信号与噪声课件

第二章信号与噪声2.1信号的频谱分析2.2卷积和相关2.3随机过程及统计平均特性2.4随机过程的频谱特性2.5随机过程通过线性系统2.6噪声及其通过乘法器响应2022/11/19第二章信号与噪声2.1信号的频谱分析2022/11/1

2.1.1傅立叶级数对任何一周期函数，只要满足狄里赫利条件，都可以写成

2.1信号的频谱分析2022/11/192.1.1傅立叶级数2.1信号的频谱分析2022/还可以表示成：利用欧拉公式，式2.1－2还可以写成复数形式2022/11/19还可以表示成：利用欧拉公式，式2.1－2还可以写成复数形式2.1.2傅立叶变换非周期信号可以看作周期信号的周期T→∞

的一种极限，令，对2.1-7取极限得通常把叫作的频谱密度，简称频谱。信号可以用时间函数来表示，也可以用它的频谱来表示。2022/11/192.1.2傅立叶变换非周期信号可以看作周期信号的周期T2.1.3功率谱密度和能量谱密度#功率信号:

周期信号在–∞到+∞到的全部时间内周而复始，无始无终，它有无限的能量，但是它的平均功率为有限值。把单位电阻上所消耗的平均功率定义为周期信号的平均功率，简称功率周期信号的瞬时功率为，在周期T内的平均功率：帕什瓦尔功率2022/11/192.1.3功率谱密度和能量谱密度#功率信号:周期帕什瓦尔功率表明：一个周期信号的归一化平均功率等于信号所有谐波分量幅度的平方之和凡具有相同的幅度谱的信号，不论相位谱如何，都具有相同的功率。从信号的功率角度只能获得关于信号的幅度信息，而得不到任何的相位信息2022/11/19帕什瓦尔功率表明：2022/11/11#能量信号：若信号幅度有界、持续时间有限(非周期信号)，信号能量为有限值，全部时间的平均功率为0。把能量信号f(t)的归一化能量(简称能量)定义为：由电压f(t)加于单位电阻(或电流f(t)通过单位电阻)所耗散的能量：瑞利能量定理(帕什瓦尔定理)这就是瑞利能量定理（也叫帕什瓦尔定理），与周期信号的帕什瓦尔功率定理相似，只能知道信号的幅度谱，而相位信息丢失。2022/11/19#能量信号：若信号幅度有界、持续时间有限(非周期信号)，即信号的能量等于曲线下的总面积，是能量密度的总测度(单位为J/Hz)，代表信号能量沿频率轴的连续分布情况。定义：

为非周期信号

的能量密度谱（或能量谱密度），则能量：实波形

的偶函数，所以：2022/11/19即信号的能量等于曲线下的总面积，设f(t)为时间无限信号，fT(t)代表f(t)在区间上的截短函数只要T为有限值，fT(t)就具有有限的能量，若根据瑞利定理有由平均功率定义(从功率定义出发)由平均功率定义，根据截短函数持续时间取极限T→∞求出非周期信号平均功率，最后确定非周期信号功率密度谱2022/11/19设f(t)为时间无限信号，fT(t)代表f(t)在非周期信号的功率密度谱设，将定义为功率密度谱（或功率谱密度）单位W/Hz，所以信号平均功率为：代表了功率的频率分布实信号所以为偶函数，则信号功率谱只与幅度有关，和相位无关可以有无限多的信号具有相同的功率谱对于一个给定的信号只有一个功率谱2022/11/19非周期信号的功率密度谱设2.1.4周期信号的功率谱密度若功率信号是周期的，则由帕什瓦尔平均功率定理代表n次谐波分量的平均功率，根据函数的抽样性质可得：与比较，所以

可得周期信号功率密度谱：2022/11/192.1.4周期信号的功率谱密度若功率信号是周期的，则由帕什周期信号的功率谱是由一些位于处的冲击组成的离散谱，冲击强度为注意能量谱是连续谱(能量信号为非周期)只与幅度特性有关，而与相位无关不同的信号可以具有同样的功率谱而对于一个给定的信号，只有唯一的功率谱周期信号的功率谱2022/11/19周期信号的功率谱是由一些位于处的冲击组成的离散2.2卷积和相关2.1.1卷积定义：定义积分为性质：1、符合下列代数定律：2022/11/192.2卷积和相关2.1.1卷积性质：2022/11/12、包含冲击函数的卷积3、卷积定理：2022/11/192、包含冲击函数的卷积3、卷积定理：2022/11/112.2.2相关信号波形之间相似性或关联性的一种测度定义：下列积分式2.2-12称为自相关积分式2.2-12称为互相关积分2022/11/192.2.2相关信号波形之间相似性或关联性的一种测度式2.设是两个周期函数，且基本周期相同，为T，则相关与卷积的关系：即：周期信号的相关函数是在一个周期内取互相关函数的时间平均设信号为实信号可见：卷积表明的是一个函数和另一个折叠函数的相关程度周期函数相关2022/11/19设是两个周期函数，且基本周期相互相关表达式中的信号向左移动，可等效成向右移动，即同理：即：相关一般是不可交换的（而卷积可以），即：可见：2022/11/19互相关表达式中的信号向左移动，可等效成1、时域相关证明：所以同理可证式2022/11/191、时域相关证明：所以同理可证式2022/11/11由周期函数的相关函数定义有同样,能量信号的互相关函数与互能量密度谱互为傅立叶变换

是信号的能量谱密度，因此能量信号的自相关函

数与信号的能量谱互为傅立叶变换.功率信号：将功率信号视为T趋向无穷的截短周期信号fT(t)2022/11/19由周期函数的相关函数定义有同样,能量信号的互相关函数因此：功率信号的自相关函数与功率谱互为傅立叶变换（功率信号的功率谱）*截短周期信号fT(t)的相关函数：##即：2022/11/19因此：功率信号的自相关函数与功率谱互为傅立叶变换（功率信号的2、频域相关即：频域相关对应于时域乘积。2022/11/192、频域相关即：频域相关对应于时域乘积。2022/11/113、自相关函数的性质复对称对于能量信号，自相关函数值R(0)等于信号的能量，即对于功率信号，自相关函数值R(0)等于信号的平均功率，即2022/11/193、自相关函数的性质复对称2022/11/11对于所有的有

