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一、最值问题解法举例一、枚举法例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？（北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。这样最多要试的次数为：3+2+1=6（次）。二、综合法例2x3=84A（x、A均为自然数）。A的最小值是«（1997年南通市数学通讯赛试题）分析与解根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2X2X3X7,因此x'=2X2X3X7XA,其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7,才能满足上述要求。即A的最小值为（2X3X3X7X7=）882。三、分析法例3一个三位数除以43,商是a,余数是b,（a、b均为自然数），a+b的最大值是多少？（广州市五年级数学竞赛试题）分析与解若要求a+b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。由乘除法关系得43a+b=一个三位数因为b是余数，它必须比除数小，即b<43b的最大值可取42。根据上面式子，考虑到a不能超过23。（因为24X43>1000,并不是一个三位数）当a=23时，43X23+10=999,此时b最大值为10.当a=22时，43X22+42=988,此时b最大值为42。显然，当a=22,b=42时，a+b的值最大，最值为22+42=64。四、公式法例4两个自然数的和为18,那么，这两个自然数的积的最大值为多少？（广州市小学数学竞赛试题）分析与解设两个正数分别为a、b,它们有以下几种关系，a+b》2J不或ab4（乎）,即当和一定时，积有最大值、积一定时，和有最小12/ 值，运用此公式，本题迎刃而解。abC 其中a+b=18所以，2匕<（同2=81（其中a=9,b=9取最大值）即这两个自然数的积的最大值为81,五、图表法例5某公共汽车从起点站开往终点站，中途共有9个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中从这一站到以后的每一站正好各有一位乘客上下车。为了使每位乘客都有座位。那么这辆汽车至少应有座位多少个？

分析与解根据题意，每站下车的乘客数最少要等于该站后面的车站数，列表如下:站次起点2345678910终点上车人数10987654321/下车人数12345678910从表中可以看出，车上乘客最多时，是在第五站乘客上下车后的人数，此时人数为(10+9+8+7+6)-(1+2+3+4)=30(人)所以这辆汽车至少应有座位30个。最大最小问题，涉及面广，判断最值的方法较多，上面所列举的仅是几种常见的解题方法。二、比和比例应用题错解例析例1某车间要加工2220个零件，单独做，甲、乙、丙三人所需工作时间的比是4：5：6。现在由三人共同加工，问完成任务时，三人各加工了多少个？错解由甲、乙、丙三人单独做所需工作时间的比是4：5：6,推出甲、乙、丙三人工作效率的比是6：5：4,用按比例分配的思路解。甲加工乙加工丙加工TOC\o"1-5"\h\z6 6 /人、甲加工乙加工丙加工2220X =2220X—=888（个）6+5+4 155, 人、2220X=2220X7T=740（个）+5+4 152200X=2200XA=592（个）+5+4 15评析上述解答错在把甲、乙、丙三人工作效率的比看成是6：5：4。诚然，如果甲、乙二人工作时间的比是4：5,那么，甲、乙二人工作效率的比就是5：4,这是正确的。但是，把甲、乙、丙三人工作时间的连比是4：5：6转化成甲、乙、丙三人工作效率的连比是6：5：4,那就大错了！不错，工作效率的比等于工作时间比的反比。从已知条件看，甲、乙二人工作时间的比是4：5,所以，甲、乙二人工作效率的比是5：4；乙、丙二人工作时间的比是5：6,所以，乙、丙二人工作效率的比是6：5。这里的“5：4"表示甲5份，乙4份，“6：5”表示乙6份，丙5分，两个比都是两重相比，其中同样表示“乙”有几份的数在前后两个比中并不相同，我们怎么能将这两个比直接变成甲、乙、丙三人工作效率的连比呢？显然，上述解答中把甲、乙、丙三人工作效率的连比看成是6：5：4,是错误的。—•—•—=15•12•10«正确的解答应当是：甲、乙、丙三人工作效率的比=4 5 6甲加工2220X——――=2220X—=900（个）12 12乙加工2220X――——=2220X—=720（个）丙加工2220X__22__=2220X^-=600（个）容易看出，因为5：4=15：12,6：5=12：10,所以，由上述“甲、乙二人工作效率的比是5：4,乙、丙二人工作效率的比是6：5”，也可以得到甲、乙、丙三人工作效率的比是是15：12：10.例2有两瓶同样重的盐水，甲瓶盐水盐与水重量的比是1：8,乙瓶盐水盐与水重量的比是1：5.现将两瓶盐水并在一起，问在混合后的盐水中盐与水重量的比是多少？错解认为在甲瓶盐水中，盐的重量是“1”，水的重量是“8”，在乙瓶盐水中，盐的重量是“1”，水的重量是“5”，于是，将两瓶盐水并在一起，便得到盐的重量是(1+1=)2,水的重量是(8+5=)13o(1+1)：(8+5)=2：13答：在混合后的盐水中盐与水重量的比是2：13。评析上述解答的主要错误是把两种物质重量的最简比，看成了就是两种物质具体重量的比。甲瓶盐水盐与水重量的比是1：8,不等于说在这瓶盐水中盐的重量是1千克，水的重量是8千克，乙瓶的情况也是一样。从已知条件可以看出，在甲瓶盐水中，盐有1份，水有8份，盐和水一共有(1+8=)9(份)，在乙瓶盐水中，盐有1份，水有5份，盐和水一共有(1+5=)6(份)。因为两瓶盐水是“同样重”，但甲瓶有9份，乙瓶只有6份，所以，可见两瓶盐水中每“1份”的重量有多少是不相同的。上述解答简单地将两瓶盐水中每份重量不同的盐和水的份数分别相加，然后再将两个“和”组成一个比，便造成了解答的错误。正确的解答是:1：8=2：16,2+16=18；1：5=3：15,3+15=10。(2+3)：(16+15)=5：31答：在混合后的盐水中盐与水重量的比是5：31。第三讲数论的方法技巧之一小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有：.带余除法：若a,b是两个整数，b>0,则存在两个整数q,r,使得a=bq+r(0<rVb),且q,r是唯一的。特别地，如果厂0,那么a=bq。这时，a被b整除，记作b|a,也称b是a的约数，a是b的倍数。.若a|c,b|c,且a,b互质，则ab|c。.唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即玲p”3， (0其中pi<p2O“<pk为质数，al,a2,…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。(1)式称为n的质因数分解或标准分解。.约数个数定理：设n的标准分解式为(1),则它的正约数个数为：d(n)=(ai+1)(a2+l)•••(ak+1),.整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。因此，不等式x<y与xWyT是等价的。下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有：.十进制表示形式：n=an1On+an-11On-1+•,,+ao;.带余形式：a=bq+r；.标准分解式：P；时“卜.2的乘方与奇数之积式：n=2mt,其中t为奇数。例1红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？画便］回国解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3,a2,al,a0,则这个四位数可以写成lOOOa3+lOOa2+lOai+ao,它的各位数字之和的10倍是10(a3+a2+ai+ao)=10a3+10a2+10ai+10a0,这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是990a3+90a2-9a0=1998,110a3+10a2-aO=222o比较上式等号两边个位、十位和百位，可得ao=8,a2=l,a3=2o所以红色卡片上是2,黄色卡片上是1,蓝色卡片上是8。