高中含参不等式地恒成立问题

高中含参不等式地恒建立问题版高中含参不等式地恒建立问题版高中含参不等式地恒建立问题版合用标准高中数学不等式的恒建立问题一、用一元二次方程根的鉴识式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转变为二次函数或二次方程，经过根的鉴识式或数形结合思想，可使问题获取顺利解决。基本结论总结例1关于x∈R，不等式恒建立，求实数m的取值范围。例2：已知不等式(a2)x22(a2)x40关于xＲ恒建立，求参数a的取值范围．解：要使(a2)x22(a2)x40关于xＲ恒建立，则只须满足：a20a20（2）2(a2)0（1）2)216(a2)或4(a040解（1）得a2，解（2）a＝２2a2∴参数a的取值范围是－２＜a２．练习1.已知函数ylg[x2(a1)xa2]的定义域为R，求实数a的取值范围。文档合用标准2.若关于x∈R，不等式恒建立，求实数m的取值范围。3.若不等式的解集是R，求m的范围。4.x取一的确数时，使kx7恒有意义，求实数k的取值范围．24kxkx3例3．设f(x)x22mx2，当x[1,)时，f(x)m恒建立，求实数m的取值范围。要点点拨：为了使在恒建立，构造一个新函数是解题的要点，再利用二次函数的图象性质进行分类谈论，使问题获取圆满解决。若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决y问题。x解：F(x)x22mx2m，则当x[1,)时，F(x)0恒建立当4(m1)(m2)0即2m1时，F(x)0显然建立；-1Ox当0时，如图，F(x)0恒建立的充要条件为：0F(1)0解得3m2。综上可得实数m的取值范围为[3,1)。2m12例4。已知f(x)x2ax1，求使不等式f(x)0对任意x[1,2]恒建立的a的取值范围。文档合用标准解法1：数形结合结合函数f(x)的草图可知f(x)0,x[1,2]时恒建立f(1)2a0得a5。因此a的取值范围是(5,)。f(2)52a022解法2：转变为最值研究f(x)(xa21a2)421.若a3即a3时,f(x)在[1,2]上的最大值f(x)maxf(2)52a0,得a5,因此5a3。22222.若a3即a时,f(x)在[1,2]上的最大值f(x)maxf(1)2a0，得a2，因此a3。2235)。综上：a的取值范围是(,2注：1.此处是对参a进行分类谈论，每一类中求得的a的范围均合题意，故对每一类中所求得的a的范围求并集。2.f(x)m,xI恒建立f(x)maxm(m为常数)；f(x)m,xI恒建立f(x)minm(m为常数)解法3：分别参数x2ax10,x[1,2]ax1[1,2]。设g(x)x1,x，xx注：1.运用此法最后仍概括为求函数g(x)的最值，但由于将参数a与变量x分别，因此在求最值时防备了分类讨论，使问题相对简化。2.本题若将“x[1,2]”改为“x(1,2)”可近似上述三种方法完成。仿解法1：f(x)0,x(1,2)f(1)0得a5即a的范围是:[5,)f(2)022读者可仿解法2，解法3近似完成，但应注意等号问题，即此处a5也合题。2例5.已知：f(x)x2ax1求使f(x)0对任意x[1,1]恒建立的a的取值范围。解法1：数形结合结合f(x)的草图可得：a240a240a24a1或a12a2即a的取值范围是:(2,2)。或得：22f(1)0f(1)0文档合用标准解法2：转变为最值研究f(x)(xa)21a2241.1a2a2时,f(x)min1a20得2a2，因此2a2。1即422.若a即a时,f(x)minf(1)2a0得a2,与a2矛盾。2123.若a即时则f(x)minf(1)2a0得a2,与a2矛盾。综上：a的取值范围是(2,2)。21a2,解法3：分别参数1.x0时，不等式显然建立，即此时a可为任意实数；2.x[1,0)时，x2ax10ax1。由于g(x)x1在[1,0)上单调递减，因此xxag(x)maxg(1)2；3.x(0,1]时，x2ax10ax1。由于g(x)x1x在（0，1）上单调递减，因此xag(x)ming(1)2。综上：a的范围是：(2,2)。注：本题中由于x的取值可正可负，不便对参数a直接分别，故采用了先对x分类，再分别参数a，最后对各样中求得a的范围求交集，这与例1方法三中对各样中求得的a的范围求并集是不同样的，应引起注意！例6.已知：f(x)x2ax1，求使f(x)0对任意a[3,3]恒建立的x的取值范围。即x2ax10习惯上视x为主元而a为辅元，但本题中是a在[3,3]上任意变化时不等式恒建立，解：f(x)0故可将a视为主元。改正主元法：设g(a)xax21，则g(a)的图像为素来线，则g(a)0,a[3,3]时恒建立g(3)x23x10即x的范围是：(,35)(35,)g(3)x23x1022总之，办理不等式恒建立问题第一应分清谁是主元（哪一个变量在给定区间上任意变化，则该变量即为主元相当于函数自变量），尔后可数形结合或转变为最值研究。若易于将参变量分其余可先分别参变量再求最值，若需分类谈论则应注意分类标准和最后的小结（分清是求交集，还是求并集）。二、利用函数的最值（或值域）文档合用标准（1）对任意x都建立（2）对任意x都建立。简单计作：大的大于最大的，小的小于最小的。