勾股定理单元复习与巩固(6月19日)

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知识网络

目标认知

学习目标：

1、了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；

2、理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；

3、能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．

重点：

勾股定理及其逆定理的应用

难点：

勾股定理及其逆定理的应用

知识要点梳理

知识点一：勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）

要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

知识点二：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：

用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。

知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

知识点四：互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导

1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错

误。

4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，那么这个三角形是直

角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．

5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加

深对“数形结合”的理解．中考题萃

一、填空题

1.（甘肃省白银市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为____________．

2.（江西省）如图，已知点F的坐标为(3，0)，点A、B分别是某函数图象与x轴，y轴的交点，点P是此图

像上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5-x(0≤x≤5),则结论：

①AF=2；②BF=5；③OA=5；④OB=3中，正确结论的序号是______________.

3.（永州）一棵树因雪灾于A处折断，，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC约45°，树干

AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为____________米（答案可保留根号）．

4.（湖州市）利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的

定理，这个定理称为____________，该定理的结论其数学表达式是____________．

5.（荆州市）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)，在上盖中开有

一孔便于插吸管，吸管长为13㎝，小孔到图中边AB距离为1㎝，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，

设插入吸管后露在盒外面的管长为h㎝，则h的最小值大约为_________㎝.（精确到个位，参考数据：

）

二、选择题

1.（荆门大纲）园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知米，米，米，

米，且，这块草坪的面积是（）

A．米B．米C．米D．米

2.（山西吕梁课改）如图，分别以直角的三边为直径向外作半圆．设直线左

边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积和为，则（）

A．B．C．D．无法确定

三、解答题

（白银课改）一架长5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗用所学知识，论证你的结论．

答案与解析：

一、填空题

(提示：作底边高线，由等腰三角形三线合一及勾股定理可以求出答案)

2.①；②；③（提示：令x=0得到d=5,此时点P与点B重合，BF=5，由勾股定理的OB=4.

令x=5得到d=2,此时点P与点A重合，可得AO=5，AF=2.）

3.

4.勾股定理；a2+b2=c2

（提示：将吸管从指定地方插入，一直到包装盒的左前下角或左后下角，此时为吸管深入的最大距

离，两次使用勾股定理可得h=13-11=2cm）

二、选择题

（提示：连接AC,使用勾股定理的逆定理得出三角形ACD为直角三角形;求两个直角三角形面积的和）

（提示：圆的面积为，设三条边长为a,b,c,分别表示三块阴影部分面积，用勾股定理即可）

三、解答题

答案：是．

证明1：

在中，米．

米．

在中，米．

．即梯子底端也滑动了1米．

证明2：

在中，米．

米．

可证．学习成果测评

基础达标

一、选择题

1．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（）．

A．1：1：B．1：：2C．1：：D．1：4：1

2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）．

A．B．3C．D．

3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．

A．6，7，8B．5，6，7C．4，5，6D．3，4，5

4．下列各命题的逆命题成立的是（）

A．全等三角形的对应角相等

B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等

C．两直线平行，同位角相等

D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等

5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）．

A．cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2

6．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（）．

A．2B．4C．2D．

7．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（）．

A．B．C．1D．

8．下面四组数中是勾股数的有（）．

（1），，2（2），，2

（3）12，16，20（4），，

A．1组B．2组C．3组D．4组

9．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（）．

A．182B．183C．184D．185

10．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（）．

A．B．C．D．

(第10题)(第12题)

二、填空题

11．已知直角三角形的两边分别为3、4，则第三边为_____．

12．你听说过亡羊补牢的故事吗如图,为了防止羊的再次丢失，小明爸爸要在高，宽的栅栏

门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需_____m长．

13．如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若

在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为_______米．

(第13题)

三、解答题

14．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

15．已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．

16．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低最低造价是多少？

能力提升

一、选择题

1．三角形的三边长分别为a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定

2．若△ABC的三边a、b、c满足a2＋b2＋c2十338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的面积是（）

3．若等腰△ABC的腰长AB＝2，顶角∠BAC＝120°，以BC为边的正方形面积为（）

C.D.

4．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）

或32或33

5．直角三角形三条边的比是3∶4∶5.则这个三角形相应的三条边上的高的比是（）

∶12∶8B.15∶20∶12C.12∶15∶20∶15∶12

6．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积等于（）

A.B.C.π

7．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落

在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）

cmcmcm

8．如图2，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，一只小虫由底部点A爬到上底B处，则小虫所爬

的最短路径长是（π取3）（）

二、填空题

9．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积

是____________．

10．一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为_______.

11．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60cm，CA＝80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA→AB

→BC的路径再回到C点，需要__________分的时间．

12．如图3，一艘船由岛A正南30海里的B处向东以每小时20海里的速度航行2小时后到达C处.则AC间的距

离是__________．

13．在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距

离是__________．

14．已知两条线段长分别为5cm、12cm，当第三条线段长为_________时，这三条线段可以组成一个直角

三角形，其面积是_________．

15．观察下列一组数：

列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；

列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；

列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；

…………

列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；

请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝__________，c＝____________.