例2在一种室内游戏中，魔术师要求某参赛者想好一个三位数友，然后，魔术师再要求他记下5个数藐，说，而，诬，并把这5个数加起来求出和N。只要参赛者讲出N的大小，魔术师就能说出原数诙是什么。如果N=3194,那么近是多少？解：依题意，得acb+bac+bca+cab+cba=3194。等号两边同时加上忘，得222(a+b+c)=3194+abc,222(a+b+c)=222X14+86+abc。由此推知诙'+86是222的倍数，且a+b+c>14。设abc+86=222n,考虑到ab溪:三位数，依次取n=l,2,3,4,分别得出荻的可能值为136,358,580,802,再结合a+b+c>14,可知原三位数abc=358。说明：求解本题所用的基本知识是，正整数的十进制表示法和最简单的不定方程。例3从自然数1,2,3,…，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？解：设a,b,c,d是所取出的数中的任意4个数，则a+b+c=18m,a+b+d=18n,其中m,n是自然数。于是c-d=18(m-n)。上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r,则a=18ai+r,b=18bi+r,c=18ci+r,其中ai,bi,ci是整数。于是a+b+c=18(ai+bi+ci)+3r«因为18(a+b+c),所以18|3r,即6|r,推知r=0,6,12。因为1000=55X18+10,所以，从1,2,…，1000中可取6,24,42,…，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除。例4求自然数N,使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内，它共有10个约数。解：把数N写成质因数乘枳的形式N=2'1X35X5,X7%X…P：由于N能被5和72=49整除，故a32l,a422,其余的指数ak为自然数或零。依题意，有(ai+1)(a2+l)…(an+1)=10»由于a3+l22,a4+l23,且10=2*5,故ai+l=a2+l=a5+l=".=an+]=],即ai=a2=a5="an=0,N只能有2个不同的质因数5和7,因为a4+l23>2,故由(a3+l)(a4+l)=10知，a3+l=5»a4+l=2是不可能的。因而a3+l=2,a4+l=5,KPN=5!'X75-5X7,=120051.例5如果N是1,2,3,…，1998,1999,2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积？解：因为2吐1024,2"=2048>2000,每一个不大于2000的自然数表示为质因数相乘，其中2的个数不多于10个，而1024=2、所以，N等于10个2与某个奇数的积。说明：上述5例都是根据题目的自身特点，从选择恰当的整数表示形式入手，使问题迎刃而解。二、枚举法枚举法(也称为穷举法)是把讨论的对象分成若干种情况(分类)，然后对各种情况逐一讨论,最终解决整个问题。运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。例6求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。分析与解：三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x,y,z.由于任何数除以11所得余数都不大于10,所以X2+y2+Z2W10,从而l《xW3,0Wy<3,0WzW3。所求三位数必在以下数中：TOC\o"1-5"\h\z100, 101, 102, 103, 110, 111, 112,121, 122, 130, 200, 201, 202,211, 212, 220, 221, 300, 301, 310。不难验证只有100,101两个数符合要求。例7将自然数N接写在任意一个自然数的右面(例如，将2接写在35的右面得352),如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数。问：小于2000的自然数中有多少个魔术数？解：设P为任意一个自然数，将魔术数N(N<2000)接后得函，下面对N为一位数、两位数、三位数、四位数分别讨论。(1)当N为一位数时，PN=10P+N,依题意N]函，则N]10P,由于需对任意数P成立，故NJ】。，所以N=l，2,5；(2)当地两位数时，PN=100P+N,依题意N]函，贝UN]100P,故N|100,所以N=10,20,25,50；(3)当讷三位数时，PN=1000P+N,依题意N]函，则N]1000P,故NI1000,所以N=100,125,200,250,500；(4)当N为四位数时，同理可得N=1000,1250,2000,2500,5000«符合条件的有为00,1250。综上所述，魔术数的个数为14个。说明：(1)我们可以证明：k位魔术数一定是10k的约数，反之亦然。(2)这里将问题分成几种情况去讨论，对每一种情况都增加了一个前提条件，从而降低了问题的难度，使问题容易解决。例8有3张扑克牌，牌面数字都在10以内。把这3张牌洗好后，分别发给小明、小亮、小光3人。每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，3人各自记录的数字的和顺次为13,15,23o问：这3张牌的数字分别是多少？解：13+15+23=51,51=3X17。因为17>13,摸17次是不可能的，所以摸了3次，3张扑克牌数字之和是17,可能的情况有下面15种：TOC\o"1-5"\h\z①1,6, 10 ②1, 7, 9 ③1, 8, 8④2,5, 10 ⑤2, 6, 9 ⑥2, 7, 8⑦3,4, 10 ⑧3, 5, 9 ⑨3, 6, 8⑩3,7,7 (11)4,4,9(12)4,5,8(13)4,6,7(14)5,5,7(15)5,6,6只有第⑧种情况可以满足题目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23»这3张牌的数字分别是3,5和9。例9写出12个都是合数的连续自然数。分析一：在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90,91,92,93,94,95,96。我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。解法1：用筛选法可以求得在113与127之间共有12个都是合数的连续自然数：114,115,116,117,118,119,120,122,123,124,125,126。分析二：如果12个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数……第12个是13的倍数，那么这12个数就都是合数。又m+2,m+3,…，m+13是12个连续整数，故只要m是2,3, 13的公倍数，这12个连续整数就一定都是合数。解法2：设m为2,3,4,…，13这12个数的最小公倍数。m+2,m+3,m+4,…，m+13分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数……13的倍数，因此12个数都是合数。说明:我们还可以写出13!+2,13!+3,…，13!+13(其中n!=1X2X3X-Xn)这12个连续合数来。同样，(m+1)!+2,(m+1)!+3,…，(m+1)!+m+l是m个连续的合数。三、归纳法当我们要解决一个问题的时候，可以先分析这个问题的几种简单的、特殊的情况，从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径。这种从特殊到一般的思维方法称为归纳法。