弹性力学之平面问题的直角坐标解答讲义

弹性力学课堂教学软件

1《弹性力学课堂教学软件》既是教师的多媒体教案（电子教案），又是学生计算机CAI教学教材。绘制的工程图片形象、生动、有效地帮助学生理解和记忆；图文并茂，甩掉了粉笔加黑板的传统教学模式，大大地增加了课堂教学的信息量，精简了学时，提高了教学质量。它既解放了教师写教案、画图、板书等烦琐的工作，又减轻了学生课堂记笔记的负担；既是教师必备的弹性力学教学工具，又是学生的必备电子教材。该软件覆盖了弹性力学课程的全部内容，并以广泛使用徐芝纶编的《弹性力学》等教材为参考教材，全书共分为十二章：第一章绪论；第二章平面问题的基本理论；第三章平面问题的直角坐标解答；第四章平面问题的极坐标解答；第五章平面问题的复变函数解答；第六章热应力问题的基本解法；第七章有限差分法；第八章空间问题；第九章扭转；第十章变分法；第十一章弹性波；第十二章板问题。任课教师可以根据自己的需要方便地增加、删减或调整讲课顺序，可适用于各种学时《弹性力学》课程教学。内容简介该软件适合586以上的各种微机，中文windows95、windows98、windows2000、office97、office2000及以上各种版本，可光盘运行，也可在硬盘运行。地址：北京市朝阳区芍药居35号责任编辑：王秀杰煤炭工业音像出版社出版ISBN7-89996-201-3/O010234第一章绪论第三章平面问题的直角坐标解答第四章平面问题的极坐标解答第五章平面问题的复变函数解答第六章热应力问题的基本解法第二章平面问题的基本理论使用说明书5第八章空间问题第十章变分法第十一章弹性波第十二章板问题第九章扭转第七章有限差分法模拟试题6第三章平面问题的直角坐标解答7第三章平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答§3-1多项式解答§3-2位移分量的求出§3-3简支梁受均布载荷§3-4楔形体受重力和液体压力§3-5级数式解答§3-6简支梁受任意横向载荷习题课18一、应力函数取一次多项式§3-1多项式解答平面问题的直角坐标解答应力分量：应力边界条件：结论：（1）线性应力函数对应于无面力、无应力的状态。（2）把任何平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。二、应力函数取二次多项式1.对应于，应力分量。29平面问题的直角坐标解答结论：应力函数能解决矩形板在方向受均布拉力（设）或均布压力（设）的问题。如图3-1（a）。2.对应于，应力分量。结论：应力函数能解决矩形板受均布剪力问题。如图3-1（b）。图3-1（a）（b）（c）310平面问问题的的直角角坐标标解答答3.应力函数能解决矩形板在方向受均布拉力（设）或均布压力（设）的问题。如图3-1（c）。三、应应力函函数取取三次次多项项式对应的的应力力分量量：结论：：应力函函数（（a）能解决决矩形形梁受受纯弯弯曲的的问题题。如如图3-2所示的的矩形形梁。。（a）图图3-2411平面问问题的的直角角坐标标解答答具体解解法如如下:如图3-2,取单位宽度的梁来考察,并命每单位宽度上力偶的矩为。这里的因次是[力][长度]/[长度]，即[力]。在左端或右端，水平面力应当合成为力偶，而力偶的矩为，这就要求：前一式式总能能满足足，而而后一一式要要求：：代入式式（a），得：5将式（a）中的代入，上列二式成为：12平面问问题的的直角角坐标标解答答因为梁截面的惯矩是，所以上式可改写为：结果与与材料料力学学中完完全相相同。。注意：：对于长度远大于深度的梁，上面答案是有实用价值的；对于长度与深度同等大小的所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。613§3-2位移分分量的的求出出平面问问题的的直角角坐标标解答答以矩形形梁的的纯弯弯曲问问题为为例，，说明明如何何由应应力分分量求求出位位移分分量。。一、平平面应应力的的情况况将应力分量代入物理方程714平面问问题的的直角角坐标标解答答得形变变分量量：（a））再将式式（a）代入几几何方方程：：得：前二式积积分得得：（b））（c））其中的和是任意函数。将式（c）代入（b）中的第三式815平面问问题的的直角角坐标标解答答得：等式左边只是的函数，而等式右边只是的函数。