则：教儿童玩积木时，首先就该任其自由的玩耍积木，让他们了解积木的意义活动原则：数学变化原则。数学变量的变换状况并不影响变量之间的一些恒定直觉变异原则：数学概念构造不会由于知觉受体的转变而转变分数图形中整体的一局部子集——集合关系除法中等分除的商小数数轴上的一点比作为数学概念的分数，由于表征形式的不同，而产生了多种意义，包括：莱什等人进一步从有理数的子构造的角度深入争论了分数的意义，除了上述六种意义外，他们还争论了分数作为“算子”的意义，把分数看做是一个变换，给出了各种意义之间的关系〔下页〕由图可见：1.拆分和局部整体的子构造是其他子构造的根底2.子构造中的比是促成把握等价概念的中介3.算子和度量子构造在加法和乘法理解中具有重要的意义由于分数具有多重的意义，而且这些意义之间具有肯定的层次性，因此，儿童分数的形成不是一个简洁的过程拆分和局部整数比算子商度量等价乘法解决问题加法分数意义关系网皮亚杰对3-8岁儿童的分数概念进展过程：4岁——4岁半儿童对于将一个物品分为两半特别困难，在分割之前没有预想的打算或图示4岁——6岁儿童对于规章的、小范围的东西有分为两半的力量，假设整体增加，分成一半缓慢6岁——7岁能过成功的实施三等分，不必利用试误的方法10岁左右儿童能实施六等分，首先是以三等分法分一个饼，然后三块饼进展二等分赫伯特和特尼森争论5—8岁分数概念进展情形改成长度模式为伯特尔和萨瓦达觉察，儿童处理等分长方形或圆形区域，其分数概念的进展挨次为哈特分数概念理解的层次能用局部——全体来表示的分数意义能利用子集——集合来表示分数〔〕能利用等值分数写出分数符号或图标能解决需要不止一个运算的分数问题分数概念形成过程之中，有四个关键因素对单位量的认知。处理分数问题最重要的一个概念就是单位量确实认具有等分割的概念，处理分数问题的另一个重要的概念就是一个可以除尽的全体理解局部与整体之间的关系确认单位重量〔数〕小数和分数异同的比较小数知识（真）分数知识类似（√）不同（×）A.小数的值1.在0和1之间表达一个值2.整数被分成很多较小的等分3.在0和1之间有无限个小数存在B小数符号1.一个单位被分成几个的数隐含在数字的位置中2.有多少等份表示在小数的量中3.整数仅可被分成10的幂次方A.分数的值1.在0和1之间表达一个值2.整数被分成很多较小的等分3.在0和1之间有无限个小数存在B分数符号1.一个单位被等分成由分母明确界定的2.有多少等份表示在分数的分子中3.整数可被分成任一个等份的数（√）（√）（√）（×）（×）（×）小数和整数学问的比较小数知识整数知识类似（√）不同（×）A.数值1.数字从5到右时，值会变小2.左边数字是右边相同数字的10倍3.“0”有位值的意义4.一个数的右边增加“0”时，其值不变5.从小数点开始往右其值递减B数位1.小数点以后名称按数字次序读出2.小数部分从十分位开始3.位名顺序是从左到右4.读数字的顺序是十分位，百分位，千分位，-----C读法小数点左边整数部分按照整数读法，右边的数字依数字次序读出A.数值1.数字从5到右时，值会变小2.左边数字是右边相同数字的10倍3.“0”有位值的意义4.一个数的左边增加“0”时，其值不变5.从小数点开始往左其值递减B数位1.没有小数点以后的数字2.从个分位开始3.位名顺序是从右到左4.读数字的顺序是千分位，百分位，十分位，-----C读法依整数十进制结构读出（√）（√）（√）（×）（×）（×）（×）（×）（×）小数概念的形成形成两条根本途径:1.通过分数的“局部与整体”关系，或者利用整数的位值概念2.一位小数是记录特别之几的重量，两位小数是记录百分之几的重量从整数的位值概念来看小数概念的形成位值彼此之间关系以10为基底的指数形式表示出位名--------千位百位十位个位位值---------数字--------为了使个位也能无限制地向右延长过去，可将指数范围扩大至负整数;利用往左扩展一位是乘以10的结果，因此往右扩展一位除以10的结果，有了新符号〔小数符号〕及新位名的产生：指数小数位名=0.1特别位=0.2百分位-------1989年的《数学课程与评价标准》1.能了解数的基本意义2.能探索数字之间的多重关系3.能了解数字的相对大小关系4.能了解运算对数字的影响5.能发展参考物参考物来测量一般的物体2000年的《数学课程与评价标准》1.能了解数字及其表征的方法、数字之间的关系和数字系统2.了解运算的意义以及运算之间的关联性3。流利的计算并做合理的估计

