建筑工程之结构力学讲义97

§9-3位移法的基本体系一、超静定结构计算的总原则:

欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）位移法的特点：基本未知量——基本体系——基本方程——独立结点位移平衡条件？一组单跨超静定梁11/20/20221二、基本未知量的选取2、结构独立线位移：（1）忽略轴向力产生的轴向变形---变形后的曲杆与原直杆等长；（2）变形后的曲杆长度与其弦等长。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。

CDABCD12每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：1、结点角位移数：结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。11/20/20222线位移数也可以用几何方法确定。140将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。11/20/202238m4mii2iABCD3kN/mF1PABCDF2PABCD1F11F21ABCD2F12F2222F11+F12+F1P=0………………(1a)F21+F22+F2P=0………………(2a)三、选择基本体系四、建立基本方程11/20/202241.5i3(2i)2i4i2ABCDF12F22F11+F12+F1P=0………………(1a)F21+F22+F2P=0………………(2a)ABCD1F11F21ii2i=1k11k21=1k12k22=0………..(1)=0………..(2)k111+k122+F1Pk211+k222+F2Pk2104i6ik111.5ik12k22k11=10ik21=-1.5ik12=-1.5i11/20/20225F1PABCDF2P4kN`·m4kN·mMPF2P040F1P-6F1P=4kN·mF2P=-6kN位移法方程：六、绘制弯矩图4.4213.625.691.4M(kN·m)ABCD五、计算结点位移11/20/20226k111+k122+

··········+k1nn+F1P=0

k211+k222+··········+k2nn+F2P=0

··································kn11+kn22+

··········+knnn+FnP=0

121=1k11k21k12k222=1k11×0+k21

×1

k21=k12=k12

×1+k22

×0kij=kji具有n个独立结点位移的超静定结构：11/20/20227例1、试用位移法分析图示刚架。（1）基本未知量（2）基本体系计算杆件线性刚度i，设EI0=1，则4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I04m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0Δ

1Δ2Δ3Δ

1、

Δ2、Δ311/20/20228Δ

1=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2（3）位移法方程k111+k122+

k133+F1P=0

k211+k222+

k233+F2P=0

k311+k322+

k333+F3P=0

（4）计算系数：k11、k12、k13、k21、k22、k23、k31、k32、k333241.53k11=3+4+3=10k12=k21=2k13=k31=?ABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2Δ

2=134221k22=4+3+2=9k23=k32=?11/20/20229Δ

3=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/21/21/29/89/8k33=(1/6)+(9/16)=35/48k31=k13=–9/8k32=k23=–1/2（5）计算自由项：F1P、F2P、F3P4m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2q=20kN/m(1/8)×20×42=40(1/12)×20×52=41.7F1P=40–41.7=–1.7F2P=41.7F3P=011/20/202210（6））建立位位移法法基本本方程程：（7））解方程程求结结点位位移：：（8））绘制弯弯矩图图ABCDFEM图（kN•m）18.642.847.826.723.814.953.68.93.97（9）校校核结点及及局部部杆件件的静静力平平衡条条件的的校核核。11/15/202211§9-4无无侧移移刚架架的计计算如果除除支座座以外外，刚刚架的的各结结点只只有角角位移移而没没有线线位移移，这这种刚刚架称称为为无侧侧移刚刚架。。ABC3m3m6mEIEIP=20kNq=2kN/mBqBEIPBEIMBAMABMBC1、基本未未知量量B2、固端弯弯矩3、列杆端端转角角位移移方程程设4、位移法法基本本方程程（平平衡条条件））11/15/20221216.7215.8511.573.21MBAMBCqBEIPBEIMBAMABMBC3、列杆端转角位移方程4、位位移法法基本本方程程（平平衡条条件））5、各各杆端端弯矩矩及弯弯矩图图M图(1)变形形连续续条件件:在在确定定基本本未知知量时时得到到满足足；(2)物理理条件件:即即刚度度方程程；(3)平衡衡条件件:即即位移移法基基本方方程。。超静定定结构构必须须满足足的三三个条条件:11/15/202213例1、、试试用用位位移移法法分分析析图图示示刚刚架架。。4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0（1））基本本未未知知量量B、、C（2））杆端端弯弯矩矩Mij计算算线线性性刚刚度度i，设EI0=1，，则梁11/15/202214柱(3)位位移移法法方方程程梁4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I。5I。4I。3I。3I。11/15/202215(4)解方方程程(相相对对值值)(5)杆端端弯弯矩矩及及弯弯矩矩图图梁柱ABCDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M图11/15/202216小结结1、、有有几几个个未未知知结结点点位位移移就就应应建建立立几几个个平平衡衡方方程程；；2、、单单元元分分析析、、建建立立单单元元刚刚度度方方程程是是基基础础；；3、、当当结结点点作作用用有有集集中中外外力力矩矩时时，，结结点点平平衡衡方方程程式式中中应应包包括括外力力矩矩。。ABCDqqPMMMCBMCDC11/15/202217AEIlQABQBA复习角角变位位移方方程中中的杆杆端剪剪力：：ABCDiiqqQBAQDC其中绘制弯弯矩图图的方方法：：（1）直直接由由外荷荷载及及剪力力计算算；（2）由由角变变位移移方程程计算算。ABCD§9-5有有侧移移刚架架的计计算11/15/202218Ph1h2h3I1I2I3例：作作图示示刚架架的弯弯矩图图。忽忽略梁梁的轴轴向变变形。。解：1）基基本未未知量量：ΔΔΔ2）各各柱的的杆端端剪力力侧移刚刚度J=3i/h2，则：Q1=J1Δ，Q2=J2Δ，Q3=J3ΔQ1+Q2+Q3=PJ1Δ+J2Δ+J3Δ=PPQ1Q2Q3iihJPJM=Qihiå=iiJPJQå=P柱顶剪剪力：：柱底弯弯矩：：åJhPJ11åJhPJ33åJhPJ223）位移法法方程程∑X=0M结点集集中力力作为为各柱柱总剪剪力，，按各各柱的的侧移移刚度度分配配给各各柱。。再由由反弯弯点开开始即即可作作出弯弯矩图图。11/15/202219EIlQABQBAAB其中lABCDiii1=qq复习角角变位位移方方程中中的杆杆端剪剪力：：绘制弯弯矩图图…………………………………………..M（ql2）QDCQBA11/15/202220MABQABMBAQBAMBCQCDQDCMDC例1.用用位位移法法分析析图示示刚架架。[解]（1）基基本未未知量量B、（2）单单元分分析BC8m4mii2iABCD3kN/m11/15/202221MABQ