时，波形重叠，此时相关性最好，故R(0)最大由周期信号的自相关函数可知：它是一个具有同样周期的周期函数，利用这一性质可检测加性噪声中的周期信号。2022/11/19对于所有的有它是一个具有同样周期的周期函数，利用22.3随机过程及其统计特性通信系统接收端收到的信号是发送端发送的随机信号（即对于接收端而言，不是一个确知信号）和信道随机噪声之和。因而用随机过程理论来进行分析随机过程举例：n部性能相同的接收机，在同样条件下输出的噪声波形xi(t)，可见每个接收机输出是随机的，对应的函数为随机函数xi(t)n→无穷，无穷多个随机函数的总体叫做一个随机函数的总集，又称为随机过程X(t)，随机过程中的每一个函数称为一个实现或样本函数样本函数的总体X(t)x1(t11)x2(t1)xn(t1)ttt样本空间x1x2xnX

(t)t2……t12022/11/192.3随机过程及其统计特性通信系统接收端收到的信号是发送在某一特定时刻t1

，对应各台接收机的输出噪声是不同的，即接收机的输出噪声是一个随机量。同理，在另一个时刻t2

，接收机的噪声是另一个随机量。可见：时间不同，随机量也不相同，即随机变量是时间的函数结论：随机过程的含义有两点：首先，它是一个时间的函数；其次，它在每个时刻上的函数值是随机的。

即每个时刻上的函数值按照一定的概率分布。如果时间是离散的，则这种随机过程叫做随机序列。随机过程的特点:随机过程X(t)在任一时刻都是随机变量；随机过程X(t)是大量样本函数的集合。2022/11/19在某一特定时刻t1，对应各台接收机的输出噪声是不同的，即2.3.2分布函数和概率密度设X(t)

表示一个随机过程，在任意给定的时刻

t1

∈T的取值X(t1)是随机变量，X(t1)小于或等于某一数值

x1的概率

F1(x

1，t1)＝P[X(t1)

≤x1]2.3-1，称为随机过程X(t)的一维分布函数。如果一维分布函数对x1

的偏导数存在，则叫做随机过程X(t)的一维概率密度函数。随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数：仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻上的统计特性；而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系；为此引入二维分布函数和概率密度。2022/11/192.3.2分布函数和概率密度设X(t)表示一个随机过程随机过程在任意两个时刻t1

,

t

2

∈T的取值分别为随机变量X(t1)和X(t2)，则构成一个二元随机变量[X(t1),X(t2)]，称

为随机过程

X(t)

的二维分布函数。叫作

X(t)的二维概率密度函数n维分布函数：

Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=P[X(t1)≤x1,X(t2)≤x2,…,X(tn)≤xn]n维概率密度函数如果二维分布函数对x1和x2的混合二阶偏导数存在，则2022/11/19随机过程在任意两个时刻t1,t2∈T的取值分别为随对于任何N个随机变量X(t1)、X(t2)…X(tN)，如果等式

成立，则称这些变量是统计独立的，否则是不独立的或相关.可见，可把随机过程X(t)当作一个多元随机变量[X(t1)、X(t2)…X(tN)]来看待，并可用这个多元随机变量的分布函数FN和概率密度函数pN描述随机过程X(t)

的统计特性.2022/11/19对于任何N个随机变量X(t1)、X(t2)…X(tN)，2.3.3平稳随机过程统计特性不随时间的推移而变化的随机过程称为平稳随机过程。设随机过程X(t),若对于任意n和任意选定t1＜t2＜…＜tn,tk∈T，k=1,2,…,n，以及τ为任意值,且x1,x2,…,xn∈R，其n维概率密度函数满足:

pn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)(这里n相当于随机变量的维数N)=pn(x1,x2,…,xn;t1+τ,t2+τ,…,tn+τ)2.3-8

则称X(t)是平稳随机过程。平稳随机过程的定义说明：当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的。若2.3－8式对某个n值是成立的，则此随机过程是n阶平稳随机过程，显然对n阶平稳，小于n阶也平稳。2022/11/192.3.3平稳随机过程统计特性不随时间的推移而变化的随机对于所有阶都是平稳的随机过程X(t)，则称为严平稳随机过程，或狭义平稳随机过程；若随机过程的数学期望和方差与时间无关，而自相关函数只与时间差有关，这样的随机过程称为广义的平稳随机过程；严平稳随机过程必是广义平稳随机过程；非严平稳随机过程，又非广义平稳随机过程，叫做非平稳随机过程。2022/11/19对于所有阶都是平稳的随机过程X(t)，则称为严平稳随机过程在通信系统中，所遇到的随机信号和噪声大多是平稳随机过程，且是广义平稳随机过程.平稳性（反映在观测记录－即样本曲线上）的特点：随机过程的所有样本曲线都在某一水平直线周围随机波动.推论：平稳随机过程的一维分布与时间t无关，二维分布只与时间间隔τ有关。从而有：2022/11/19在通信系统中，所遇到的随机信号和噪声大多是平稳随机过程，且是2.3.4随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性。但是，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。求取随机过程的数字特征的方法有两种：时间平均和统计平均统计平均:是对随机过程X(t）某一时刻不同实现（或样本函数）的可能取值，用统计方法得出的种种平均值，用符号E[.]表示。（随机过程模型的纵向研究）时间平均：是对随机过程X(t）某一特定实现（或样本函数）的可能取值，用数字分析方法，对时间求平均得出的种种平均值，用符号A[.]表示。（随机过程模型的横向研究）2022/11/192.3.4随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能－、统计平均1、均值（数学期望或统计平均）随机过程在任意时刻的取值所组成随机变量X(t)的均值为：即：均值代表随机过程的摆动中心p(x)---是平稳随机过程的一维概率密度函数2、均方值即随机变量X(t)的二阶原点矩2022/11/19－、统计平均1、均值（数学期望或统计平均）即：均值代表随机过3、方差即随机变量X(t)的二阶中心矩可见:方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程X(t)在时刻t对于均值mX的偏离程度。均值和方差描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征。2022/11/193、方差可见:2022/11/114、相关函数设X(t1)和X(t2)为随机过程X(t)在任取的两个时刻t1与t2时的状态，相应的二维概率密度p(x1,x2;t1t2)=p(x1,x2；τ)则称二阶原点混合矩，而