数意识形成与进展

数意识的解释，目前并不统一，几种代表性的说法

汤普森和瑞特梅尔（数意识分成四种成分）1.能了解数字的意义与关系2.能了解数字的相对大小3能了解运算对数字的影响4.能了解如何使用参考点于日常生活情景麦克英特（数意识包涵的六种能力）1.了解数字的意义与大小的能力2.了解并使用等值形式及表征数字能力3.了解运算的意义和影响的能力4.了解并善用等值形式解题的能力5.发展计算和数数策略的能力6.运用参考点的能力肖德恩数意识包含九种成分1.数字的分解与组合2.辨认数字相对大小的能力3.处理数字绝对大小的能力4.使用参考点的能力5.以有意义的方式连接数字、运算及相关符号的能力6.了解运算对数字的影响7.以创新的方式进行心算，使运算更为方便的能力8.发展估算的能力，并指导何时估算是适当的9.使数字意义化的能力9.2运算、估算技能与算法思想的形成9.2.1整数加减法的争论运算技能的形成乘除法的争论分数与小数的运算加减法的争论斯塔奇和格尔曼学前儿童也能理解将元素并入或移出集合的效应有关加减运算问题的基础知识是所谓的部总知识1.部分和总体之间的运算关系知识2.加法交换律知识3.加法和减法互补关系知识格里尔的教学主张1.算术运算教学应该关联到广泛情景2.重视儿童非形式的求解方法菲斯宾等人的研究主张每一个算术基本运算，一般都结合着一个隐藏的潜意识的、原始的直观模式。当解一个含有两项数值资料的应用问题时，对运算的选择并非直接发生，通过一个中介模式发生，且这个模式会对选择过程加以一些限制乘除法的争论小数与分数的运算塔特苏特分数加法错误类型1.带分数转换假分数的错误2.整数转换为等值分数的错误3.通分时转换等值分数的错误4.求公分母的错误5.加法程序的错误6.不会化简或约分派特尔1.分子加分子，分母加分母2.求出公分母后放在分母。而分子为原分子相加3.分母相乘，分子相加4.分母相乘，分子相乘估算技能的形成强调估算技能的缘由——与数学应用有关、源于对数意识的重视一个好的估算着至少应有的素养重组：转变数字数据以便利心算转换：把原有的构造转成更易处理的形式调整：计算中及后，可调整估算值至接近的近似值估算技能与心算技能亲密相关，重视心算技能培育的缘由1.心算是大多数人运用的主要的计算方式2.在大多数状况下，心算是最简洁易行的3.做心算有利于对数的特性的理解4.心算过程本身就是一种制造性的问题解决活动算法思想的初步形成算法的一般要求可以归纳为：

——算法的可行性、确定性、有穷性、有效性、普遍性在小学阶段学习算法的思想1.在世界范围内，算法都是小学数学课程的传统内容2.算法可以有效的解决一类问题3算法是一种经过压缩的、一般化的解题课程4算法是自动化的5.算法是目标指向的6.算法可以为计算过程提供书面的记录7.算法是可教的8.对于教师来说，算法易于处理与评价算法程序过早教学有一些不利因素算法程序常常与人们的习惯思维不一致算法的运算会诱使学生放弃他们自己的想法算法不利于数意识的形成算法使学生习惯于依赖数字的空间排列算法会使学生盲目接受运算的结果在实际生活中，书面算法很少使用9.3算术中的问题解决在探讨小学生解决算术问题方面三种争论方法：——个别交谈、反响潜伏期、用手指和客观直接仿照，或直接回忆加法表算术问题的根本类型及其解题策略1.加减法应用题的根本类型2.乘除法应用题的根本类型⑴乘：大小转变、穿插运算、比例因子⑵除：求同单位量之间的比率、求异单位量之间的比率、除数为异单位量之间比率的除法、除数为大小转变因子的乘法、求反因子⑶四则运算的统一分类：如马绍尔将算术文字题分为五个类型：转变、重组、比较、重复、变化算术问题的难度分析影响算术问题难度的主要因素：1、未知数的位置：在“转变”类型中，不管是添加型或拿走行，未知数所在的位置越在前面，难度越高。是由于语意构造与儿童解题的策略产生冲突2、语言的表述：解题的难度受题目中的表达语的不全都性的影响3、数字的形式：对于乘法应用题来说，问题类型对学生的影响不大，数字形式才是关键4、问题的构造：学生在解决除法问题时往往会形成“等分模式”的思维定势5、单位的变化6、问题的表征9.4数与运算的教学数与运算教学的认知分析认知层次基伦分数概念学习5个连续层面1.把分数作为整体的一部分2.对一个事先分成若干的整体，通过数其中一部分的份数而得到分数3.把整体平均分成若干，对整体的份数和部分的份数分别进行计算4.通过数“份数”对两个同分母分数求和5.根据分数加法原理，对两个异分母分数求和哈特从位值研究小数6个认知层面1.千位数以内的位值概念2.一位小数3.二三位小数4.与左边的位值关系5.更复杂的位值关系6.从除的结果发展到小数之间的小数有无限多个德恩特蒙特小数学习的五个层面1.具体物的层次2.操作说明的层次3.程序的层次4.心智模式层次5抽象的层次难点解析小学的教学与有理数概念有关——多数进展都产生于重要的认知改组的初期——重要的质变发生在那些用来描述这些构造并使其模型化的表征系统中——表征系统的作用是迥异不同的