最全的高中幂-指数-对数-三角函数知识点总结

最全的高中幂-指数-

对数-三角函数知识点-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

一•幂函数一、幂函数定义：形如y二xa(aGR)的函数称为幂函数，其中x是自变量，-是吊数。注意：幂函数与指数函数有何不同？【思考•提示】本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置.观察图：归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下:d■1./L\1■二、幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=xJ=^1定义域RRR[0t+«>)值域R[0,+«>)R[0,+8)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性増xe[0,十8)时，增丄£(—汽0]时，减增增AS(0f+8)时，减电•£(—8,0)时，减定点(0,0),(14)(14)

归纳：幂函数在第一象限的性质：0，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（）上单调递增。

a<0，图像过定点（1,1），在区间（°，+^）上单调递减。m探究：整数m,n的奇偶与幂函数y二Xn（m，ne乙且m，n互质）的定义域以及奇偶性有什么关系？m结果：形如y二Xn（“ne乙且m,n互质）的幂函数的奇偶性（1）当m,n都为奇数时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称；（2）当m为奇数n为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称；（3）当m为偶数n为奇数时，f（x）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.三、幂函数的图像画法：关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；指数等于1,在第一象限为上升的射线；指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；指数等于0,在第一象限为水平的射线；指数小于0,在第一象限为双曲线型；四、规律方法总结：1、幂函数y二xa（a二01的图像：y=y=xa（a2、幂函数乙p,q互质）的图像:ot=0a~1图象JkZ1尸1（辱0）OX01X

0=4a<00<(r<lp、q都卜V是奇数若能化为同指数，则用幂函数的单调性；若能化为同底数，则用指数函数的单调性；若能化为同指数，则用幂函数的单调性；若能化为同底数，则用指数函数的单调性；若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小.二.指数与指数幂的运算•根式的概念：一般地，如果Xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且n丘N*•负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作当n是奇数时，nan=a，当n是偶数时，a\=(a>0)a\=(a<0)2•分数指数幕正数的分数指数幕的意义，规定:man=nam(a>0,m,neN*,n>1)_m11an二二(a>0,m,neN*,n>1)mnaman0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质(1)ar•ar=ar+s(a>0,r,seR)；(2)(ar)s二ars(a>0,r,seR)；(3)(ab)r二aras(a>0,r,seR).(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数y二ax(a>0,且a丰1)叫做指数函数，其中X是自变量，函数的定义域为R•注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质a>10<a<af11///\00定义域R定义域R值域y>0值域y>0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都X—Ur-»-i1—^过^定^点(0,1)函数图象都X—Ur-»-i1—^过^定^点(0,1)注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在田,b］上，f(x)二ax(a>0且a丰1)值域是［f(a),f(b)］或［f(b),f(a)］；(2)若x主0，则f(x)丰1；f(x)取遍所有正数当且仅当XeR；(3)对于指数函数f(x)二ax(a>0且a丰1)，总有f(1)=a；三、对(一)对数1•对数的概念：一般地，如果ax=N(a>0,a丰1),那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x二logN(a一底a数，N—真数，logN—对数式)a说明：1注意底数的限制a>0，且a主1；2ax=NlogN=x；a3注意对数的书写格式.两个重要对数：logNa1常用对数：以10为底的对数lgN；2自然对数：以无理数e二2.71828为底的对数的对数lnN•指数式与对数式的互化幂值真数ab二Nologn=bLa底数指数对数(二)对数的运算性质女口果a>0，且a丰1,M>0,N>0,那么:log(M•N)=logM+logN；aaaMlog=logM-logN；aNaalogMn=nlogM(neR)•aa注意：换底公式logblogb=c（a>0，且a主1；c>0，且c主1；alogacb>0）．利用换底公式推导下面的结论1（】）logbn=—logb；（2）logb=•ammaalogab（二）对数函数1、对数函数的概念：函数y=logx（a>0，且a丰1）叫a做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0,+8）.注意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y=2logX,=lo兰都不是对2y_og55数函数，而只能称其为对数型函数.2对数函数对底数的限制：（a>0，且a丰1）•2、对数函数的性质：四.三角函数知识要点1.①与a（0°<a<360。）终边相同的角的集合（角«与角卩的终边重合）I陆kx360°+a,keZ②I陆kx360°+a,keZ②终边在x轴上的角的集合:Ip=kx180°,keZ③终边在y轴上的角的集合:④终边在坐标轴上的角的集合：SIN\COS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域⑤终边在y=x轴上的角的集合:Ip=kx180°+45°,keZ⑥终边在y=-x轴上的角的集合：Ip=kx180°—45°,keZ1。二丄=0.017451。二丄=0.01745180=丄lr=丄IaI-r2r,则sina=丄；cosa=-；tana=2；rrxxcota=—；r；/seca=—/•cscar.yxy⑦若角a与角卩的终边关于x轴对称，则角a与角卩的关系：a=360°k-p⑧若角a与角卩的终边关于y轴对称，则角a与角卩的关系：a=360°k+180°-p⑨若角a与角卩的终边在一条直线上，则角a与角卩的关系：a=180°k+p⑩角a与角卩的终边互相垂直，则角a与角卩的关系：a=360°k+p±90°2.角度与弧度的互换关系：360°=2兀180。=兀1。=0.017451=57.30。=57。18'注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：lrad二180°=57.30°=57°18兀rad)3、弧长公式：l=laI-r.扇形面积公式：s扇形4、三角函数：设a是一个任意角，在a的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