为随机过程X(t)的自相关函数RX(τ)

是同一过程的两个不同观测时刻取值的相关程度以上四个统计特征值中，只有自相关函数RX(τ)

取决于两个时刻的间隔τ=t1-t2,其余均为与时间无关的常数2022/11/194、相关函数设X(t1)和X(t2)为随机过程X(t)自相关函数主要性质：RX(0)=E[X2(t)]--数值关系RX(τ)=RX(-τ)--奇偶性|RX(τ)|≤RX(0)--有界性X(t)的自相关函数2022/11/19自相关函数主要性质：RX(0)=E[X2(t)]互相关函数:对两个各自平稳且联合平稳的随机过程X(t)和Y(t)，其互相关函数表示为，RXY(τ)＝RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]＝E[X(t)Y(t+τ)]若RXY(τ)＝0，则X，Y是不相关的（正交的随机过程）相关的两个随机过程一定是不独立的不相关的两个随机过程不一定是独立的而独立的两个随机过程一定是不相关的RXY(τ)≤(1/2)[RX(0)+RY(0)]-----有界性|RXY(τ)|≤-----有界性RXY(τ)=RXY(-τ)-----奇偶性互相关函数主要性质：2022/11/19互相关函数:相关的两个随机过程一定是不独立的RXY(τ)

CX(τ)也是刻画随机过程两个不同状态之间的线性依从关系的数字特征

随机过程X(t)和Y(t)的二阶中心混合矩CXY(τ)=E[(X(t)-mX)(Y(t+τ)-mY)]=RXY(τ)-mXmY为随机过程X(t)的互协方差函数.若CXY(τ)＝0，则X，Y是不相关的，此时互相关函数为常数，即RXY(τ)=E[X(t)Y(t)]＝mXmY＝E[X(t)]E[Y(t)]＝常数5、协方差函数X(t)和X(t+τ)的二阶中心混合矩

CX(τ)=E[(X(t)-mX)(X(t+τ)-mX)]=RX(τ)-mX2为随机过程X(t)的自协方差函数，简称协方差函数2022/11/19CX(τ)也是刻画随机过程两个不同状态之间的线性依从关系二、时间平均一个量的时间平均定义为：一个平稳随机过程，每个样本函数都是在全部时间内存在的功率信号，各个实现的时间平均值彼此相同。1、平均值（或直流分量）设x(t)是随机过程X(t)的一个典型的样本函数，则样本函数的时间平均为：注意角标为小写2022/11/19二、时间平均一个量的时间平均定义为：一个平稳随机过程，每个样2、均方值（或总平均功率）3、方差（或交流功率）4、自相关函数

样本函数x(t)的时间自相关函数定义为2022/11/192、均方值（或总平均功率）3、方差（或交流功率）4、自相关函自相关函数性质：1、2、3、4、2022/11/19自相关函数性质：1、2022/11/1例设随机过程式中A和0为常数，θ为随机变量，且在[0,2π]内均匀分布，即：试证明X(t)是否广义平稳随机过程。2022/11/19例设随机过程式中A和0为常数，θ为随机变量，且在[解：X(t)的数学期望（均值）为与时间无关若随机过程的数学期望和方差与时间无关，而自相关函数只与时间差有关，这样的随机过程称为广义的平稳随机过程2022/11/19解：X(t)的数学期望（均值）为与时间无关若随机过程的数学期X(t)的自相关函数为：只与时间差有关因为：X(t)的数学期望（均值）与时间无关；

X(t)的自相关函数只与时间差有关；所以：X(t)是广义平稳随机过程。

2022/11/19X(t)的自相关函数为：只与时间差有关因为：X(t)的数学期2.3.5平稳随机过程的遍历性（各态历经性）随机过程X(t)的统计平均和时间平均相等，即统计方差可以用时间方差来代替，即统计自相关函数可用时间自相关函数来代替，即则称该平稳随机过程具有遍历性。具有遍历性的随机过程叫遍历过程。2022/11/192.3.5平稳随机过程的遍历性（各态历经性）随机过程X“各态历经”（遍历性）的含义：随机过程中的每个实现（样本函数）都同样经历了随机过程的各种可能状态。因此，任何一个实现（样本函数）都能代替整个随机过程。所以，可用一个实现（样本函数）的统计特性来了解、分析和掌握整个过程的统计特性。由统计平均变成时间平均可给实际测量和计算带来许多方便在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足遍历条件，因此本书所涉及的随机过程都是遍历性的，时间平均和统计平均相等。2022/11/19“各态历经”（遍历性）的含义：2022/11/112.4随机过程的频谱特性

随机过程的每一个样本函数都是在整个时间域内存在的，因此，随机信号和噪声都属于功率信号，而功率谱是描述它们的频谱特征的基本量。2.4.1

功率谱可用求确知功率信号功率谱的方法，求平稳随机过程X(t)的功率谱设XT(t)是随机过程X(t)在上的短截过程，即：若2022/11/192.4随机过程的频谱特性随机过程的每一个样本函数都由瑞利（帕什瓦尔）定理可得短截过程XT(t)的能量XT(t)是随机的，因此也是个随机变量，而随机变量在内的平均值（即均值）就是随机过程在此区间上