因此，只可能两边都等于同一常数。于是有：积分以以后得得：代入式式（c），得位移移分量量：其中的任意常数、、须由约束条件求得。（d））916平面问问题的的直角角坐标标解答答（一）简简支梁梁如图3-3（a），约束条件为：由式（d）得出：代入式（d），就得到简支梁的位移分量：梁轴的挠度方程：图3-3（a）（b）1017平面问问题的的直角角坐标标解答答（二））悬臂臂梁如图3-3（b），约束条件为：由式（d）得出：代入式（d），得出悬臂梁的位移分量：梁轴的挠度方程：二、平平面应应变的的情况况只要将平面应力情况下的形变公式和位移公式中的换为，换为即可。1118§3-3简支梁梁受均均布载载荷平面问问题的的直角角坐标标解答答设有矩形截面的简支梁，深度为，长度为，受均布载荷，体力不计，由两端的反力维持平衡。如图3-4所示。取单位宽度的梁来考虑，可视为平面应力问题。图3-4用半逆逆解法法。假假设只只是的的函数数：则：对积积分分，得得：解之，，得：：其中，、是任意函数，即待定函数。（a））（b））1219平面问问题的的直角角坐标标解答答现在考察，上述应力函数是否满足相容方程。为此，对求四阶导数：将以上上结果果代入入相容容方程程，得得：相容条件要求此二次方程有无数的根(全梁内的值都应该满足它),所以,它的系数和自由项都必须等于零。即：1320平面问问题的的直角角坐标标解答答前面两个方程要求：第三个方程要求：（c）（d）将式（c）和（d）代入式（b），得应力函数：（e）相应的应力分量为：（f）（g）（h）1421平面问问题的的直角角坐标标解答答这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部应力边界条件都满足，除非常数、…等于特定值，这样以上应力分量才是正确的解答。因为面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。这样，和应当是的偶函数，而应当是的奇函数。于是由式（f）和（h）可见：将上式代入应力分量表达式，三个应力分量变为：上式中共有六个待定常数，利用应力边界条件求出。（一）考察上下两边的边界条件（i）1522平面问问题的的直角角坐标标解答答整理，，得：：由于这四个方程是独立的，互不矛盾的，而且只包含四个未知数，所以联立求解，得：将上面所得常数代入应力分量表达式（i），得：（k）（l）（j）1623平面问问题的的直角角坐标标解答答（二）考察左右两边的边界条件由于对称性，只需考虑其中的一边。考虑右边：（m）（n）将式（j）代入式（m），得： 积分，得：将式（j）代入式（n），得： 积分，得：1724平面问问题的的直角角坐标标解答答将式（l）代入，上式成为：另一方面，在梁的右边剪应力满足：将和代入式（j），得：（p）将式（p）、（k）、（l）整理，得应力分量：（q）1825平面问问题的的直角角坐标标解答答式（q）可以改写为：各应力力分量量沿铅铅直方方向的的变化化大致致如图图3-5所示。在的表达式中，第一项是主要项，和材料力学中的解答相同，第二项是弹性力学提出的修正项。对于通常的浅梁，修正项很小，可以不计。对于较深的梁，则需注意修正项。的最大绝对值是，发生在梁顶。在材料力学中，一般不考虑这个应力分量。和材料力学里完全一样。19图3-526§3-4楔形体受重重力和液体体压力平面问题的的直角坐标标解答设有楔形体,如图3-6a所示，左面铅直,右面与铅直面成角，下端无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为，液体的密度为，试求应力分量。问题：20图图图图3-6（a）（b）27平面问题的的直角坐标标解答取坐标轴如图所示。假设应力函数为：（二）边界条件左面（）应力边界条件：这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。（一）应力分量在该问题中，体力分量，所以应力分量的表达式为：（a）2128平面问题的的直角坐标标解答右面（），，应力边界条件：将式（a）代入，得：代入式（a），得：（b）将式（b）代入，得：（c）又：2229平面问题的的直角坐标标解答代入式（c），得：将这些系数代入式（b），得：各应力分量沿水平方向的变化大致如图3-6b所示。注意：1.沿着坝轴，坝身往往具有不同的截面，而且坝身也不是无限长的。