正弦、余割余弦、正割正切、余切6、三角函数线正弦线：MP;余弦线：OM;正弦、余割余弦、正割正切、余切6、三角函数线AT.正切线：16.几个重要结论::7.三角函数的定义域：正切线：16.几个重要结论::三角函数定义域一f(x)=sinxlx1xer}f(x)=cosxlx1xeR}f(x)=tanx<x1xeR且x丰k兀+丄兀,keZ\K2、Jf(x)=cotxa1xeR且x丰kK,keZ}f(x)=secx<x1xeR且x丰kn+丄兀,keZJU2、Jf(x)=cscxa1xeR且x丰kK,keZ}⑶若o<x<2贝则sinx<x<tanxsina=tanacosacosa=cotasina8、同角三角函数的基本关系式：tana-cota=1csca-sina=1seca-cosa=8、同角三角函数的基本关系式：sin2a+cos2a=1sec2a—tan2a=1csc2a一cot2a=19、诱导公式：把也土a的三角函数化为a的三角函数，概括为:2“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组一公式组二公式组三sinxsinx•cscx=1tanx=s2in(2k2K+x)=sinxsin(—x)=—sinxsin2x+cos2x=1cosxcos(2kK+x)=cosxcos(—x)=cosxcosx•secx=1LOlx=cosx1+an(2ksieb2x)—tanxtan(—x)=—tanxsinxcot(2kK+x)=cotxcot(—x)=—cotx公式组四1公式组五沐g公式组六

sin（冗+x）=-sinxcos（冗+x）=-cosxtan（冗+x）=tanxcot（冗+sin（冗+x）=-sinxcos（冗+x）=-cosxtan（冗+x）=tanxcot（冗+x）=cotxsin（2冗一x）=-sinxcos（2冗-x）=cosxtan（2冗-x）=-tanxcot（2冗-x）=-cotxsin（冗-x）=sinxcos（冗-x）=-cosxtan（冗-x）=-tanxcot（冗-x）=-cotx二）角与角之间的互换公式组一公式组二cos（a+P）=cosacosP-sinasinPsin2a=2sinacosacos（a-P）=cosacosP+sinasinPcos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asin（a+P）=sinacosP+cosasinP2tanatan2a=—1-tan2asin（a-p）=sinacosp-cosasinp.a,，1-cosasin=±t.-22tan（a+p）=tana+tanP1-tanatanP1+cosacos=±2tan（a-p）=tana-tanp1+tanatanP公式组三2tana2sina=—1+tan2a2公式组四sinacospcosasinpcosacosp1-tan2—2cosa=—1+tan2a2sinasinpsina1+cosa=—LinCa+P）+sinCa-PiF=—LinCa+P）-sinCa-P）]2=—Icos^a+P）+cosCa-PM2-1LosG+P）-cosG-PMa-P2

a-P2

a-Pa,tan=±i，2J一cosa

.1+cosa1一cosa

sinacos（—兀-a）=sina2sin（—■兀-a）=cosatan（—■兀-a）=cotacos（—■兀+a）=-sinatan（—兀+a）=-cotasin（2兀+a）=cosa=2P+Psina+sinP=2sincos2+P•sina-sinP=2cossin2+Pcosa+cosP=2coscos22+P.a-Pcosa一cosP=-2sinsin—__22

sin15。=cos75。="6一'2，sin75。=cos15。=+"2，tan15°=cot75°=2一、3，伽75°=cot】5°=2+442tana2tana=—a1一tan2—210.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：/y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=AsinOox+*）（A、®>0）定义域RR<x1xgR且x丰k兀+1兀,kgZ>（xIxgR且x丰kK,kgZ}R「"I值域[-1,+1][-1,+1]1R2丿R1-A,AJ