的平均功率：XT(t)在时间T内的平均功率内角标与没有角标等价2022/11/19由瑞利（帕什瓦尔）定理可得短截过程XT(t)的能量XT(t)取极限得随即过程X(t)的总平均功率：即平稳过程的时间平均就是：为功率谱密度2022/11/19取极限得随即过程X(t)的总平均功率：即平稳过程有积分限，可去掉角标T*X(t)的总平均功率说明随机变量PT(T)的均值就是随机过程X(t)在此区间上的平均功率：2022/11/19有积分限，可去掉角标T*X(t)的总平均功率说明随机变量PT功率谱密度结论1.平稳随机过程的平均功率等于均方值也等于τ=0时的自相关函数RX(0)；2.功率可通过对功率谱SX(w)的积分求得。以上分析表明：

即使随机过程X(t)的傅氏变换不存在，而他的功率谱仍然可能存在。这样，就可能用功率谱的概念描述随机过程平均功率的频谱特性。这种方法叫做广义频谱分析法。2022/11/19功率谱密度结论1.平稳随机过程的平均功率等于均方值2022/功率谱为实偶函数，其性质如下:1、非负性2、对称性3、4、微分特性2022/11/19功率谱为实偶函数，其性质如下:2

3.4.2功率谱与自相关函数关系对确知的功率信号的功率谱与其自相关函数是一对傅里叶变换关系对平稳随机过程的自相关函数RX(τ)和功率谱SX(ω)也是一对傅里叶变换关系，即：此关系称为维纳-辛钦定理，τ=0时表示随机过程的总功率P。2022/11/19

3.4.2功率谱与自相关函数关系对确知的功率信号的功率例：平稳随机过程的自相关函数为则该平稳随机过程的功率谱：2022/11/19例：平稳随机过程的自相关函数为则该平稳随机过程的功率谱：202.5随机过程通过线性系统线性时不变系统H(ω)X(t)SX(w)Y(t)SY(w)确定输出过程Y(t)的数学期望mY、自相关函数RY(τ)及功率谱密度SY(f)，讨论输出过程的概率分布问题。1.数学期望输出过程Y(t)输出过程均值设线性系统冲激响应为h(t)，输入是随机函数,用X(t)表示,是广义平稳随机过程，Y(t)是输出的随机过程。2022/11/192.5随机过程通过线性系统线性时不变X(t)SX(w)Y(2.相关函数

由相关函数的定义有根据平稳性2022/11/192.相关函数由相关函数的定可见,Y(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。2022/11/19可见,Y(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t无3.平均功率（均方值）

4.功率谱随机过程的自相关函数与其功率谱密度是傅氏变换对2022/11/193.平均功率（均方值）4.功率谱2022/11/1输出功率谱是输入功率谱和的乘积同理：由输入输出互相关函数还可求出输入和输出过程的互功率谱

4.功率谱2022/11/19输出功率谱是输入功率谱和的乘积2.6噪声及其通过乘法器的响应通常把周期性的、有规则的有害信号叫做干扰；把其他有害的随机干扰叫做噪声；噪声的大小最终决定系统的性能；若根据噪声的来源进行分类，一般可以分为：(1)人为噪声人为噪声是指人类活动所产生的对通信造成干扰的各种噪声。其中包括工业噪声和无线电噪声。(2)自然噪声。自然噪声是指自然界存在的各种电磁波源所产生的噪声以及电路噪声。如雷电、磁暴、太阳黑子、银河系噪声、宇宙射线等。其中电路噪声是不可消除的，散粒噪声和热噪声就是最基本的两种电路（起伏）噪声。2022/11/192.6噪声及其通过乘法器的响应通常把周期性的、有规则的有2.6.1散粒噪声－－又称散弹噪声或颗粒噪声例如在电压作用下电子二极管电子发射是一个随机过程，并可以证明，阴极电流随机起伏分量的均方值：式中e为电子电荷（e=1.60×10-19库仑）；I0为电流平均值；B为系统带宽。散粒噪声的功率谱（双边谱）（大约在100MHZ频率范围内，功率谱可以认为是恒定的）2022/11/192.6.1散粒噪声－－又称散弹噪声或颗粒噪声例如在电压作用2.6.2热噪声热噪声是由传导媒质中电子的随机运动而产生的，这种在原子能量级上的随机运动是物质的普遍特性。在通信系统中，电阻器件噪声、天线噪声、馈线噪声以及接收机产生的噪声均可以等效成热噪声。试验证明，电阻中热噪声电压的均方值式中：k为波尔兹曼常数（k=1.38×10-23J/K）；T为电阻的绝对温度；R为电阻。热噪声的功率谱（双边谱）（大约在1013HZ频率范围内功率谱可以认为是恒定的）2022/11/192.6.2热噪声热噪声是由传导媒质中电子的随机运动而产生指功率谱在全频域是常数,也称双边功率谱,单位是瓦/赫。当认为噪声功率只分布在正频率范围时，功率谱为n0----又称单边功率谱。根据自相关函数RX(τ)和功率谱SX(ω)是一对傅里叶变换关系，即：