例10将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫做一次操作：(1)将左边第一个数码移到数字串的最右边；(2)从左到右两位一节组成若干个两位数：(3)划去这些两位数中的合数；(4)所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；(5)所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。问：经过1999次操作，所得的数字串是什么？解：第1次操作得数字串711131131737；第2次操作得数字串11133173；第3次操作得数字串111731；第4次操作得数字串1173；第5次操作得数字串1731；第6次操作得数字串7311；第7次操作得数字串3117；第8次操作得数字串1173。不难看出，后面以4次为周期循环，1999=4X499+3,所以第1999次操作所得数字串与第7次相同,是3117。例11有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？分析与解：可以从简单的不失题目性质的问题入手，寻找规律。列表如下：卡片总数1234567891011121314151617・・・剩下第几张122424682468101214162・・・设这一摞忤片的张数为N,观察上表可知：(1)当N=2*(a=0,1,2,3,•••)时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后一张，即第2张;(2)当N=2，+m(m<20时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第2m张。取N=100,因为100=2叶36,2X36=72,所以剩F这张卡片是原来那一摞卡片的第72张。说明：此题实质上是著名的约瑟夫斯问题：传说古代有一批人被蛮族俘虏了，敌人命令他们排成圆圈，编上号码1,2,3,…然后把1号杀了，把3号杀了，总之每隔一个人杀一个人，最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫斯。如果这批俘虎有111人，那么约瑟夫斯的号码是多少？例12要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个祛码？这些祛码的重量分别是多少？分析与解：一般天平两边都可放硅码，我们从最简单的情形开始研究。(1)称重1克，只能用一个1克的祛码，故1克的一个技码是必须的。(2)称重2克，有3种方案：①增加一个1克的祛码：②用一个2克的祛码；③用一个3克的祛码，称重时，把一个1克的磋码放在称重盘内，把3克的祛码放在祛码盘内。从数学角度看，就是利用3-1=2。(3)称重3克，用上.面的②③两个方案，不用再增加住码，因此方案①淘汰。(4)称重4克，用上面的方案③，不用再增加祛码，因此方案②也被淘汰。总之，用1克、3克两个祛码就可以称出(3+1)克以内的任意整数克重。(5)接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用(3+1)=5,即用一个9克重的祛码放在祛码盘内，1克、3克两个祛码放在称重盘内。这样，可以依次称到1+3+9=13(克)以内的任意整数克重。而要称14克时，按上述规律增加一个祛码，其重为14+13=27(克)，可以称到1+3+9+27=40(克)以内的任意整数克重。总之，祛码的重量为1,3,3、3,克时，所用祛码最少，称重最大，这也是本题的答案。这个结论显然可以推广，当天平两端都可放祛码时，使用1,3,32,于“克硅码可以称出1,2,3,…，：(3*1)克重的重量。这是使用祛码最少、称重最大的祛码重量设计方案。第四讲数论的方法技巧之二四、反证法反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。反证法的过程可简述为以下三个步骤：.反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立；.归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；.结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。运用反证法的关键在于导致矛盾。在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。例1是否存在三位数abc,使得abc=ab+bc+ac?解：如果存在这样的三位数，那么就有100a+10b+c=(10a+b)+(10b+c)+(10a+c)«上式可化简为80a=b+c.而这显然是不可能的，因为ael,bW9,c<9。这表明所找的数是不存在的。说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。例2将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+cW9。将已知数的前两位数字a,b与末两位数字c,d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。故和的数字中必有偶数。ab…cdde…ba说明：显然结论对(4k+l)位数也成立。但对其他位数的数不一定成立。如12+21,506+605等。例3有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币：当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。小红由1枚1分硬币和1枚5分硬币开始，反复将硬币塞入机器，能否在某一时刻，小红手中1分的硬币刚好比1角的硬币少10枚？解：开始只有1枚1分硬币，没有1角的，所以开始时1角的和1分的总枚数为0+1=1,这是奇数。每使用一次该机器，1分与1角的总枚数记为Q。下面考查Q的奇偶性。如果塞入1枚1分的硬币，那么Q暂时减少1,但我们取回了1枚1角的硬币(和1枚5分的硬币)，所以总数Q没有变化；如果再塞入1枚5分的硬币(得到4枚1角硬币)，那么Q增加4,而其奇偶性不变；如果塞入1枚1角硬币，那么Q增加2,其奇偶性也不变。所以每使用一次机器,Q的奇偶性不变，因为开始时Q为奇数，它将一直保持为奇数。这样，我们就不可能得到1分硬币的枚数刚好比1角硬币数少10的情况，因为如果我们有P枚1分硬币和(P+10)枚1角硬币，那么1分和1角硬币的总枚数为(2P+10),这是一个偶数。矛盾。例4在3X3的方格表中已如右图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？为什么？解：因为表中9个质数之和恰为100,被3除余1,经过每一次操作，总和增加3的倍数，所以表中9个数之和除以3总是余1。如果表中9个数变为相等，那么9个数的总和应能被3整除，这就得出矛盾！所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为9个相同的数。五、构造法构造法是一种重要的数学方法，它灵活多样，数论中的许多问题都可以通过构造某些特殊结构、特殊性质的整数或整数的组合来解决。例599”和99!能否表示成为99个连续的奇自然数之和？解:99”能。因为99"等于99个99”之和,所以可以直接构造如下：9999=(99"~98)+(99"-96)+…+=(99^-2)+99计(99^+2)+—+=(99'+96)+(99-,+98).99!不能。因为99!为偶数，而99个奇数之和为奇数，所以99!不能表示为99个连续奇数之和。说明：利用构造法证明存在性问题，只要把满足题设要求的数学对象构造出来就行。例6从1,2,3,…，999这999个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积。应划去哪些数？解：我们可划去2,3,…，30,31这30个数，因为划去了上述这30个数之后，余下的数中，除1以外的任何两个数之积将大于32。=1024>999。另一方面，可以通过构造三元数组来证明30是最少的个数。(2,61,2X61),(3,60,3X60),(4,59,4X59),…，(30,33,30X33),(31,32,31X32)。上面写出的这些数都是互不相同的，并且这些数中的最大数为31X32=992。