短学期数学建模讲座-7.8晚讲稿

短学期数学建模讲座1几何模型概述经典几何模型竞赛涉及的几何模型几何相关的具体实例

数学建模竞赛注意事项2内容提要几何模型概述3几何模型涉及位置、形状等几何信息，要用到几何知识一般可分为两类.在具体问题中建立几何模型.应用几何关系建立其他模型作用和意义有助于更好地理解题意有助于寻找适合的解法有助于表述的清晰完整经典几何模型雨中行走步长选择冰山驾驶盲区血管分支身长与体重高跟鞋的选择0.382d

0.618l身高

x下肢鞋跟4篮球跳投问题篮球比赛是一种跳跃的运动，而跳投是一种常见的投篮动作。但运动员应该如何利用这一动作投篮呢？5篮球跳投问题6篮球跳投问题参考资料：果壳网《NBA神射手是怎样炼成的》7球与圆轴的最大接触面积在一个直径是50mm

的球形器材中，嵌进一根圆轴，为了使圆轴不易脱出，应使它与球有最大的接触面积。问圆轴的直径应是多少?8在长1000cm，宽2cm的矩形板料中冲压出直径为1cm的圆片，问最多可冲压出多少个此种圆片?矩形薄板下料问题94 3

3

1

2.9819695...10四城市间最短交通线路有四个城市呈正方形分布。因为发展的需要，拟在四个城市间建一交通网络，使四个城市且总路程最短。请你设计一个方案。A

BCD11步行与骑车12A、B两人外出旅游，但是他们只有一辆自行车，于是他们约定：一人骑车，一人步行，骑车的人到某个地方后把车留下改为步行，而后面步行的人走到留车处换成骑车在他骑车赶上步行者后再骑一段路，又改成步行，把车留给后面的步行者……如此反复轮换。若从起点到终点的距离为l

km，自行车的速度为a

km/h，步行的速度为bkm/h（a>b），问最少花多少时间两人都到达终点？步行与骑车S213S1OA12A1BB1M1M

2tSy

aty

bt兔子躲狼森林的边界是直线l，兔子和狼分别在l的垂线AC上的点A和点B处(AB=BC=a)。现兔子沿线AD(或AE)以速度2v准备越过l向树林逃跑,同时狼沿线段BM(点M在AD上)或BN(点N在AE上)以速度v进行追击。若狼比兔子先到或同时到达M(或N)处，狼就会吃掉兔子。A14NECBMDl兔子躲狼1.

求兔子的所有不幸点(即可能被狼

的地方)组成的区域的面积S。2.

兔子要想不被狼条件？，求锐角应满足的NECBMDlA

15兔子躲狼[分析]兔子要想不被狼,则兔子从A跑到M的时间应比狼从B跑到M的时间要少，因此在已知速度的情况下，只需计算出AM、BM的路程即可，可选用解析几何模型。建立的坐标系：NEO

CyABMDx16ANEO

CBMDyx3

917x2x2x2x22v

v2a

4a2AM

(

y

2a)2BM

(

y

a)2

(

y

2a)2

(

y

a)2

(

y

)2

x2设A(0,2a)、B(0,a)、M(x,y),则所以只要满足兔子就将遭到不幸，上式化简得：066x22a

2

4a2

y

3

9圆面即兔子的所有不幸点构成一个以（0，2

a）为圆心3

4

a2

.以2

a为半径的圆面，S3要想兔子不被狼9，应过A作圆的切线，可以计算其与y轴的夹角为

，即当

时，兔子不会被狼

。18竞赛涉及的几何模型1995年:(A)飞机的安全飞行管理调度问题2000年:(D)空洞探测问题2001年:(A)三维血管的重建问题2002年:(A)汽车车灯的优化设计问题2008年:(A)数码相机定位2009年:(C)

和飞船的

测控2010年:(A)储油罐的变位识别与罐容表标定2012年:(B)

能小屋的设计19储油罐的变位识别与罐容表标定油位探针α地平线图2

储油罐纵向倾斜变位后示意图油

浮子

油出

油管油位探测装置注

检油

查口

口水平线（b）横向偏转倾斜后正截面图β地平线垂直线油位探针20竞赛涉及的几何模型2004GMCM-A：发现黄球并定位2006GMCM-C：维修线性流量阀时的内筒设计问题2007GMCM-B：机械臂运动路径设计问题2010GMCM-D：特殊工件磨削加工的数学建模2011GMCM-B：吸波材料与微波暗室问题的数学建模2012GMCM-B：空间飞行器主动段轨道估计与误差分析2012GMCM-D：基于

云图的风矢场（云导风）度量模型与算法探讨21线性流量阀的内筒设计能否通过选择内筒孔形状实现“过流面积”与内筒旋转角度成严格的线性关系？若不能，请设计内筒孔的形状，在“最大范围”内，使“过流面积”与内筒旋转角近似成线性关系？22吸波材料与微波暗室问题入射波墙壁吸收体基体2irhd反射波1r被测设备天线信号源1信号源2直接信号反射信号23二次反射信号暗室内壁吸波材料与微波暗室问题xyzO入射波设尖劈形状吸波体，尖劈沿x