2.6.3白噪声002022/11/19指功率谱在全频域是常数白噪声的相关函数只有在τ=0时取值，所以白噪声这一随机过程的任何两个不同样本函数之间都是不相关的.上述定义是白噪声的理想化模型，但只要噪声频谱比所研究的通信系统带宽宽的多，并且其功率谱在该通信系统所占带宽内接近常数，就把它视为白噪声.热噪声和散粒噪声是最接近白噪声的例子.热噪声和散粒噪声是由统计独立的无数个随机运动的电子产生的，概率论的中心极限定理指出，在非常宽的条件下，在N趋近无穷的极限情况下，N个统计独立的随机变量之和的分布趋于高斯分布，而不考虑每个随机变量的具体分布如何，因此热噪声和散粒噪声瞬时振幅的概率密度必是高斯分布，通常称为高斯型白噪声.2.6.3白噪声2022/11/19白噪声的相关函数只有在τ=0时取值，所以白噪声这一随机过程的高斯过程的一维分布高斯过程在任一时刻上的样值是一维高斯随机变量，其概率密度函数可表示为概率密度函数的曲线为→均值mx为0的高斯分布也叫正态分布mx为均值2022/11/19高斯过程的一维分布mx为均值2022/11/112.6.4可用功率、等效噪声温度和噪声系数可用功率：等噪声温度：2022/11/192.6.4可用功率、等效噪声温度和噪声系数可用功率：2噪声系数F：用来衡量网络内部噪声使输出信噪比恶化的程度设线性网络的可用功率增益为G，带宽为B.Si、S0-输入输出信号功率

Ni、N0-输入输出噪声功率如果网络不产生任何内部噪声，则输出信噪比为：如果网络内部存在噪声，且在输出端产生的噪声功率为∆N，则输出信噪比为：定义：输入信噪比与输出信噪比之比为该网络的噪声系数.即Si/NiSo/No

G2022/11/19噪声系数F：用来衡量网络内部噪声使输出信噪比恶化的程度Si设源阻抗为无源RLC二端网络，则输入可用功率为：

Ni=kTB第一级网络在输出端产生的噪声功率为：

No1=F1G1G2kTB(a式)第二级网络在输出端产生的噪声功率为：

No2=（F2-1）G2kTB（b式）总噪声功率为:No=No1+No2=F1G1G2kTB+(F2-1）G2kTB噪声系数F：

类似地可以得到多级网络的总噪声系数：可见，多级网络的噪声系数主要决定于前级。可以证明：一个损耗为L的衰减器的噪声系数也是L，即F=L。例：求图示级联网络的总噪声系数F。其中F1、F2、G1、G2分为各个网络的噪声系数和功率增益，相应带宽为B.F2G2F1G1kTB噪声输出2022/11/19设源阻抗为无源RLC二端网络，则输入可用功率为：例：求图广义平稳随机过程X(t)通过乘法器的响应是Y(t)，求响应Y(t)的功率谱SY().

先求响应Y(t)的自相关函数RY(t,t+)再求付氏变换可得SY().由相关定义得：

结论：RY(t,t+)与t有关，即Y(t)非平稳！

即Y(t)的功率谱与RY(t,t+)不是付氏变换对！

2.6.5乘法器的噪声响应X(t)Y(t)SX()SY()

cos0t

平稳过程通过乘法器2022/11/19广义平稳随机过程X(t)通过乘法器的响应是Y

非平稳随机过程的功率谱定义为：

非平稳随机过程Y(t)自相关函数均值为：

代入功率谱定义式，并由欧拉公式和付氏变换性质求得：

可见，通过乘法器后将功率谱SX()搬移到±0

，且幅度减小到1/4

2022/11/19非平稳随机过程的功率谱定义为：

非平稳随WN白噪声通过带宽为WN、传输函数为H(0)的理想滤波器的输出平均噪声功率为：等效噪声带宽WN为使噪声计算简便而定义的等效噪声带宽WN，是一理想带通滤波器带宽，这个理想滤波器的增益与实际滤波器频带中心增益相等，当噪声通过该理想滤波器的功率与通过实际滤波器的功率相等时，该理想滤波器的带宽定义为等效噪声带宽。双边功率谱密度为n0/2的白噪声,通过传输函数为H()的实际滤波器，则输出平均噪声功率按等效噪声带宽定义PN=PN’得：等面积2022/11/19WN白噪声通过带宽为WN、传输函数为H(0)的理想滤波器的*高斯过程（又称正态随机过程）

高斯过程ξ(t)的n维(n=1,2,…)概率密度函数如下：高斯过程在tk时刻均值和方差2022/11/19*高斯过程（又称正态随机过程）高斯过程ξ(t)的n维(由高斯概率密度函数可知：正态(高斯)过程的n维分布仅由各随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数决定。所以，如果过程是宽平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔τ有关，他的n维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。即高斯过程若是宽平稳的，则也是严平稳的。2022/11/19由高斯概率密度函数可知：正态(高斯)过程的n维2.7窄带噪声图2.7窄带过程的频谱及示意波形2022/11/192.7窄带噪声图2.7窄带过程的频谱及示意波形2022/白噪声通过一个窄带系统(通带宽度Δf<<f0中心频率）时，输出噪声只集中在中心频率附近的带宽之内，这种噪声称为窄带噪声。系统带宽越窄，窄带噪声越接近于单频f0信号，用示波器观察到的窄带噪声波形是一个接近f0的正弦波，但是振幅R(t)和相位φ(t)都在缓慢波动，可以把窄带噪声表达成2.7窄带噪声窄带噪声N(t)

同相分量NC(t)和正交分量NS(t)均为低通过程，可通过乘法器和低通滤波器提取同相分量NC(t)和正交分量NS(t)LPFLPFN(t)SN()NC(t)SNC()NS(t)SNS()2cos0t-2sin0t2022/11/19白噪声通过一个窄带系统(通带宽度Δf<<f0中心频率）时，输窄带噪声N(t)同相分量NC(t)和正交分量NS(t)性质2022/11/19窄带噪声N(t)同相分量NC(t)和正交分量NS(t)性2.7正弦波加窄带高斯过程现在我们来求正弦波加窄带高斯噪声的包络及相应的概率密度函数。在这种情况下，被考察的混合信号形式为式中，为窄带高斯过程，其均值为零；正弦波的θ在(0,2π)上均匀分布，且假定振幅A和频率已知。显然信号r(t)的包络函数为正弦波加窄带高斯过程2022/11/192.7正弦波加窄带高斯过程现在我们来求正利用上一节的结果，如果θ值已给定，则zc及zs都是相互独立的高斯随机变量，故有