16．已知：正方形的边长为1.（1）如图4（a），可以计算出正方形的对角线长为；如图（b），两

个并排成的矩形的对角线的长为__________；n个并排成的矩形的对角线的长为_________.（2）若

把(c)(d)两图拼成如图5“L”形，过C作直线交DE于A，交DF于B.若DB＝，则DA的长度为____．

三、解答题

17．如图6，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10cm，AB＝8cm，求：(1)FC的长；(2)EF的长．

18．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图7所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB＝25km，CA＝15km，DB＝10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？

综合探究

1．一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶渔群，在A处看见小岛C在船北偏东60°.40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°，已知小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续航行（追赶鱼群），是否有进入危险区的可能？

2．在Rt△ABC中,AC=BC，∠C＝90°，P、Q在AB上，且∠PCQ＝45°试猜想分别以线段AP、BQ、PQ为边能组成一个三角形吗若能试判断这个三角形的形状．

3．如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由．

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延

长线交于点Q,与BC交于点E，能否使CE＝2cm若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．

4．设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去．

（1）记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，……，an，请求

出a2，a3，a4的值；

（2）根据以上规律写出an的表达式．

5．如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明在C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（取，结果保留三个有效数字）

6．如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？

7．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园为什么（≈）

答案与解析:

基础达标

1．B（提示：由∠A=∠B=∠C，得三个角为30°，60°，90°，设最短的边为a,则斜边为2a,由勾

股定理求出另一直角边为）

2．D（提示：三个角为30°，60°，90°，因为斜边为1,，则最短的直角边为，由勾股定理求出另

一直角边）

3．D（提示：看哪一组数满足勾股定理即可）

4．C（先写出下列命题的逆命题再进行判断）

5．A（提示：经过一个顶点做对边的高线，构成三个角为30°，60°，90°的三角形）

6．D（提示：使用勾股定理）

7．B（提示：设BD=x,两次应用勾股定理表示CD，即可得到关于x的方程）

8．D（提示：带入勾股定理公式）

9．A（提示：设另外两边为a,c所以169=（c+a）（c-a），则c=85,a=84）

10．B(提示：由勾股定理得AC=5，AC的一半=设AN=x=CN，BN=4-x,在直角三角形BCN中，运用勾股定

理列关于x的方程)

11．5或（提示；分两种情况讨论）

12．1．5（提示：长方形对角线的长度即是木板的长度，可用勾股定理求出）

13．600提示：直角三角形的三个角为三个角为30°，60°，90°，且三个角为60°角所对边为

900米）

14．树高15m．提示：BD=x，则（30-x）2-（x+10）2=202

15．3(提示：连结AE，则△ADE≌△AFE，所以AF=AD=10，DE=EF．

设CE=x，则EF=DE=8-x，BF==6，CF=4．

在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，即（8-x）2=x2+16，故x=3）

16．D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元

(提示：当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低

∵CD·AB=AC·BC∴CD==48米

∴AD==64米

所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元．）

能力提升

一、1．A（a2＋b2）2=（2ab）2+（a2－b2）2

2．D（由a2＋b2＋c2十338＝10a＋24b＋26c得（a-5）2+(b-12)2+(c-13)2=0）

3．B(过顶点A作对边的垂线，构成的三角形的三个内角为30°，60°，90°)

4．C(两次运用勾股定理求出CD、BD的长，即可求三角形的周长。注意分锐角三角形和钝角三角形两

种情况。）

5．D.提示：由三角形面积公式，可得·AB·CD＝·BC·AC.设BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k，

则5k·CD＝3k·4k.所以CD＝k.所以AC∶BC∶CD＝4k∶3k∶k＝20∶15∶12；

6．A.提示：在Rt△ABC中，由勾股定理可以得到AB2＝42+32＝25，所以AB＝5.所以半圆的面积

S＝π＝π；

7．B（设CD=x，则DE=x,在直角三角BDE中运用勾股定理，DE=x，BE=4，BD=8-x）

8．B.(将圆柱体沿母线展开得到一个长方形，运用勾股定理求长方形的对角线的长)

二、9．108（9，12，15满足勾股定理的逆定理）

10．13（两次运用勾股定理求出长方体对角线的长）

11．12（运用勾股定理）

12．50海里（由勾股定理，可以得到AB2+BC2＝AC2，因为AB＝30，BC＝20×2＝40，

所以302+402＝AC2，所以AC＝50，即AC间的距离为50海里）

13．3（设这个距离为x，利用三角形面积等于三个小直角三角形面积的和列方程）

14．13cm或cm，30cm2或cm2（分两种情况讨论）

15．84、85（用平方差公式）

16．、、.（勾股定理和相似三角形的应用）

三、

17．(1)在Rt△ABF中，由勾股定理可以得到AF2＝AB2+BF2，也就是102＝82+BF2.所以BF＝6，FC＝4cm

(2)在Rt△EFC中，由勾股定理，可以得到EF2＝FC2+(8－EF)2.也就是EF2＝42+(8－EF)2.

所以EF＝5cm

18．10米；

综合探究

1．设小岛C与AB的垂直距离为a，则易求得a2＝300＞102，所以这艘渔船继续航行不会进入危险区；

2．能组成一个三角形，且是一个以PQ为斜边的直角三角形.理由是：可将△CBQ绕点C顺时针旋转90°，

则CB与CA重合，Q点变换到Q′点，此时，AQ′＝BQ，△APQ′是直角三角形，即AP2＋AQ′2＝PQ′2，

另一方面，可证得△CPQ′≌△CPQ（SAS），于是，PQ′＝PQ，则AP2