仿射几何1解析课件

高等几何电子教案高等几何电子教案1§1.1平行射影与仿射对应一.两直线间的平行射影与仿射对应ABCD1.平行射影或透视仿射：若直线且,，≠≠

,点A,B,C,D……,过点A,B,C,D……作直线的平行线交于……，则可得直线到直线的一个映射。称为平行射影或透视仿射，记为T§1.1平行射影与仿射对应一.两直线间的平行射影与仿射对应A2ABCD原象点：A,B,C,D……

直线a上的点平行射影的方向：直线透视仿射与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射O点O为自对应点(同一平面上两相交直线的公共点)映象点：……直线上的点记透视仿射T：………ABCD原象点：A,B,C,D……直线a32.仿射（或仿射变换）：仿射是透视仿射链或平行射影链表示透视仿射链，T表示仿射（如图）………………2.仿射（或仿射变换）：仿射是透视仿射链或平行射影链4仿此，每一个对应点都可以这样表示。注：1.仿射是有限回的平行射影组成的2.判断仿射是否是透视仿射的方法：对应点的联线是否平行3.书写的顺序与平行射影的顺序是相反的二.两平面的平行射影与仿射对应：1.平行射影：如图点A,B,C共线a，则共线gABCal两相交平面的交线为自对应点的集合即对应轴仿此，每一个对应点都可以这样表示。注：1.仿射是有限回的平行5平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的，是透视仿射链性质：1.透视仿射保留同素性.（几何元素保留同一种类而不改变）即点对应点，直线对应为直线.2.保留点与直线的结合性2仿射：平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的，是透视仿射6§1.2仿射不变性与不变量定义1

仿射不变性与不变量：经过一切透视仿射不变的性质和数量仿射图形：经过任何仿射对应不改变的图形.仿射性：经过任何仿射对应不改变的性质.仿射量：经过任何仿射对应不改变的数量.定理1：两直线间的平行性是仿射不变性.（反证法）推论平行四边形是仿射不变的图形.定义2简比：设A,B,C为共线三点，这三点的简比（ABC）定义为以下有向线段的比：当点C在线段AB上时，(ABC)<0§1.2仿射不变性与不变量定义1仿射不变性与不变量：经过7当点C在线段AB或BA的延长线上时，当点C与点A重合时，当点C与点B重合时，当点C为线段AB的中点时，(ABC)=-1则点C称为分点，A,B两点称为基点简比(ABC)等于点C分割线段AB的分割比的相反数例1经过点A(-3,2)和B(6,1)两点直线被直线x+3y-6=0截于P点，求简比（ABP）解:设(ABC)0(ABC)=0(ABC)不存在当点C在线段AB或BA的延长线上时，当点C与点A8定理2共线三点的简比是仿射不变量.定理3两平行线段之比是仿射不变量.∴点P在直线x+3y-6=0上.ABC==要证:定理2共线三点的简比是仿射不变量.定理3两平行线段之比是仿射9ABCDE证明:如图,作DEAC,==∵简比是仿射不变量∴定理4一直线上两线段之比是仿射不变量.定理5在透视仿射下，任何一对对应点到对应轴的距离之比是一个常数ABCDE证明:如图,作DEAC,==∵简比是仿射不10gABC证明:设T为到的一个透视仿射,如图并且则=若ABg,==g,则显然成立.若ABg,=g,=过A,,B,分别引轴g的垂线垂足分别为由相似三角形得:gABC证明:设T为到的一个透视仿射,如图11定理2任意两个三角形面积之比是仿射不变量.证明:分两种情形特殊情形:有两对对应点在对应轴g上并且重合.如图ABCg一般情形:如图定理2任意两个三角形面积之比是仿射不变量.证明:分两种情形特12对应三角形的三对对应顶点都不在对应轴上,△ABC与对应,三对对应边相交于对应轴g上.ABCgXYZ由的证明可得:对应三角形的三对对应顶点都不在对应轴上,△ABC与对应,三对13推论1在仿射变换下，任何一对对应多边形面积之比是仿射不变量推论2在仿射变换下，任何两条封闭凸曲线所围成的面积之比是仿射不变量推论1在仿射变换下，任何一对对应多边形面积之比是仿射不变量推14§1.3平面内的仿射变换及其决定一.平面内的透视仿射设为平面到平面的透视仿射，射影方向为.设为平面到平面的透视仿射，射影方向为.则gAB设T将上的点A变换为其本身上的点T将上的点B变换为其本身上的点a§1.3平面内的仿射变换及其决定一.平面内的透视仿射设15T将上的点变换为上的点,将上的直线a变换为上的直线,即T保留同素性和接合性.T将上的相交直线a,b变换为上的相交直线.T将上的平行直线