因此，严格说来，这里不是一个平面问题。2.对于坝身底部来说，上面的解答是不精确的。3.在靠近坝顶处，以上解答也不适用。2330平面问题的的直角坐标标解答§3-5级数式解答答用逆解法。假设应力函数为：（a）其中是任意常数，它的因次是[长度]-1，而是的任意函数。将式（a）代入相容方程，得：（b）解之，得：其中、、、都是任意常数。得到应力函数的一个解答：假设应力函数为：同样可以得出应力函数的另一个解答：（c）2431平面问题的的直角坐标标解答仍然是该微分方程的解答。所以可以得到三角级数式的应力函数：相应的应力分量：将式（c）与（d）叠加，得：：其中、、、也都是任意常数。（d）2532平面问题的的直角坐标标解答2633平面问题的的直角坐标标解答这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果能够选择其中的待定常数、、、、、、、、、或再叠加以满足平衡微分方程和相容方程的其它应力分量表达式，使其满足某个问题的边界条件，就得出该问题的解答。2734§3-6简支梁受任任意横向载载荷平面问题的的直角坐标标解答问题：

设简支梁的跨度为，高度为，坐标轴如图3-7所示，上下两边的横向载荷分别为及，左右两端的反力分别为及。图3-72835平面问题的的直角坐标标解答为了满足边界条件（c），取：),…3,2,1(==mlmmpa上下两边正应力的边界条件：上下两边剪应力的边界条件：左右两端正应力的边界条件：左右两端剪应力的边界条件：（a）（b）（c）（d）2936平面问题的的直角坐标标解答应力分量简简化为：（1）3037平面问题的的直角坐标标解答代入边界条条件（b）和（a），得：由此可以得出求解系数、、、的方程。（e）（f）（g）（h）3138平面问题的的直角坐标标解答由式（e）、（f），得：（i）（j）按照傅立叶级数展开法则，有：与式（g）对比，得：从而，得：（k）3239平面问题的的直角坐标标解答同样由式（h），得：（）求出式（k）及式（）右边的积分以后，可由（i）、（j）、（k）、（）四式求得系数、、、，从而由公式（1）求得应力分量。求出应力分量后，可由式（d）求得反力及，并利用两个反力与荷载的平衡作为校核之用。结论：1.用级数求解平面问题时，计算工作量很大。2.由于梁的两端的应力边界条件不能精确满足，因而应力的解答只适用于距两端较远之处；对于跨度与高度同等大小的梁，这种解答是没有用处的。3340平面问题的的直角坐标标解答§3-7《《平面问题的的直角坐标标解答》习题课[练习1]设有矩形截面的竖柱，其密度为，在一边侧面上受均布剪力，如图1，试求应力分量。解：1.采用半逆解法，设。导出使其满足双调和方程：34图1o41平面问题的的直角坐标标解答取任意值时，上式都应成立，因而有：式中，中略去了常数项，中略去了的一次项及常数项，因为它们对应力无影响。（1）2.含待定常数的应力分量为：（2）3542平面问题的的直角坐标标解答3.利用边界条件确定常数，并求出应力解答：能自然满足：能自然满足：（3）不能精确满足，只能近似满足：由式（3）、（4）解出常数和，进而可求得应力分量：（4）3643平面问题的的直角坐标标解答（1）中的的不能能略去，因因为对对剪应力力有影响。。（2）在上端部部，首先应应使应力分分量精确满满足边界条条件，如不不能，则可可运用圣维维南原理放放松满足。。本题能能精精确满足，，因此，在在此处处是精确解解，而在在上端部部是近似解解。（3）若设，，则导导出的应力力函数和和应力分分量为：4.分析：（5）（6）（7）3744平面问题的的直角坐标标解答常数确定后后代入式（（7），所得结结果与式（（5）相同。[练习2]如图2（a），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。图2（a）（b）解：1.设应力函数为：不难验证其满足。所以应力分量为：3845平面问题的的直角坐标标解答2.用边界条件确定常数，进而求出应力解答：上边界：斜面：解得：3946平面问题的的直角坐标标解答3.分析：本题的应力函数可用量纲分析方法得到，此函数亦可用来求解上边界受线形载荷作用的问题，见图2（b）。40[练习3]如果为平面调和函数，它满足 ，问 是否可作为应力函数。解：将 代入相相容条件，，得：满足双调和和方程，因因此，可作