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简谐运动位移公式推导简谐运动位移公式推导简谐运动位移公式推导xxx公司简谐运动位移公式推导文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度简谐运动位移公式推导问题：质量为m的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。如图（a）所示，将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m物体将作往复运动，试求位移x与时间t的函数关系式。图（a）分析：m物体在弹力F的作用下运动，显然位移X与弹力F有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F替换成关于X与t的量，再求解该微分方程。推导：取物体平衡位置O为坐标原点,物体运动轨迹为X轴，向右为正。设弹力为F,由胡克定律F=-kX,K为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。根据牛顿第二定律，m物体加速度a=dvdt=d2Xdt2=可令km=ω2代入（a）,得d2Xdt2=-ω显然，想求出位移X与时间t的函数关系式，须解出此微分方程求解：对于d2Xdt2+ω2X=0，即(4)式属可将阶的二阶微分方程，若设X’=u，消去t,就要把把X”转化为关于X与t的函数，那么X’’=dX"dt=dudxududx+ω2下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得udu=-得12u2=-12u=x’,x’=C1-(6)再次分离变量，dxC1-两边积分，右边=t，但左边较为复杂，经过仔细思考，笔者给出一种求解方法：运用三角代换，令X=C1(7)式左边化为dcoszωsinz两边积分，得-–zω由此可得，X=C1ωcos(ω即X=Acos(ωt+ψ)(8其中A,Ψ皆为常数此方程即为简谐运动方程若Ψ=0,X-t为余弦曲线，如图（b）所示图（b）验证：通过高频照相机拍摄后发现m的轨迹为周期摆动的简谐

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