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例1．已知函数f(x)x22xa,x[1,)，若对任意x[1,)，f(x)0恒建立，求实数a的取值范围。x解：若对任意x[1,)，f(x)0恒建立，即对x[1,x22xa)，f(x)x0恒建立，考虑到不等式的分母x[1,)，只要x22xa0在x[1,)时恒建立而得而抛物线g(x)x22xa在x[1,)的最小值gmin(x)g(1)3a0得a3例2已知f(x)x2ax3a，若x[2,2],f(x)2恒建立，求a的取值范围.解析本题能够化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要关于任意x[2,2],f(x)min2.若a2x[2,2],f(x)2恒建立x[2,2],f(x)min22f(x)minf(2)73a22a2a22，即a的取值范围为[或a2或25,222].a)f(x)minf(3a2f(x)minf(2)7a224谈论关于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,能够求函数最值的方法,只要利用f(x)m恒建立f(x)minm；f(x)m恒建立f(x)maxm.本题也能够用零点分布策略求解.设函数是定义在(,)上的增函数，若是不等式f(1axx2)f(2a)关于任意x[0,1]恒建立，求实数a的取值范围。解析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转变为1axx22a关于任意x[0,1]恒建立，从而转变为二次函数区间最值求解。解：Qf(x)是增函数f(1axx2)f(2a)关于任意x[0,1]恒建立1axx22a关于任意x[0,1]恒建立x2ax1a0关于任意x[0,1]恒建立，令g(x)x2ax1a，x[0,1]，因此原问题g(x)min0，g(0),a01a,a0又g(x)mina),2a0即g(x)mina2a1,2a0易求得a1。g(422,a22,a2文档合用标准三、改正主元法在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，能够获喜悦想不到的收效，使问题能更迅速地获取解决。一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.用一次函数的性质关于一次函数有：例题1：已知不等式对任意的都建立，求的取值范围.解：我们能够用改变主元的方法，将m视为主变元，原不等式可化为令是关于m的一次函数。由题意知解得∴x的取值范围是要点点拨：利用函数思想，变换主元，经过直线方程的性质求解。评注：此类问题常因思想定势，学生易把它看作关于的不等式谈论，从而因计算繁琐出错也许中途夭折；若变换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令则问题转变为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就十拿九稳的获取解决了例2．对任意a[1,1]，不等式x2(a4)x42a0恒建立，求x的取值范围。解析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看作主元，则问题可转变为一次不等式(x2)ax24x40在a[1,1]上恒建立的问题。解：令f(a)(x2)ax24x4，则原问题转变为f(a)0恒建立（a[1,1]）。当x2时，可得f(a)f(1)01或x3。0，不合题意。当x2时，应有解之得xf(1)0故x的取值范围为(,1)(3,)。例3已知关于任意的a∈[-1,1]，函数f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0恒建立，求x的取值范围.解析本题按老例思路是分a=0时f(x)是一次函数，a≠0时是二次函数两种情况谈论，不简单求x的取值范围。文档合用标准因此，我们不能够总是把x看作是变量，把a看作常参数，我们能够经过变量变换，把a看作变量，x看作常参数，这就转变一次函数问题，问题就变得简单求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a∈[-1,1]时，g(a)>0恒建立，则g(1)0，得313x313.g(1)0谈论关于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，能够经过变量变换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。例4关于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒建立的x的取值范围。解析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了p的范围要求x的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思想把p看作自变量，x看作参变量，则上述问题即可转变为在[-2，2]内关于p的一次函数函数值大于0恒建立求参变量x的范围的问题。