变换为上的平行直线.

和的交线g上的每一点经过T不变，且T具有仿射不变性与不变量，称T为平面到自身的透视仿射定理1平面内的透视仿射由一对对应轴与一对对应点完全决定证明:设已知对应轴g与不在其上的一对对应点为平面上任一已知点T将上的点变换为上的点,将16定理2给定平面内的两个三角形，至多利用三回透视仿射可使一个三角形变为另一个三角形BAXg连直线AB,设与对应轴g相交于X,连X与,则AX与是一对对应直线过B引的平行直线,与B对应的点就只能是这直线与的交点.∴是唯一确定的.BAgAB=ggoABC定理2给定平面内的两个三角形，至多利用三回透视仿射可使一个三17证明:把△ABC平移到使顶点A落在上,把平移看作透视仿射的特例.记为ABC∵对应轴不存在,对应边互相平行再以直线为透视轴,以作为一对对应点确定一个透视仿射.最后以为对应轴,以作为一对对应点确定一个透视仿射T为仿射变换证明:把△ABC平移到使顶点A落在18定理3原象点不共线，映象点也不共线的三对对应点决定唯一的仿射变换.若两三角形有一对顶点重合,则利用两回透视仿射就够了.若两三角形有两对顶点重合,则利用一回透视仿射就够了.仿射等价图形:经过仿射变换可以互相转换的图形.任意三角形是仿射等价的.证明:存在性:设是平面内不共线的任意三点.也是不共线的任意三点.存在一个仿射变换T使在平面内任意取一点P,设交于Q.由定理2知.定理3原象点不共线，映象点也不共线的三对对应点决定唯一的仿射19QP唯一性:设存在另一个仿射,在平面内任意取一点P,设于Q为仿射.∴保持接合性且简比不变都在直线上.且有:QP唯一性:设存在另一个仿射,在平面内任意取一20∴对于平面上任意一点P,都有作业:∴对于平面上任意一点P,都有作业:21§1.4仿射变换的代数表示设有一正交笛卡儿坐标系xoy，以E为单位点（如图）。一个仿射变换T将平面上一点P变换为一点，求P的坐标（x,y）和的坐标之间的关系。仿射变换T由三对对应点唯一确定.设的坐标为X轴上的单位点的映象的坐标为y轴上的单位点的映象的坐标为设P在坐标轴上的正射影，且，则T将平行四边形及分别变换为平行四边形及.由于T保留简比.则§1.4仿射变换的代数表示设有一正交笛卡儿坐标系xoy，以E22xyOP(x,y)xyOP(x,y)23或者写为且因为三点不共线，三点不共线所以行列式不为O(1)(2)或者写为且因为三点不共线，24定义1把笛氏坐标系在仿射对应下的象叫仿射坐标系，叫点的仿射坐标，记为对于斜交笛氏坐标系，仿射坐标系，上面的代数式（1），（2）都成立。例1求使点（0，0），（1，1），（1，-1）分别变为点（2，3）,（2，5），（3，-7）的仿射变换。将点解:分别代入仿射变换的代数表示式得:定义1把笛氏坐标系在仿射对应下的象叫仿射坐标系，25∴仿射变换式为:例2求仿射变换的不变直线。解:设所求的不变直线为:ax+by+c=0∴仿射变换式为:例2求仿射变换26第一章仿射几何1解析课件27仿射变换的特例:(3)(4)仿射变换的特例:(3)(4)28当a=1时,(4)式是恒同变换.(1,-2)(1,2)1ABOC当a=1时,(4)式是恒同变换.(1,-2)(1,2)1AB29求使直线x=0,y=0,x+2y-1=0分别变为直线x+y=0,x-y=0,x+2y-1=0的仿射变换.练习:解:设所求的仿射变换为则有:求使直线x=0,y=0,x+2y-1=0分别变为直线x+30由以上(1),(2),(3)联立解得由以上(1),(2),(3)联立解得31作业：15、16作业：15、1632高等几何电子教案高等几何电子教案33§1.1平行射影与仿射对应一.两直线间的平行射影与仿射对应ABCD1.平行射影或透视仿射：若直线且,，≠≠