E［zc］=AcosθE［zs］=Asinθ混合信号r(t)的包络函数为2022/11/19利用上一节的结果，如果θ值已给定，则zc及zs都是相互独立的

所以，在给定相位θ的条件下的zc和zs的联合概率密度函数为（隐去对时间的依赖）

f(zc,zs/θ)=混合信号其包络随机变量为：而其相位随机变量为2022/11/19所以，在给定相位θ的条件下的zc和zs的联所以，以相位θ为条件的z和

的联合概率密度函数为而以相位θ为条件的包络z的概率密度为亚可比系数矩阵2022/11/19所以，以相位θ为条件的z和的联合概率密度函数为而以相位θ由于故有（2.7-2)以相位θ为条件的包络z的概率密度为2022/11/19由于故有（2.7-2)以相位θ为条件的包络z的概率密度为2

式中，I0(x)为零阶修正贝塞尔函数。当x≥0时，I0(x)是单调上升函数，且有I0(0)=1。因此

f(z/θ)=

由上式可见，f(z/θ)与θ无关，故正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为

这个概率密度函数称为广义瑞利分布，也称莱斯（Rice）密度函数。如果A＝0，则上式便是式（2.6-20），即为瑞利分布，这是预料的结果。(2.7-3)2022/11/19式中，I0(x)为零阶修正贝塞尔函数。当x≥

现在来求f(φ/θ)，它可由下式得到：

上式经积分和整理后得到(2.7-4)是误差函数2022/11/19现在来求f(φ/θ)，它可由下式得到：上式因为f(φ,θ)=f(φ/θ)f(θ),所以正弦波加窄带高斯过程得相位概率密度函数f(φ)为这个积分比较复杂，这里就不再演算了。图2-6绘出了在几个特定的

下的f(z)曲线及f(φ/θ)曲线。(2.7-5)2022/11/19因为f(φ,θ)=f(φ/θ)f(θ),所以正弦波加窄带高斯图2–6正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布

2022/11/19图2–6正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布20第二章作业2022/11/19第二章作业2022/11/11第二章作业CRni(t)no(t)2022/11/19第二章作业CRni(t)no(t)2022/11/11第二章信号与噪声2.1信号的频谱分析2.2卷积和相关2.3随机过程及统计平均特性2.4随机过程的频谱特性2.5随机过程通过线性系统2.6噪声及其通过乘法器响应2022/11/19第二章信号与噪声2.1信号的频谱分析2022/11/1

2.1.1傅立叶级数对任何一周期函数，只要满足狄里赫利条件，都可以写成

2.1信号的频谱分析2022/11/192.1.1傅立叶级数2.1信号的频谱分析2022/还可以表示成：利用欧拉公式，式2.1－2还可以写成复数形式2022/11/19还可以表示成：利用欧拉公式，式2.1－2还可以写成复数形式2.1.2傅立叶变换非周期信号可以看作周期信号的周期T→∞

的一种极限，令，对2.1-7取极限得通常把叫作的频谱密度，简称频谱。信号可以用时间函数来表示，也可以用它的频谱来表示。2022/11/192.1.2傅立叶变换非周期信号可以看作周期信号的周期T2.1.3功率谱密度和能量谱密度#功率信号:

周期信号在–∞到+∞到的全部时间内周而复始，无始无终，它有无限的能量，但是它的平均功率为有限值。把单位电阻上所消耗的平均功率定义为周期信号的平均功率，简称功率周期信号的瞬时功率为，在周期T内的平均功率：帕什瓦尔功率2022/11/192.1.3功率谱密度和能量谱密度#功率信号:周期帕什瓦尔功率表明：一个周期信号的归一化平均功率等于信号所有谐波分量幅度的平方之和凡具有相同的幅度谱的信号，不论相位谱如何，都具有相同的功率。从信号的功率角度只能获得关于信号的幅度信息，而得不到任何的相位信息2022/11/19帕什瓦尔功率表明：2022/11/11#能量信号：若信号幅度有界、持续时间有限(非周期信号)，信号能量为有限值，全部时间的平均功率为0。把能量信号f(t)的归一化能量(简称能量)定义为：由电压f(t)加于单位电阻(或电流f(t)通过单位电阻)所耗散的能量：瑞利能量定理(帕什瓦尔定理)这就是瑞利能量定理（也叫帕什瓦尔定理），与周期信号的帕什瓦尔功率定理相似，只能知道信号的幅度谱，而相位信息丢失。2022/11/19#能量信号：若信号幅度有界、持续时间有限(非周期信号)，即信号的能量等于曲线下的总面积，是能量密度的总测度(单位为J/Hz)，代表信号能量沿频率轴的连续分布情况。定义：

为非周期信号

的能量密度谱（或能量谱密度），则能量：实波形

的偶函数，所以：2022/11/19即信号的能量等于曲线下的总面积，设f(t)为时间无限信号，fT(t)代表f(t)在区间上的截短函数只要T为有限值，fT(t)就具有有限的能量，若根据瑞利定理有由平均功率定义(从功率定义出发)由平均功率定义，根据截短函数持续时间取极限T→∞求出非周期信号平均功率，最后确定非周期信号功率密度谱2022/11/19设f(t)为时间无限信号，fT(t)代表f(t)在非周期信号的功率密度谱设，将定义为功率密度谱（或功率谱密度）单位W/Hz，所以信号平均功率为：代表了功率的频率分布实信号所以为偶函数，则信号功率谱只与幅度有关，和相位无关可以有无限多的信号具有相同的功率谱对于一个给定的信号只有一个功率谱2022/11/19非周期信号的功率密度谱设2.1.4周期信号的功率谱密度若功率信号是周期的，则由帕什瓦尔平均功率定理代表n次谐波分量的平均功率，根据函数的抽样性质可得：与比较，所以