解：原不等式可化为(x-1)p+x2-2x+1>0,令yyf(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒建立，故有：-22x-2o2xx10或x10∴x<-1或方法一：0f(2)f(2)0x>3.f(2)0x24x30或∴x<-1或x>3.方法二：即2解得：f(2)0x10或1x1x例5已知f(x)x2ax3a，若x[2,2],f(x)0恒建立，求a的取值范围.解析本题能够考虑f(x)的零点分布情况进行分类谈论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情00a2或a2，即a的取值范围为[-7况，即Δ≤0或22，2].f(2)0f(2)0f(2)0f(2)0谈论关于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,能够考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行了.设f(x)ax2bxc(a0)文档合用标准bbb（1）当a0时，f(x)0在x[,]上恒建立2a或2a或2a，f()00f()0f(x)0在x[,]上恒建立f()0f()0（2）当a0时，f(x)0在x[,]上恒建立f()0f()0bbbf(x)0在x[,]上恒建立2a或2a或2af()00f( )0例6若x2,2时，不等式x2ax3a恒建立，求a的取值范围。解：设fxx2ax3a，则问题转变为当x2,2时，fx的最小值非负。a2即：a4时，fxminf273a07又a4因此a不存在；（1）当2a3（2）当2a2即：4a4时，fxminfa3aa206a2又4a42244a2（3）当a2即：a4时，fxminf27a0a7又a47a42综上所得：7a2四、分别参数法此类问题可把要求的参变量分别出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看作新函数，于是将问题转变为新函数的最值问题：若关于取值范围内的任一个数都有恒建立，则；若关于取值范围内的任一个数都有恒建立，则.例1．已知函数f(x)x22xa[1,)，若对任意x[1,)，f(x)0恒建立，求实数a的取值范围。x,xx22xa0在x[1,)时恒建立，只要ax22x在x[1,)时恒建立。而易求得二次函数h(x)x22x在[1,)上的最大值为3，因此a3。例2．已知函数f(x)ax4xx2,x(0,4]时f(x)0恒建立，求实数a的取值范围。解：将问题转变为a4xx2对x(0,4]恒建立，令g(x)4xx2，则ag(x)minxx文档合用标准由g(x)4xx241可知g(x)在(0,4]上为减函数，故g(x)ming(4)0xx∴a0即a的取值范围为(,0)。注：分别参数后，方向明确，思路清楚能使问题顺利获取解决。例3已知函数f(x)|x24x5|，若在区间[1,5]上，ykx3k的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围.解析本题等价于一个不等式恒建立问题,即关于x[1,5],kx3kx24x5恒建立,式子中有两个变量,能够通过变量分别化归为求函数的最值问题.关于x[1,5],kx3kx24x5恒建立x24x5k3关于xx[1,5]恒建立,令yx24x5,x[1,5],设x3t,t[2,8],则y(t16)10,t[2,8],当t4,即x=1时x3tymax2,k的取值范围是k>2.变式若本题中将ykx3k改为yk(x3)2，其余条件不变，则也能够用变量分别法解.由题意得，关于x[1,5],k(x3)2x24x5恒建立kx24x5关于x[1,5]恒建立,令(x3)2yx24x53t,t[2,8],则y16101(45)29,t[2,8]，(x3)2,x[1,5],设xt2tt416当45,即x1时,ymax9,k的取值范围是k>9.t451616谈论本题经过变量分别，将不等式恒建立问题转变为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但经过换元后巧妙地转变为“对勾函数”，从而求得最值.变式题中构造的函数经过换元后转变为“二次函数型”，从而求得最值.本题也能够用零点分布策略和函数最值策略求解.五、数形结合法若是不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可经过图象、图形的地址关系建立不等式求得参数范围.例1已知函数若不等式恒建立，则实数的取值范围是.解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒建立，因此函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，因此故的取值范围是文档合用标准y1=(x-1)2yy2=logax1o2x例2当x(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒建立，求a的取值范围。解析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左侧为二次函数，右侧为对数函数，故能够采用数形结合借助图象位置关系经过特指求解a的取值范围。解：设T1:f(x)=(x1)2,T2:g(x)