周期性2n2nnn2nro奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当屮北0,非奇非偶当—0,奇函数单调性n[—+2kn,2n—+2kn]2上为增函数；[n+2kn,23n“—+2kn]2上为减函数(keZ)[（2k-1丄,2kn]；上为增函数[2kn,（2k+1L]上为减函数（keZ）f-n+kn,n+kn]I22丿上为增函数(keZ)(kn,(k+1)i)上为减函数(keZ)“n]2kn-—-甲2(A)(A),ro“12kn+_n—甲2(A)（一A）ro」上为增函数；“n]2kn+——少2心(A),ro“32kn+—n-rn2(A)（―A）ro」上为减函数（keZ）注意：①y=一sinx与y=sinx的单调性正好相反；y=-cosx与y=cosx的单调性也同样相反•一般地，若y=f（x）在[a,b]上递增（减）增）.y」sinJ与y=Cos』的周期是「y=sin@x+*)或y=cosgx+屮)(®工0)的周期T如图，翻折无效）.④y=sin@x+*）的对称轴方程是x=k兀+色（keZ），对称中心（kn,0）2y=cos（fflx+屮）的对称轴方程是x=kn（keZ），对称中心（k冗+1冗。）2，y=tan（①x+申）的对称中心（竺,0）.2y=cos2x―原点对称=—cos（-2x）=一cos2x⑤当tana•tanp=1,a+卩=kn+—(keZ)；tana•tanp=-1,a-卩=kn+—(keZ)-22⑥y=⑥y=cosx与y=是同一函数，而y=@x+屮）是偶函数，则=sinx+—+2knI2丿y=(①x+q)=sin(①x+kn+2n)=+cos(wx).⑦函数y=tanx在r上为增函数.（x）［只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，y=tanx为增函数，同样也是错误的］.定义域关于原点对称是f（x）具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f（-x）=f（x），奇函数：f（-x）=-f（x））奇偶性的单调性：奇同偶反•例如：y=tanx是奇函数，y=tan（x+1兀）是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若0ex的定义域，则f（x）—定有f（o）=o.（0电x的定义域，则无此性质）y=sinlx不是周期函数；y=Sinx|为周期函数（TR）；▲▲y=coslxl是周期函数（如图）；y=|cosx|为周期函数（TFU二^y-Cos2x+丄的周期为兀（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如a象〃卜2y=f（x）=5=f（x+k）,keR•y=acosa+bsinB=Ya2+b2sin（a+*）+cos*=—有2+b2>|y|•a11、三角函数图象的作法：1）、几何法：2）、描点法及其特例一一五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.3）、利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．

函数y二Asin（wx+申）的振幅|A|,周期T=互，频率丄=叵I，相位-IoI~T~2兀®x+p；初相申（即当x=0时的相位）•（当A>0,3>0时以上公式可去绝对值符号）由y二sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当IAI>1）或缩短（当0<IAI<1）到原来的IAI倍，得到y二Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换•（用y/A替换y）由y二sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0<心1<1）或缩短（3缩短（31>1）到原来的|丄|倍,o得到y=sinwx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.（用x轴的伸缩变换.（用3X替换x）由y二sinx的图象上所有的点向左（当申>0）或向右（当申<0）平行移动丨申丨个单位，得到y=sin（x+9）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.（用x+9替换x）由y二sinx的图象上所有的点向上（当b>0）或向下（当b<0）平行移动Ib|个单位，得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移•（用y+（-b）替换y）由y二sinx的图象利用图象变换作函数y二Asin（wx+^）（A>0,w>0）（x£R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别4、反三角函函数y二sinx函数y二sinx,疋唧的反函数叫做反正弦函数，记作y2，2丿二arcsinx,它的定义域是[-域是[-1,1],值域是「尘企2‘2函数y=cosx,（x£［0,n］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y二arccosx，它的定义域是［-1函数y=cosx,（x£［0,n］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y二arccosx，它的定义域是［-1,1］,值域是［0,兀］.函数y二tanx,工沙的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，它的xn-2』定义域是（-8,+8），值域是z疋常.〔一2，2丿函数y=ctgx,［x£（0,n）］的反函数叫做反余切函数，记作y二arcctgx，它的定义域是（-8,+8），值域是（0,n）.n・竞赛知识要点―、反三角函数.1.反二角函数：⑴反正弦函数y=arcsinx是奇函数，故arcsin（-x）=-arcsinx,Xe［-1,1］（—定要注明定义域，若xw（-g,+J，没有x与y――对应，故y二sinx无反函数）注：sin(arcsinx)=x,xGI—1,1],arcsinxg冗冗2’2⑵反余弦函数y=arccosx非奇非偶，但有arccos(-x)+arccos(x)=冗+2kn,xG1-1,11注：®cos(arccosx)=x,xg1-1,1],arccosxgB,兀.②y=cosx是偶函数，y=arccosx非奇非偶，而y=sinx和=arcsin为奇函数.⑶反正切函数：y=arctanx,定义域(-8,+8)，值域(-—，殳),y=arctanx是丿22奇函数,arctan(-x)=-arctanx,xG(-»,+»)-注：tan(arctanx)=x,xG(-g,)-y=arccotx是⑷反余切函数：y=—tx，定义域（一十），值域y=arccotx是非奇非偶.

xW(一,+^o)•arccot(-x)+arccot(x)=兀+2k兀,xG(xW(一,+^o)•注：①cot(arccotx)=x,②y=arcsinx与y=arcsin(1-x)互为奇函