如果划去的数少于30个，那么上述三元数组至少剩下一个，这样就不满足题设条件。所以，30是最少的个数。六、配对法配对的形式是多样的，有数字的凑整配对，也有集合间元素与元素的配对(可用于计数)。传说高斯8岁时求和(1+2+…+100)首创了配刻。像高斯那样，善于使用配对技巧，常常能使•些表面上看来很麻烦，甚至很棘手的问题迎刃而解。例7求1,2,3,…，9999998,9999999这9999999个数中所有数码的和。解：在这些数前面添一个数0,并不影响所有数码的和。将这1000万个数两两配对，因为。与9999999,1与9999998,…,4999999与5000000各对的数码和都是9X7=63。这里共有5000000对，故所有数码的和是63X5000000=315000000..例8某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。例如号码0734,因0+7=3+4,所以这个号码的购物券是幸运券。试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。解：显然，号码为9999的是幸运券，除这张幸运券外，如果某个号码n是幸运券，那么号码为m=9999-n的购物券也是幸运券。由于9999是奇数，所以mHn。由于m+n=9999,相加时不出现进位，所以除去号码是9999这张幸运券之外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999,即所有幸运券号码之和是9999的倍数。因为9999=99X101,所以所有幸运券号码之和能被101整除。例9已知最简分数巴可以表示成：nTOC\o"1-5"\h\zm«11 1—=1+-+-+…+—On23 88试说明分子m是质数89的倍数。解法一：仿照高斯求和(1+2+3+…+n)的办法，将和的各项顺序倒过来再写一遍，即1,11 ,,m888786 n①②两式相加，得双X包+3_+…+竺=细88 2X873X86 88n从而2mX88!=89Xk(k是正整数),因为89为奇质数，所以89不能整除88!,从而89|m。解法二：作配对处理

将括号内的分数进行通分，其公分母为1X88X2X87X3X86X将括号内的分数进行通分，其公分母为1X88X2X87X3X86X…X44X45=88!,故 巴=的X袅（q是正整数），n88!从而mX88!=89Xk（k=nXq）。因为89为奇质数，所以89不能整除88!,从而89E。七、估计法估计法是用不等式放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，以获取有关量的本质特征，达到解题的目的。在数论问题中，一个有限范围内的整数至多有有限个，过渡到整数，就能够对可能的情况逐一检验，以确定问题的解。例10已知一个整数等于4个不同的形如上一（m是整数）的真分数之和，TOC\o"1-5"\h\zm+1 求这个数，并求出满足题意的5组不同的真分数。解：因每一真分数满足1rm <1,2 m+1推知S=3。于是可得如下5组不同而所求的数整推知S=3。于是可得如下5组不同T T 2 6 41,(2 3 7 42JT 2 9 14'12 3 10 15],135 111.2* 4* 6* 12J,12723,

(23824J1 3 4 19,2 4 5 20J例11已知在乘积1X2X3X…Xn的尾部恰好有106个连续的零，求自然数n的最大值。分析：若已知n的具体数值，求1X2X…Xn的尾部零的个数，则比较容易解决，现在反过来知道尾部零的个数，求n的值，不大好处理，我们可以先估计n大约是多少，然后再仔细确定n的值。解：当n=400时，数1,2,3,…，400中共有［竽=80个数是5的倍数，其中有等=16个数是外的倍数，有［等］=3个数是53的倍数。因此，乘积1X2X3X…X400中含质因数5的个数为80+16+3=99（个）。又乘积中质因数2的个数多于5的个数，故n=400时，1X2X…Xn的尾部有99个零，还需7个零，注意到425中含有2个质因数5,所以当n=430时,1X2X…Xn的尾部有106个零；当n=435时，1X2X…Xn的尾部有107个零。因此，n的最大值为434。四、表针追及问题分析时针12时整，时针和分针重合，问经过多长时间两针又重合呢？”一般可根据“1分，分针比时针多转动的角度数”和“1时，分针比时针多走的圈数”给出两种解答的方法。在此，我们用高观点来分析这道题。我们把时针12时整，时针和分针重合，看作它们相距一周，也就是分针60分的距离，两针再次重合，就可以看成是分针“追赶”时针的问题。分针先走完一-圈，所需时间为60分，由于分针的速度是时针速度的12倍，这时时针又向前走了“相当于”分针患分（即5分）的路程，分针要“追”上时针，分针又必须走完这5分的路程，而这时时针又向前走了“相当于”分针墨分的路程；分针要追上时针，又必须走完笛的路程……。以此类推，分针“追上”时针，亦即两针再次重合所需的时间，就是分针走完各段所需的时间组成的一个无穷等比数列：60,称，熊……各项的和，而其和为S=T、=-A~=651■分。因此两针再次重合需要652分的时间。1-q 11 1112第五讲整数问题之一整数是最基本的数，它产生了许多有趣的数学问题.在中、小学生的数学竞赛中，有关整数的问题占有重要的地位.我们除了从课本上学习整数知识以外，还必须通过课外活动来补充一些整数的知识，以及解决问题的思路和方法。对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示：49=4X10+9,235=2X100+3X10+5,7064=7X1000+6X10+4,有时我们用字母a,b,…表示数字.例如，abcde是一个五位数,也就是^d?=aX10000+bX1000+cX100+dX10+e一、整除整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b,商是整数且余数为0,我们就说a能被b整除，或b能整除a,或b整除a,记作bIa.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数..整除的性质性质1如果a和b都能被m整除，那么a+b,a-b也都能被m整除（这里设&b）.例如：3I18,3I12,那么3I（18+12）,3I（18-12）.性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。例如：3|6,6|24,那么3|24.性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除.例如：6|36,9|26,6和9的最小公倍数是18,18|36.如果两个整数的最大公约数是1,那么它们称为互质的.例如：7与50是互质的，18与91是互质的.性质4整数a,能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被bXc整除.例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除.性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质，它们的最小公倍数是bXc.事实上，根据性质4,我们常常运用如下解题思路：要使a被bXc整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.能被2,3,4,5,8,9,11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题..数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么它必能被5整除.（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.例1四位数五而能被18整除，要使这个四位数尽可能的小，/叱是什么数字？解：18=2X9,并且2与9互质，根据前面的性质4,可以分别考虑被2和9整除.要被2整除，b只能是0,2,4,6,8.