,点A,B,C,D……,过点A,B,C,D……作直线的平行线交于……，则可得直线到直线的一个映射。称为平行射影或透视仿射，记为T§1.1平行射影与仿射对应一.两直线间的平行射影与仿射对应A34ABCD原象点：A,B,C,D……

直线a上的点平行射影的方向：直线透视仿射与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射O点O为自对应点(同一平面上两相交直线的公共点)映象点：……直线上的点记透视仿射T：………ABCD原象点：A,B,C,D……直线a352.仿射（或仿射变换）：仿射是透视仿射链或平行射影链表示透视仿射链，T表示仿射（如图）………………2.仿射（或仿射变换）：仿射是透视仿射链或平行射影链36仿此，每一个对应点都可以这样表示。注：1.仿射是有限回的平行射影组成的2.判断仿射是否是透视仿射的方法：对应点的联线是否平行3.书写的顺序与平行射影的顺序是相反的二.两平面的平行射影与仿射对应：1.平行射影：如图点A,B,C共线a，则共线gABCal两相交平面的交线为自对应点的集合即对应轴仿此，每一个对应点都可以这样表示。注：1.仿射是有限回的平行37平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的，是透视仿射链性质：1.透视仿射保留同素性.（几何元素保留同一种类而不改变）即点对应点，直线对应为直线.2.保留点与直线的结合性2仿射：平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的，是透视仿射38§1.2仿射不变性与不变量定义1