方向为无限长。由射向角

（

z轴正向与入射线负方向的夹角）和方位角

（

x

轴正向与射线在xOy

平面上投影的夹角）确定入射波线的方向。假设尖劈材料垂直入射的反射率为

，斜入射时的反射率满足余弦法则，设入射波线的辐射强度为1单位。试建立入射波线在一个尖劈几何空缺间反射过程的数学模型，即刻画最终反射波线的方向，反射次数，反射波的辐射强度与已知反射率、诸几何参数之间的定量关系。24A125A2AmAm+1A3驾驶盲区26“完美停车”公式？http://n27/world/2009-12/14/content_12642272.htm“完美停车”公式？Professor

Simon

R.

Blackburn28“完美停车”公式？Source:

The

Geometry

of

Perfect

Parking

by

Simon

R.

Blackburn29Justifying

the

formulaHow

To

Park

Perfectly31海底测量32下表给出水面直角坐标(x,y)处水深

z，这是在低潮时测得的。如果船的吃水深度为5m，试问在矩形域75<x<200，-50<y<150

中行船应避免进入哪些区域？x(m)129195105y(m)7141281472213785z(m)4868688x(m)162162117y(m)-6-81345-6684-38z(m)9988949海底测量33巡逻艇追潜水艇我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。34巡逻艇追潜水艇35系统的改进目前的电子系统能迅速测出敌舰的种类、位置以及敌舰行驶速度和方向，自动制导系统能保证在发射后任一时刻都能对准目标。根据

，这种敌舰能在我军舰发射后T分钟作出反应并摧毁

。要求：改进电子

系统使能自动计算出敌舰是否在有效打击范围之内。36设我舰发射

时位置在坐标原点，敌舰在x轴正向d（km）处,

其行驶速度为

a

(km/h),

方向与x轴夹角为

,飞行线速度b

(km/h)。d易知t

时刻敌舰位置为(d+atcos,atsin)。设t

时刻

位置为(x(t),

y(t))37为了保持对准目标，

轨迹切线方向应为与敌舰的连线(

dx

)2dt

(

dy

)2

bdtdy

at

sin

y(t)dx d

at

cos

x(t)位置为(x(t),y(t)),则线速度d38bbbdy得下列微分方程组

dx

b

dtdx1

(

dy

)2

1

()2at

sin

y(t)d

at

cos

x(t)

dy

dt1

(

dx

)21

(

d

at

cos

x(t))2at

sin

y(t)(

dx

)2dtdt

(

dy

)2

bdy

at

sin

y(t)dx d

at

cos

x(t)39初始条件为x(0)=0,

y(0)=0,

对于给定的a,b,d,进行计算。当x(t)满足x(t)

d

+

a

t

cos出现交点，则认为已

目标。如果t

<T,则敌舰在打击范围内，可以发射。d40假设在

系统中设

a=90km/h,

b=450km/h,T=0.1h。求d,

的有效范围?解：有两个

情形容易算出。若

=0,

即敌舰正好背向行驶,即x轴正向。那么

直线飞行,

时间

t=d/(b-a)<T

得d=T(b-a)=36km若

=,即迎面驶来,类似地有d=T(a+b)=54km一般地,有36<d<54。41算法：对于测定的d

和，可用计算出t。如d=50,

=/2，写出M函数eg6_8fun，再用ode45求解算法：eg6_8abbbdy

dx

b

dtdx1

(

dy

)2

1

()2at

sin

y(t)d

at

cos

x(t)

dy

dt1

(

dx

)21

(

d

at

cos

x(t))2at

sin

y(t)42eg6_8funfunction

dy=missilefun(t,y,a,b,d,theta)%编程技巧：为了防止分母为0，加了一个1e-8dydx=(a*t*sin(theta)-y(2)+1e-8)/...(abs(d+a*t*cos(theta)-y(1))+1e-8);dy(1)=b/(1+dydx^2)^0.5;dy(2)=b/(1+dydx^(-2))^0.5;dy=dy(:);43离线算法：首先对于所有可能的d和，计算所需时间，从而对不同

，得d的临界值。具体应用时直接查表判断。eg6_8b.m指计算机模拟：对于任意选定的参数a,b,d,T和，利用动画制作指令getframe和动画令movie制作一个

追击敌舰演示工具>>eg6_8c(90,450,30,0.3*pi,0.1)44数学建模竞赛中的几点注意事项45数学模型(Mathematical

Model)和数学建模（Mathematical

Modeling)数学模型:

对于一个现实对象，为了一个特定目的,作出必要的简化假设，根据对象的内在规律，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。现实对象的信息现实对象的解答数学模型的解答表述解释验证46(归纳)数学模型求解(演绎)数学建模的全过程现实世界数学世界CUMCM评阅标准假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性。合理性：关键假设(不欣赏罗列大量无关紧要的假设);要对假设的合理性进行解释，正文中创造性：特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理正确性：不强调与“参考答案”的一致性和结果的精度；好方法的结果一般较好；但不一定是最好的