再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果b=0,只有a=7,此数是7740：如果b=2,只有a=5,此数是7542；如果b=4,只有a=3,此数是7344；如果b=6,只有a=l,此数是7146；如果b=8,只有a=8,此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.例2一本老账本上记着：72只桶，共口67.9口元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.解：把口67.9□写成整数679,它应被72整除.72=9X8,9与8又互质.按照前面的性质4,只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b=2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a=3.这笔帐是367.92元.例3在1,2,3,4,5,6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数(有些数字可以重复出现)，使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字5,组成数的最后一位数字就必须是5,这样就不能被偶数2,4,6整除，也就是不能选2,4,6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5,而选其他五个数字1,2,3,4,6.1+2+3+4+6=16,为了能整除3和6,所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2,16+2=18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4四位数7口4口能被55整除，求出所有这样的四位数.解：55=5X11,5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.要被5整除，个位数只能是0或5.再考虑被11整除.(7+4)-(百位数字+0)要能被11整除，百位数字只能是0,所得四位数是7040.(7+4)-(百位数字+5)要能被11整除，百位数字只能是6(零能被所有不等于零的整数整除)，所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个：7040,7645.例5一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？解：为了使这个数最大，先让前五位是98765,设这个七位数是98765ab,要使它被11整除，要满足(9+7+5+b)-(8+6+a)=(21+b)-(14+a)能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0,1,2,3,4中的两个数，只有b=4,a=0,满足条件的最大七位数是9876504.再介绍另一种解法.先用各位数字均不相同的最大的七位数除以H(参见下页除式).要满足题目的条件，这个数是9876543减6,或者再减去11的倍数中的一个数，使最后两位数字是0,1,2,3,4中的两个数字.89786711/9876543/88Tor9986779588U668377

643-6=37,37-11=26,26-11=15,15-11=4,因此这个数是9876504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？（答：1023495）例6某个七位数1993口口口能被2,3,4,5,6,7,8,9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？与上例题一样，有两种解法.解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外，只要再分别考虑它能被9,8,7整除.1+9+9+3=22,要被9整除，十位与百位的数字和是5或14,要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：1993500,1993320,1993680,其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.解二：直接用除式来考虑.2,3,4,5,6,7,8,9的最小公倍数是2520,这个七位数要被2520整除.现在用1993000被2520来除，具体的除式如下：792520/1993000/176402290022680

~2200-因为2520-2200=320,所以1993000+320=1993320能被2520整除.例7下面这个41位数20个520个9能被7整除，中间方格代表的数字是几？解：因为111111=3X7X11X13X37,所以555555=5X111111和999999=9X111111都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.原数二p•夕噂产+55099叩…g+罟”学18个5 23个0 larfo18海右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55口99能被7整除，原数就能被7整除.把55口99拆成两个数的和：55A00+B99,其中口=人+8.因为7|55300,7|399,所以口=3+3=6.注意，记住111111能被7整除是很有用的.例8甲、乙两人进行下面的游戏.两人先约定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字之一填入下面任一个方格中每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字(数字可重复)后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜：如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.如果N小于15,当N取哪几个数时，乙能取胜？解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数(六位数的个位)，就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N=5,甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜.上面已经列出乙不能获胜的N的取值.如果N=l,很明显乙必获胜.如果N=3或9,那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9的整数倍.因此，乙必能获胜.考虑N=7,11,13是本题最困难的情况.注意到1001=7X11X13,乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2,这个六位数，能被7,11或13整除，乙就能获胜.综合起来，使乙能获胜的N是1,3,7,9,11,13.记住，1001=7X11X13,在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.二、分解质因数一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数(也叫素数).例如，2,5,7,101,个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4,12,99,501,….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.质数中只有一个偶数，就是2,其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15,33,….例9O+(□+△)=209.在O、口、△中各填一个质数，使上面算式成立.解：209可以写成两个质数的乘积，即209=11X19.不论。中填11或19,口+△一定是奇数，那么口与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2,不妨假定△内填2.