仿射不变性与不变量：经过一切透视仿射不变的性质和数量仿射图形：经过任何仿射对应不改变的图形.仿射性：经过任何仿射对应不改变的性质.仿射量：经过任何仿射对应不改变的数量.定理1：两直线间的平行性是仿射不变性.（反证法）推论平行四边形是仿射不变的图形.定义2简比：设A,B,C为共线三点，这三点的简比（ABC）定义为以下有向线段的比：当点C在线段AB上时，(ABC)<0§1.2仿射不变性与不变量定义1仿射不变性与不变量：经过39当点C在线段AB或BA的延长线上时，当点C与点A重合时，当点C与点B重合时，当点C为线段AB的中点时，(ABC)=-1则点C称为分点，A,B两点称为基点简比(ABC)等于点C分割线段AB的分割比的相反数例1经过点A(-3,2)和B(6,1)两点直线被直线x+3y-6=0截于P点，求简比（ABP）解:设(ABC)0(ABC)=0(ABC)不存在当点C在线段AB或BA的延长线上时，当点C与点A40定理2共线三点的简比是仿射不变量.定理3两平行线段之比是仿射不变量.∴点P在直线x+3y-6=0上.ABC==要证:定理2共线三点的简比是仿射不变量.定理3两平行线段之比是仿射41ABCDE证明:如图,作DEAC,==∵简比是仿射不变量∴定理4一直线上两线段之比是仿射不变量.定理5在透视仿射下，任何一对对应点到对应轴的距离之比是一个常数ABCDE证明:如图,作DEAC,==∵简比是仿射不42gABC证明:设T为到的一个透视仿射,如图并且则=若ABg,==g,则显然成立.若ABg,=g,=过A,,B,分别引轴g的垂线垂足分别为由相似三角形得:gABC证明:设T为到的一个透视仿射,如图43定理2任意两个三角形面积之比是仿射不变量.证明:分两种情形特殊情形:有两对对应点在对应轴g上并且重合.如图ABCg一般情形:如图定理2任意两个三角形面积之比是仿射不变量.证明:分两种情形特44对应三角形的三对对应顶点都不在对应轴上,△ABC与对应,三对对应边相交于对应轴g上.ABCgXYZ由的证明可得:对应三角形的三对对应顶点都不在对应轴上,△ABC与对应,三对45推论1在仿射变换下，任何一对对应多边形面积之比是仿射不变量推论2在仿射变换下，任何两条封闭凸曲线所围成的面积之比是仿射不变量推论1在仿射变换下，任何一对对应多边形面积之比是仿射不变量推46§1.3平面内的仿射变换及其决定一.平面内的透视仿射设为平面到平面的透视仿射，射影方向为.设为平面到平面的透视仿射，射影方向为.则gAB设T将上的点A变换为其本身上的点T将上的点B变换为其本身上的点a§1.3平面内的仿射变换及其决定一.平面内的透视仿射设47T将上的点变换为上的点,将上的直线a变换为上的直线,即T保留同素性和接合性.T将上的相交直线a,b变换为上的相交直线.T将上的平行直线

变换为上的平行直线.

和的交线g上的每一点经过T不变，且T具有仿射不变性与不变量，称T为平面到自身的透视仿射定理1平面内的透视仿射由一对对应轴与一对对应点完全决定证明:设已知对应轴g与不在其上的一对对应点为平面上任一已知点T将上的点变换为上的点,将48定理2给定平面内的两个三角形，至多利用三回透视仿射可使一个三角形变为另一个三角形BAXg连直线AB,设与对应轴g相交于X,连X与,则AX与是一对对应直线过B引的平行直线,与B对应的点就只能是这直线与的交点.∴是唯一确定的.BAgAB=ggoABC定理2给定平面内的两个三角形，至多利用三回透视仿射可使一个三49证明:把△ABC平移到使顶点A落在上,把平移看作透视仿射的特例.记为ABC∵对应轴不存在,对应边互相平行再以直线为透视轴,以作为一对对应点确定一个透视仿射.最后以为对应轴,以作为一对对应点确定一个透视仿射T为仿射变换证明:把△ABC平移到使顶点A落在50定理3原象点不共线，映象点也不共线的三对对应点决定唯一的仿射变换.若两三角形有一对顶点重合,则利用两回透视仿射就够了.若两三角形有两对顶点重合,则利用一回透视仿射就够了.仿射等价图形:经过仿射变换可以互相转换的图形.任意三角形是仿射等价的.证明:存在性:设是平面内不共线的任意三点.也是不共线的任意三点.存在一个仿射变换T使在平面内任意取一点P,设交于Q.由定理2知.定理3原象点不共线，映象点也不共线的三对对应点决定唯一的仿射51QP唯一性:设存在另一个仿射,在平面内任意取一点P,设于Q为仿射.∴保持接合性且简比不变都在直线上.且有:QP唯一性:设存在另一个仿射,在平面内任意取一52∴对于平面上任意一点P,都有作业:∴对于平面上任意一点P,都有作业:53§1.4仿射变换的代数表示设有一正交笛卡儿坐标系xoy，以E为单位点（如图）。一个仿射变换T将平面上一点P变换为一点，求P的坐标（x,y）和的坐标之间的关系。仿射变换T由三对对应点唯一确定.设的坐标为X轴上的单位点的映象的坐标为y轴上的单位点的映象的坐标为