北京市朝阳区届高三上学期期末考试模拟试题word版 优秀奖 省赛获奖

北京市朝阳区2022届高三上学期期末考试试题数学（理）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知平面向量，，且⊥，则实数的值为（）A．B．C．D．2.设集合，，若，则实数的值为()A．B．C．D．3.设数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和等于（）A． B． C． D．4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．5.已知函数，设，，，则的大小关系是（）A.B.C.D.6.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．AADABANAMAOACA7.已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥．若为边的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且AADABANAMAOACAA．B．C．D．8.已知集合,.若存在实数使得成立,称点为“￡”点，则“￡”点在平面区域内的个数是()A.0B.1C.2D.无数个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.时速（km/h）001002003004组距4050607080频率O时速（km/h）001002003004组距4050607080频率O主视图俯视图3222主视图俯视图32222侧视图11.在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积是9,则实数的值为.12.设直线与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数的值是.13.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润（万元）与机器运转时间（年数，）的关系为.则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是万元.14.已知两个正数,可按规则扩充为一个新数,在三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；（2）若，经过6次操作后扩充所得的数为（为正整数），则的值分别为______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本题满分13分）在锐角中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且，，求的值．16.（本题满分13分）553232A如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为（553232A（Ⅰ）求某个家庭得分为的概率？（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为，求的分布列及数学期望．17.（本题满分13分）如图，在四棱锥中，平面平面．底面为矩形，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小.18.（本题满分13分）已知函数（，为正实数）.（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数的最小值为，求的取值范围.19.（本题满分14分）已知椭圆的离心率为，直线过点，，且与椭圆相切于点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得?若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.20.（本题满分14分）数列，（）由下列条件确定：①；②当时，与满足：当时，,；当时，，.（Ⅰ）若，，写出，并求数列的通项公式；（Ⅱ）在数列中，若(,且)，试用表示；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列满足，，(其中为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有.参考答案一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案CBADBCBA二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以，………………2分因为，所以.…………………3分又为锐角，则.……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．因为，根据余弦定理，得，………7分整理，得．由已知，则．又，可得，．………9分于是，…………11分所以．……………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A：某个家庭得分情况为．．所以某个家庭得分情况为的概率为．………………4分（Ⅱ）记事件B：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括共3类情况．所以．所以某个家庭获奖的概率为．…………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是，所以．，，，，，.…………………11分所以分布列为：012345所以．所以的数学期望为．………………13分（17）（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为平面平面，，且面面，所以平面.又因为平面所以．……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.在中，，，所以，所以平面.即，,所以为二面角的平面角．在中，，所以二面角的大小．……13分法二：取的中点,的中点．在中，，为的中点，所以，．又因为平面平面，且平面平面所以，平面．显然，有．………………1分如图，以P为坐标原点，PA为x轴，PE为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，．………………3分（Ⅰ）易知因为，所以．……………6分（Ⅱ）设为平面的一个法向量，则有，即，所以．………………7分显然，平面，所以为平面的一个法向量，所以为平面的一个法向量．………9分所以，所以二面角的大小为．…………13分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当时，，则.…………………2分所以.又，因此所求的切线方程为.…………4分（Ⅱ）.…………5分（1）当，即时，因为，所以，所以函数在上单调递增.…………………6分（2）当，即时，令，则（），所以.因此，当时，，当时，.所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为.…………………10分（Ⅲ）当时，函数在上单调递增，则的最小值为，满足题意.…………………11分当时，由（Ⅱ）知函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为，则的最小值为，而，不合题意.所以的取值范围是.…………………13分（19）（本小题满分14分）解:（Ⅰ）由题得过两点，直线的方程为.…………1分因为，所以，.设椭圆方程为,由消去得，.又因为直线与椭圆相切,所以,解得.所以椭圆方程为.………………5分（Ⅱ）易知直线的斜率存在,设直线的方程为，……6分由消去，整理得.…………7分由题意知，解得.………………8分设，，则，.……9分又直线与椭圆相切，由解得，所以.……………10分则.所以.又所以，解得.经检验成立.……13分所以直线的方程为.……14分（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为，所以,.因为,所以,.因为,所以,.所以.……2分由此猜想，当时,，则，.…3分下面用数学归纳法证明：①当时，已证成立.②假设当（，且）猜想成立，即，，.当时，由，得，则，.综上所述，猜想成立.所以.故.………………6分（Ⅱ）解：当时，假设，根据已知条件则有，与矛盾，因此不成立，……………7分所以有，从而有