当。填19,口要填9,9不是质数，因此。填11,而口填17.这个算式是11X(17+2)=209,11X(2+17)=209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2,3,7,都是42的质因数,6,14也是42的因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如360=2X2X2X3X3X5.还可以写成360=2叹片><5.这里2,表示3个2相乘，3?表示2个3相乘.在2,中，3称为2的指数，读作2的3次方，在3?中，2称为3的指数，读作3的2次方.例10有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040,那么，他们的年龄各是多少？解：我们先把5040分解质因数5040=2'X32X5X7.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：2'X32X5X7=7X8X9X10.所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数(包括1和它本身).为寻求--般方法，先看一个简单的例子.我们知道24的约数有8个：1,2,3,4,6,8,12,24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.因为24=2，X3,所以24的约数是2)的约数(1,2,2、2、)与3的约数(1,3)之间的两两乘积.1X1,1X3,2X1,2X3,22X1,22X3,23X1,2jX3.这里有4X2=8个，即(3+1)X(1+1)个，即对于24=2'X3中的有(3+1)种选择：1,2,22,23,对于3有(1+1)种选择.因此共有(3+1)X(1+1)种选择.这个方法，可以运用到一般情形，例如，144=2'X3?.因此144的约数个数是(4+1)X(2+1)=15(个).例11在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.解：有8=7+1；8=(3+1)X(1+1)两种情况.27=128,符合要求，37>150,所以不再有其他7次方的数符合要求.23=8,8X13=104,8X17=136,符合要求.3'=27：只有27X5=135符合要求.6=135,它乘以任何质数都大于150,因此共有4个数合要求：128,104,135,136.利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如720=2'X32X5,168=23X3X7.那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2,较低指数次方是2*类似地都含有3,因此720与168的最大公约数是2JX3=24.在求最小公倍数时,很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5,而168中无5,可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是2'X32X5X7=5040.例12两个数的最小公倍数是180,最大公约数是30,已知其中一个数是90,另一个数是多少？解：180=22X32X5,30=2X3X5.对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从才与2就知道，一数中含2、另一数中含2；从3,与3就知道，一数中含3、另一数中含3,从一数是就知道另一数是22X3X5=60.还有一种解法：另--数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找30,60,90,120,….这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180,最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.例13有-一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？解：把420分解质因数420=2X2X3X5X7.为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2）,要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是3,4,5,1,12,15,20.分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是3 4 5 7 12105'84'60'35'28'21从小到大排列中第三个是总.两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.例13实质上是把420分解成两个互质的整数.利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.例14将8个数6,24,45,65,77,78,105,110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.6=2X3,24=2,3,45=3ZX5,65=5X13,77=7X11,78=2X3X13,105=3X5X7,110=2X5X11.先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6,78,110放在第二组中，为了平衡质因数11和13,必须把77和65放在第一组中.看质因数7,105应放在第二组中，45放在第•组中，得到第一组：24,65,77,45.第二组:6,78,110,105.在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词一完全平方数.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.例如：4=2X2,9=3X3,144=12X12,625=25X25.4,9,144,625都是完全平方数.一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.例如：144=32X4\100=22X52,…例15甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800,那么甲数和乙数分别是多少？解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800=2'X52X7.在它含有的约数中是完全平方数，只有22,2',52,22X52,2'X52.在这6个数中只有22X52=100,它的约数是（2+1）X（2+1）=9（个）.2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100=22X5、因此乙数至少要含有2'和7,而2'X7=112恰好有（4+1）X（1+1）=10（个）约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100,乙数是112.例16小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？解：35=5X7.红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5=12（元）和17-7=10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.记住：对笔价来说，已排除了5,7,10,12这四个数.笔价不能是35-17=18（元）的约数.如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数：1,2,3,6,9.当然也不能是17是=16,17-2=15,17-3=14,17-6=11,17-9=8.现在笔价又排除了：2,3,6,8,9,11,14,15,16.