可得周期信号功率密度谱：2022/11/192.1.4周期信号的功率谱密度若功率信号是周期的，则由帕什周期信号的功率谱是由一些位于处的冲击组成的离散谱，冲击强度为注意能量谱是连续谱(能量信号为非周期)只与幅度特性有关，而与相位无关不同的信号可以具有同样的功率谱而对于一个给定的信号，只有唯一的功率谱周期信号的功率谱2022/11/19周期信号的功率谱是由一些位于处的冲击组成的离散2.2卷积和相关2.1.1卷积定义：定义积分为性质：1、符合下列代数定律：2022/11/192.2卷积和相关2.1.1卷积性质：2022/11/12、包含冲击函数的卷积3、卷积定理：2022/11/192、包含冲击函数的卷积3、卷积定理：2022/11/112.2.2相关信号波形之间相似性或关联性的一种测度定义：下列积分式2.2-12称为自相关积分式2.2-12称为互相关积分2022/11/192.2.2相关信号波形之间相似性或关联性的一种测度式2.设是两个周期函数，且基本周期相同，为T，则相关与卷积的关系：即：周期信号的相关函数是在一个周期内取互相关函数的时间平均设信号为实信号可见：卷积表明的是一个函数和另一个折叠函数的相关程度周期函数相关2022/11/19设是两个周期函数，且基本周期相互相关表达式中的信号向左移动，可等效成向右移动，即同理：即：相关一般是不可交换的（而卷积可以），即：可见：2022/11/19互相关表达式中的信号向左移动，可等效成1、时域相关证明：所以同理可证式2022/11/191、时域相关证明：所以同理可证式2022/11/11由周期函数的相关函数定义有同样,能量信号的互相关函数与互能量密度谱互为傅立叶变换

是信号的能量谱密度，因此能量信号的自相关函

数与信号的能量谱互为傅立叶变换.功率信号：将功率信号视为T趋向无穷的截短周期信号fT(t)2022/11/19由周期函数的相关函数定义有同样,能量信号的互相关函数因此：功率信号的自相关函数与功率谱互为傅立叶变换（功率信号的功率谱）*截短周期信号fT(t)的相关函数：##即：2022/11/19因此：功率信号的自相关函数与功率谱互为傅立叶变换（功率信号的2、频域相关即：频域相关对应于时域乘积。2022/11/192、频域相关即：频域相关对应于时域乘积。2022/11/113、自相关函数的性质复对称对于能量信号，自相关函数值R(0)等于信号的能量，即对于功率信号，自相关函数值R(0)等于信号的平均功率，即2022/11/193、自相关函数的性质复对称2022/11/11对于所有的有

时，波形重叠，此时相关性最好，故R(0)最大由周期信号的自相关函数可知：它是一个具有同样周期的周期函数，利用这一性质可检测加性噪声中的周期信号。2022/11/19对于所有的有它是一个具有同样周期的周期函数，利用22.3随机过程及其统计特性通信系统接收端收到的信号是发送端发送的随机信号（即对于接收端而言，不是一个确知信号）和信道随机噪声之和。因而用随机过程理论来进行分析随机过程举例：n部性能相同的接收机，在同样条件下输出的噪声波形xi(t)，可见每个接收机输出是随机的，对应的函数为随机函数xi(t)n→无穷，无穷多个随机函数的总体叫做一个随机函数的总集，又称为随机过程X(t)，随机过程中的每一个函数称为一个实现或样本函数样本函数的总体X(t)x1(t11)x2(t1)xn(t1)ttt样本空间x1x2xnX

(t)t2……t12022/11/192.3随机过程及其统计特性通信系统接收端收到的信号是发送在某一特定时刻t1

，对应各台接收机的输出噪声是不同的，即接收机的输出噪声是一个随机量。同理，在另一个时刻t2

，接收机的噪声是另一个随机量。可见：时间不同，随机量也不相同，即随机变量是时间的函数结论：随机过程的含义有两点：首先，它是一个时间的函数；其次，它在每个时刻上的函数值是随机的。

即每个时刻上的函数值按照一定的概率分布。如果时间是离散的，则这种随机过程叫做随机序列。随机过程的特点:随机过程X(t)在任一时刻都是随机变量；随机过程X(t)是大量样本函数的集合。2022/11/19在某一特定时刻t1，对应各台接收机的输出噪声是不同的，即2.3.2分布函数和概率密度设X(t)

表示一个随机过程，在任意给定的时刻

t1

∈T的取值X(t1)是随机变量，X(t1)小于或等于某一数值

x1的概率

F1(x

1，t1)＝P[X(t1)

≤x1]2.3-1，称为随机过程X(t)的一维分布函数。如果一维分布函数对x1

的偏导数存在，则叫做随机过程X(t)的一维概率密度函数。随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数：仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻上的统计特性；而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系；为此引入二维分布函数和概率密度。2022/11/192.3.2分布函数和概率密度设X(t)表示一个随机过程随机过程在任意两个时刻t1

,

t

2

∈T的取值分别为随机变量X(t1)和X(t2)，则构成一个二元随机变量[X(t1),X(t2)]，称

为随机过程

X(t)

的二维分布函数。叫作

X(t)的二维概率密度函数n维分布函数：

Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=P[X(t1)≤x1,X(t2)≤x2,…,X(tn)≤xn]n维概率密度函数如果二维分布函数对x1和x2的混合二阶偏导数存在，则2022/11/19随机过程在任意两个时刻t1,t2∈T的取值分别为随对于任何N个随机变量X(t1)、X(t2)…X(tN)，如果等式

成立，则称这些变量是统计独立的，否则是不独立的或相关.可见，可把随机过程X(t)当作一个多元随机变量[X(t1)、X(t2)…X(tN)]来看待，并可用这个多元随机变量的分布函数FN和概率密度函数pN描述随机过程X(t)

