北京市朝阳区2022-2023学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷

北京市朝阳区2022-2022学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则等于 （） A． B． C． D．2.已知平面向量，，且⊥，则实数的值为 （）A．B．C．D．3.函数的图象大致是（）4.设数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和等于（）A． B． C． D．5.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．6.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知函数，设，，，则的大小关系是（）A.B.C.D.8.已知集合,.若存在实数使得成立,称点为“￡”点，则“￡”点在平面区域内的个数是()A.0B.1C.2D.无数个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.若变量，满足约束条件则的最大值为.10.已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间上的汽车大约有辆.时速（km时速（km/h）001002003004组距4050607080频率O11.主视图俯视图322主视图俯视图32222侧视图12.设直线与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数的值是.13.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润（万元）与机器运转时间（年数，）的关系为.则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是万元.14.已知两个正数,可按规则扩充为一个新数,在三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；（2）若，经过6次操作后扩充所得的数为（为正整数），则的值分别为______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本题满分13分）在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．16.（本题满分14分）如图，在四棱锥中，平面平面．四边形为正方形，且为的中点，为的中点．MSDBCAPQMSDBCAPQ·（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）若，为中点，在棱上是否存在点，使得平面⊥平面，并证明你的结论.17.（本题满分13分）553232A如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，得分记为（假设儿童和成人553232A（Ⅰ）请列出一个家庭得分的所有情况；（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的总得分为参与游戏的两人所得分数之和，且总得分为偶数的家庭可以获得一份奖品．请问一个家庭获奖的概率为多少？18.（本题满分13分）设函数.（Ⅰ）当时,试求函数在区间上的最大值;（Ⅱ）当时,试求函数的单调区间.19.（本题满分13分）已知椭圆的离心率为，且过点，为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于、两点（点在两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程.20.（本题满分14分）数列，（）由下列条件确定：①；②当时，与满足：当时，,；当时，，.（Ⅰ）若，，求，，，并猜想数列的通项公式（不需要证明）；（Ⅱ）在数列中，若(,且)，试用表示，；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列满足，，(其中为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有.北京市朝阳区2022-2022学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（文史类）答案一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DBBADCBA二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案注：若有两空，则第一个空3分，第二个空2分.三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得：.………3分因为，所以.………………5分又为锐角，则.…………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．因为，，根据余弦定理，得，……8分整理，得．由于，得．……………10分于是，………………11分所以．……………13分（16）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为四边形为正方形，则.…1分又平面平面，且面面，所以平面.………3分MSDBCAPQ·RMSDBCAPQ·R(N)O由题意知：PD∥BC且PD=BC．…4分在中，为的中点，R为SC的中点，所以QR∥BC且QR=BC．所以QR∥PD且QR=PD，则四边形为平行四边形.…………………7分所以PQ∥DR.又PQ平面SCD，DR平面SCD，所以PQ∥平面SCD．……………10分（Ⅲ）存在点为中点，使得平面平面．………………11分连接交于点，连接、，因为，并且，所以四边形为平行四边形，所以.又因为为中点，所以．………………………12分因为平面平面，平面平面=，并且，所以平面，所以平面，……………………13分又因为平面，所以平面平面．……………………14分（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，一个家庭的得分情况共有9种，分别为，．…………7分（Ⅱ）记事件A：一个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分情况包括，共5种，……………11分所以．所以一个家庭获奖的概率为．…………………13分（18）（本小题满分13分）解:（Ⅰ）函数的定义域为.………………1分当时,，因为，…3分所以函数在区间上单调递增，则当时,函数取得最大值.…………………5分（Ⅱ）.………6分当时,因为，所以函数在区间上单调递减；…7分当时，=1\*GB2⑴当时，即时，，所以函数在区间上单调递增；…………9分=2\*GB2⑵当时，即时，由解得，，或.…………10分由解得；………………11分所以当时，函数在区间上单调递增；在上单调递减，单调递增.………13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以，.…………………1分设椭圆方程为，又点在椭圆上,所以，解得，…………3分所以椭圆方程为.…………4分（Ⅱ）易知直线的斜率存在,设的方程为，……………5分由消去整理，得，………………6分由题意知，解得.……………………7分设，，则，=1\*GB3①，.…=2\*GB3②.因为与的面积相等，所以，所以.=3\*GB3③……10分由=1\*GB3①=3\*GB3③消去得.=4\*GB3④将代入=2\*GB3②得.=5\*GB3⑤将=4\*GB3④代入=5\*GB3⑤，整理化简得，解得，经检验成立.…………12分所以直线的方程为.…………13分（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为，所以,.……1分因为,则,.………………2分.……………………3分猜想当时，.则…………4分（Ⅱ）解：当时，假设，根据已知条件则有，与矛盾，因此不成立，……5分所以有，从而有，所以.……6分当时，，,所以;