综合两次排除，只有4与13未被排除，而4+13=17,就知道红笔每支13元，蓝笔每支4元三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如95+3,48+5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：654-3=21 2, 384-5=7 3.上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是被除数+除数=商……余数.上面两个算式可以写成65=3X21+2,38=5X7+3.也就是被除数=除数X商+余数.通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.例175397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.解：这个质数能整除5397-15=5382,而5382=2X31997X13X23.因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.例18求645763除以7的余数.解：可以先去掉7的倍数630000余15763,再去掉14000还余下1763,再去掉1400余下363,再去掉350余13,最后得出余数是6.这个过程可简单地记成645763fl5763—1763f363f13f6.如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：645763fl5000—1000-6.带余除法可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.例19有一个大于1的整数，它除967,1000,2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除967,1000,2001的两两之差，即1000-967=33=3X11,2001-1000=1001=7X11X13,2001-967=1034=2X11X47.这个整数是这三个差的公约数11.请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.例如,求出差1000求67与2001-1000,那么差2001-967=(2001-1000)+(1000-967)=1001+33=1034.从带余除式，还可以得出下面结论：甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.例如，57被13除余5,152被13除余9,那么57+152=209被13除，余数是5+9=14被13除的余数1.例20有一串数排成一行，其中第一个数是15,第二个数是40,从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3,就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数,列表如下：数的序号一二三四五-X.七八九十被3除余数0112022101从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为1998=8X249+6,所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.这十二个数构成一个循环.按照七天一轮计算天数是日，一，二，三，四，五，六.这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数0,1,2,3,4,5,6的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12,7个数的循环，就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事.下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.例如，37被11除余4,27被11除余5,37X27=999被11除的余数是4X5=20被11除后的余数9.1997=7X285+2,就知道1997X1997被7除的余数是2X2=4.例2119.被7除余几？解：从上面的结论知道，19,被7除的余数与2'项被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.先写出一列数2,2X2=4,2X2X2=8,2X2X2X2=16,….然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：数的序号—*二三四五六七A数248163264128256被7除的余数24124124事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2,再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道,第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.1997=3X665+2.就知道2咧被7除的余数，与2的被7除的余数相同，这个余数是4.再看一个稍复杂的例子.例2270个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0,1,3,8,21,55,….问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：3=IX3-0,8=3X3-1,21=8X3-3,55=21X3-8,不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：将前一个数的余数乘3,减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下:数的序号一二三四五六七八九十十一十二十三十四数01382155144377-被6除的余数0132310534 3 5 0 1注意，在算第八个数的余数时，要出现0X3-1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以0X3加6再来减1.从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是12.70=12X5+10.因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数.这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.例23有一个数，除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：5,8,11,14,17,20,23-.它们除以12的余数是：5,8,11,2,5,8,11,….除以4余1的数有：5,9,13,17,21,25,29,….它们除以12的余数是：5,9,1,5,9,一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数.这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12X整数，整数可以取0,1,2,…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2,除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例24一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的最小数.解：先列出除以3余2的数：5,8,11,14,17,20,23,26,…，再列出除以5余3的数：8,13,18,23,28,….这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15X整数，列出这一串数是8,23,38,…，再列出除以7余2的数2,9,16,23,30,…，就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.