的统计特性.2022/11/19对于任何N个随机变量X(t1)、X(t2)…X(tN)，2.3.3平稳随机过程统计特性不随时间的推移而变化的随机过程称为平稳随机过程。设随机过程X(t),若对于任意n和任意选定t1＜t2＜…＜tn,tk∈T，k=1,2,…,n，以及τ为任意值,且x1,x2,…,xn∈R，其n维概率密度函数满足:

pn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)(这里n相当于随机变量的维数N)=pn(x1,x2,…,xn;t1+τ,t2+τ,…,tn+τ)2.3-8

则称X(t)是平稳随机过程。平稳随机过程的定义说明：当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的。若2.3－8式对某个n值是成立的，则此随机过程是n阶平稳随机过程，显然对n阶平稳，小于n阶也平稳。2022/11/192.3.3平稳随机过程统计特性不随时间的推移而变化的随机对于所有阶都是平稳的随机过程X(t)，则称为严平稳随机过程，或狭义平稳随机过程；若随机过程的数学期望和方差与时间无关，而自相关函数只与时间差有关，这样的随机过程称为广义的平稳随机过程；严平稳随机过程必是广义平稳随机过程；非严平稳随机过程，又非广义平稳随机过程，叫做非平稳随机过程。2022/11/19对于所有阶都是平稳的随机过程X(t)，则称为严平稳随机过程在通信系统中，所遇到的随机信号和噪声大多是平稳随机过程，且是广义平稳随机过程.平稳性（反映在观测记录－即样本曲线上）的特点：随机过程的所有样本曲线都在某一水平直线周围随机波动.推论：平稳随机过程的一维分布与时间t无关，二维分布只与时间间隔τ有关。从而有：2022/11/19在通信系统中，所遇到的随机信号和噪声大多是平稳随机过程，且是2.3.4随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性。但是，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。求取随机过程的数字特征的方法有两种：时间平均和统计平均统计平均:是对随机过程X(t）某一时刻不同实现（或样本函数）的可能取值，用统计方法得出的种种平均值，用符号E[.]表示。（随机过程模型的纵向研究）时间平均：是对随机过程X(t）某一特定实现（或样本函数）的可能取值，用数字分析方法，对时间求平均得出的种种平均值，用符号A[.]表示。（随机过程模型的横向研究）2022/11/192.3.4随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能－、统计平均1、均值（数学期望或统计平均）随机过程在任意时刻的取值所组成随机变量X(t)的均值为：即：均值代表随机过程的摆动中心p(x)---是平稳随机过程的一维概率密度函数2、均方值即随机变量X(t)的二阶原点矩2022/11/19－、统计平均1、均值（数学期望或统计平均）即：均值代表随机过3、方差即随机变量X(t)的二阶中心矩可见:方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程X(t)在时刻t对于均值mX的偏离程度。均值和方差描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征。2022/11/193、方差可见:2022/11/114、相关函数设X(t1)和X(t2)为随机过程X(t)在任取的两个时刻t1与t2时的状态，相应的二维概率密度p(x1,x2;t1t2)=p(x1,x2；τ)则称二阶原点混合矩，而

为随机过程X(t)的自相关函数RX(τ)

是同一过程的两个不同观测时刻取值的相关程度以上四个统计特征值中，只有自相关函数RX(τ)

取决于两个时刻的间隔τ=t1-t2,其余均为与时间无关的常数2022/11/194、相关函数设X(t1)和X(t2)为随机过程X(t)自相关函数主要性质：RX(0)=E[X2(t)]--数值关系RX(τ)=RX(-τ)--奇偶性|RX(τ)|≤RX(0)--有界性X(t)的自相关函数2022/11/19自相关函数主要性质：RX(0)=E[X2(t)]互相关函数:对两个各自平稳且联合平稳的随机过程X(t)和Y(t)，其互相关函数表示为，RXY(τ)＝RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]＝E[X(t)Y(t+τ)]若RXY(τ)＝0，则X，Y是不相关的（正交的随机过程）相关的两个随机过程一定是不独立的不相关的两个随机过程不一定是独立的而独立的两个随机过程一定是不相关的RXY(τ)≤(1/2)[RX(0)+RY(0)]-----有界性|RXY(τ)|≤-----有界性RXY(τ)=RXY(-τ)-----奇偶性互相关函数主要性质：2022/11/19互相关函数:相关的两个随机过程一定是不独立的RXY(τ)

CX(τ)也是刻画随机过程两个不同状态之间的线性依从关系的数字特征

随机过程X(t)和Y(t)的二阶中心混合矩CXY(τ)=E[(X(t)-mX)(Y(t+τ)-mY)]=RXY(τ)-mXmY为随机过程X(t)的互协方差函数.若CXY(τ)＝0，则X，Y是不相关的，此时互相关函数为常数，即RXY(τ)=E[X(t)Y(t)]＝mXmY＝E[X(t)]E[Y(t)]＝常数5、协方差函数X(t)和X(t+τ)的二阶中心混合矩

CX(τ)=E[(X(t)-mX)(X(t+τ)-mX)]=RX(τ)-mX2为随机过程X(t)的自协方差函数，简称协方差函数2022/11/19CX(τ)也是刻画随机过程两个不同状态之间的线性依从关系二、时间平均一个量的时间平均定义为：一个平稳随机过程，每个样本函数都是在全部时间内存在的功率信号，各个实现的时间平均值彼此相同。1、平均值（或直流分量）设x(t)是随机过程X(t)的一个典型的样本函数，则样本函数的时间平均为：注意角标为小写2022/11/19二、时间平均一个量的时间平均定义为：一个平稳随机过程，每个样2、均方值（或总平均功率）3、方差（或交流功率）4、自相关函数

样本函数x(t)的时间自相关函数定义为2022/11/192、均方值（或总平均功率）3、方差（或交流功率）4、自相关函自相关函数性质：1、2、3、4、2022/11/19自相关函数性质：1、2022/11/1例设随机过程式中A和0为常数，θ为随机变量，且在[0,2π]