九年级《三角函数》知识点、经典例题

九年级《三角函数》知识点、例题、中考真题定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)(倒数)余切(∠A为锐角)对边邻边斜边A对边邻边斜边ACB4、5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°45°60°90°011001--106、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，随的增大而增大，随的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，随的增大而增大，随的增大而减小。8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据：①边的关系：；②角的关系：90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。10、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，、、、的方向角分别是：45°、135°、225°。11、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4、、、的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。12、解斜三角形所根据的定理(在△中)正弦定理：=2R.(R是△外接圆半径).②余弦定理：c222－2；b222－2；a222－2.③互补的两个角的三角函数的关系：(180－A)=，(180－A)=－，(180－A)=－，(180－A)=－.④S△＝.三角函数中考试题分类例题解说图1一、三角函数的定义图1例1：（滨州市）如图1，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关分析：由锐角的正切、正弦和余弦的定义可知：锐角的正切、正弦值越大，梯子越陡，余弦值越小，梯子越陡。因此选A。二、利用特殊角的三角函数值计算例4：（辽宁省十二市）计算：解：图3图3点评：熟记特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键。三、求线段的长度例5：（云南省）已知：如图3，在中，∠B=45°，∠C=60°，=6。求的长（结果保留根号）．图5分析：解决此类问题需要根据题意构造直角三角形，在直角三角形中加以研究。如图4，过点A作⊥于点D。在中，∠B=45°，则=。不妨设=x，又=6，所以有x2＋x2=62，解得x=，即==。在中，由∠=60°得∠=图5图430°而30°=，即，解得=。因此=+。图4下面也是2007年关于锐角三角函数的中考题，请自己完成。1、（江西省）如图5，在中，，分别是的对边，若，则．2、（大连市）在△中，∠C＝90°，＝10，＝，则的长为。3、（丽水市）如图6，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离=3米，，则梯子的长度为米。图6ABC图6ABCA. B. C. D.15、（连云港市）计算：6、（岳阳市）计算：＋|2-3|＋245°图7ACB7、（眉山市）计算：450＋300·600图7ACB8、（中山市）如图7，△的斜边＝5，＝。(1)用尺规作图作线段的垂直平分线l(保留作图痕迹，不要求写作法、证明)；(2)若直线l与、分别相交于D、E两点，求的长。答案：1、。2、8。3、4。4、A。5、2。6、\f(1,2)。7、-\f(1,2)。8、2。一、选择题1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（）A．B．C． D．2.（2008·威海中考）在△中，∠C＝90°，＝，则＝（）A．B．C．D．3.（2009·湖州中考）如图，在中，，，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．ACBACBD3题4题5题4.（2008·温州中考）如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（）A．B．C． D．5（2007·泰安中考）如图，在中，，于，若，，则的值为（）（A）（B）（C）（D）二、填空题6.（2009·梧州中考）在△中，∠C＝90°，＝6，，则的长是．7.（2009·孝感中考）如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3，4），则．7题8题8.（2009·庆阳中考）如图，菱形的边长为10，⊥，，则这个菱形的面积=2．三、解答题9.（2008·宁夏中考）如图，在△中，∠=90°，，=15，求△的周长和的值．10.（2007·芜湖中考）如图，在△中，是上的高，，(1)求证：；(2)若，12，求的长．一、选择题2.（2009·长春中考）．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为（）A． B．C． D．3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A．8米 B．米 C．米 D．米4.（2008·宿迁中考）已知为锐角，且，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5.（2008·毕节中考）A（60°，－30°）关于原点对称的点A1的坐标是（）A．B．C．D．6.（2007·襄樊中考）计算：等于（）（A）（B）（C）（D）二、填空题7.（2009·荆门中考）．8.（2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点C的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离是米．（结果保留根号）．10.（2007·济宁中考）计算的值是。三、解答题11.（2009·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－30°－45°12.（2009·崇左中考）计算：．要点三、解直角三角形在实际问题中的运用一、选择题1.（2009·白银中考）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A．8米B．米C．米 D．米2.（2009·衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是（）A．B．4C．D．3.（2009·益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为（）A.B.C.D.α5米Aα5米AB1题2题3题4.（2009·兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A．5mB．6mC．7mD．8m4题5题5.(2009·潍坊中考)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得米，则小岛B到公路l的距离为（）米．A．25 B．C． D．二、填空题6.（2009·沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角∠的正弦值为\F(3,5)，则坡面的长度为m．7.（2009·南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔的东北方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则海轮行驶的路程为海里（结果保留根号）．6题7题8题9题8.(2008·庆阳中考)如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离=3米，，则梯子长=米.9.（2007·湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，