最后再看一个例子.例25在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除,最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10,下一个连续的自然数是11.3和5的最小公倍数是15,考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11+15X3=56能被7整除，那么54,55,56这三个连续自然数，依次分别能被3,5,7整除.为了满足“在100至200之间”将54,55,56分别加上3,5,7的最小公倍数105.所求三数是159,160,161.注意，本题实际上是：求一个数（100〜200之间），它被3整除，被5除余4,被7除余5.请考虑，本题解法与例24解法有哪些相同之处？六、整数分拆例析例1将14分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，应该如何分拆？分析与解不考虑加数顺序，将14分拆成两个自然数的和,有1+13,2+12,3+11,4+10,5+9,6+8,7+7共七种方法。经计算，容易得知，将14分拆成7+7时，有最大积7X7=49。例2将15分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的枳最大，如何分拆？分析与解不考虑加数顺序，可将15分拆成下列形式的两个自然数的和：1+14,2+13,3+12,4+11,5+10,6+9,7+8。显见，将15分拆成7+8时，有最大积7X8=56。注：从上述两例可见，将一个自然数分拆成两个自然数的和时，如果这个自然数是偶数2m,当分拆成m+m时，有最大积mXmF、如果这个自然数是奇数2m+l,当分拆成m+（m+1）时，有最大积mX（m+1）.例3将14分拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积最大，如何分拆？分析与解显然，只有使分拆成的数之间的差尽可能地小（比如是0或1）,这样得到的积才最大。这样不难想到将14分拆成4+5+5时，有最大积4X5X5=100。例4将14分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积最大，如何分拆？分析与解首先应该考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。首先分拆成的数中不能有1，这是显而易见的。其次分成的数中不能有大于4的数，不然的话，将这个数再拆成2与另一个自然数的和，这两个数的积一定比原数大。比如5=2+3,但5比2X3=6小。又因为4=2X2,因此，可以考虑将14分拆成若干个2或3了。注意到2+2+2=6,2X2X2=8；3+3=6,3X3=9.因此，分拆成的数中如果有三个2,还不如换成两个3。这样可知，分拆成的数中至多只能有两个2,其余都是3。综合上述结果，应该将14分拆成四个3与一个2之和，即14=3+3+3+3+2,这样可得到五个数的最大积3X3X3X3X2=162。上述几例是关于如何将一个自然数分拆成若干个自然数的和，并使它们的根最大的问题。下面两例则是如何将一个自然数按题H要求拆成若干个连续自然数的问题。例5将1994分拆成若干个连续自然数的和，一共有多少种不同的方法？分析与解因1994=997X2=492+493+494+495,仅一种方法。所以，该题有唯一解。例6将35分拆成若干个连续自然数的和，一共有多少种不同的方法？分析与解由于35=5X7=7X5,因此35可以分拆成2+3+4+5+6+7+8或5+6+7+8+9,一共有两种方法。第七讲工程问题工作量=工作效率义时间.一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，因此甲的工作效率是乙的工作效率是我们想求两人合作所需时间，就要先求两人合作的工作效率5+《，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量+工作效率=1+（-^―+1015=6（天）•两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是304-（3+2）=6（天）实际上我们把1+（［+±）这个算式，先用30乘了一下，都变成整1015数计算，就方便些.10天与15天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系.看：《=3:2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15：10=3：2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也. . 一一 3 3是非常实用的.根据3：2,两人合作时，甲应完成全部工作的义=!所3+25需时间是310X5=6（天）.因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.一、两个人的问题标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？3 1解一：甲做了3天，完成的工作量是，=｝乙还需完成的工作量是1121_—=一331 2乙每天能完成的工作量（工作效率）是:，完成余下;工作量所需时0 5间是答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是（18-2X3）+3=4（天）.解三：甲与乙的工作效率之比是6：9=2：3.甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.例2一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解：共做了6天后，原来，甲做24天，乙做24天，现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的白|.如果乙独做，所需时间是2 ,、30+30X-=50（天）如果甲独做，所需时间是2 ,、50+?=75（天）.答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.例3某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成：如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？解：先对比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的工作效率是乙的工作效率的芸=2（倍）.153甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做421X—=28（天），因此，乙还要做28+28=56（天）.答：乙还需要做56天.例4一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是（吟+全新1（天）'2+8+1=11（天）.答：从开始到完工共用了11天.解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作（30-3X8-IX2）4-（3+1）=1（天）.解三：甲队做1天相当于乙队做3天.在甲队单独做8天后，还余下（甲队）10-8=2（天）工作量.相当于乙队要做2X3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.4=3+1,其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.例5一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是16x（—+—）=11,2030， 3由于两队休息期间未做的工作量是乙队休息期间未做的工作量是11-11———X3=—

320 60乙队休息的天数是答：乙队休息了5天半