拉普拉斯变换论文

通过拉普拉斯变换求解线性微分方程的探讨摘要：通过拉普拉斯变换主要用于求解线性微分方程(或积分方程)。经过变换，原来函数所遵从的微分(或积分)方程变成了像函数所遵从的代数方程，代数方程比较容易求解，从而化难为易，本论文将介绍通过”三“步求解线性微分(或)积分方程。关键词：拉普拉斯变换线性方程原函数像函数反演拉普拉斯变换的定义傅里叶积分与傅里叶变换存在的条件是原函数f3)在任一区间满足狄里希利条件，并且在(-8,8)区间上绝对可积。这是一个相当强的条件，以致于许多常见的函数(如多项式，三角函数等)都不满足这一条件。因此需要引入一一拉普拉斯变换。拉普拉斯变换常用于初始值问题，即已知某个物理量的初始时刻t=0的值f(0)，而求解它在初始时刻之后的变化情况f(t)，至于它在初始时刻之前的值，我们并不感兴趣，不妨置f(t)=0(t<0)为了获得宽松的变换条件，把f(t)加工为g(t)，g(t)=e-otf(t)这里e-6是收敛因子，就是说，正的实数。的值选得如此之大，以保证g(t)在区间(-8,8)上绝对可积，。于是，可以对g(t)实施傅里叶变换G(w)=2；fg(t)e-2=2；ff(t)e-3+s)tdt-80将b+iw记作p，并将G(w)改记作/黑，则2;f(p)=ffte)Mt(1)0其中积分ff(t)e-Ptdt称为拉普拉斯积分，f(p)称为f(t)的拉普拉斯变换函数.(1)代表从f(t)0到f(P)的一种积分变换，称为拉普拉斯变换(简称拉式变换)，e-pt称为拉普拉斯变换的核。G(w)的傅里叶逆变换是g(t)=jG(w)e而td可=—jf(b+而)e海td可2兀s…1J,.、，即f(t)=一Jf(b+iw)e(b+w)tdw2兀-s由b+而=p，有血=1dpi1b市8—所以f(t)=.Jf(p)eipdp2丸ib—isf（p）又称为像函数，而f（t）称为原函数，它们之间的关系常用简单的符号写为f(p)=p[f(t)]f(t)"f(p)（二）拉普拉斯变换的基本性质线性定理若f(t)f(p)，f(t)f(p)，则1122cf(t)+cf(t)cf(p+cf(p11221122导数定理f'(t七pf(p-f(0)积分定理jwe）d」-粉版（t）］p0（4）相似性定理1—pf（at）f（一）aa（5）位移定理e-舄f（t）口f（p+人）（6）延迟定理f(t-1)e-Ptof(p)0(7)卷积定理若f(t)f(p)，f(t)f(p)，则1122f(t)*f(t)口f(p)f(p)其中1212f(t)*f(t)三if(T)f(t-T)d12120拉普拉斯变换的反演有理分式反演法如果像函数是有理分式，只要把有理分式分解成分项分式，然后利用拉普拉斯变换的基本公式，就能得到相应的原函数。—z、p3+2p2—9p+36例1求f(P)=的原函数P4—81解；先将这个有理分式分解成分项分式，匕,、p3+2p2—9p+36J(p)—(p—3)(p+3)(p2+9)=1——1—+H2p—32p+3p2+9=1.工—1.工+旦—工—1.2p—32p+3p2+9p2+93p2+9即得f(t)—1e3t一1e—3t+cos31一-sin3t223查表法许多函数的拉普拉斯变换都制成了表格，从表上直接查找很方便，对于一般常见的像函数，都能查出其原函数，有些像函数，虽然不能直接从表中查出其原函数，但可以利用延迟定理，位移定理和卷积定理，在配合查表而解决其反演问题.的原函数例2求(p+；2+①2和(p+；：'2的原函数解；先将两函数里的p+人位移为p查表得ap口sin①t,口cosatp2+^2口p2+a2口再应用位移定理，即得口e-痔sin①t(p+人)2+^2口iiip+人（p+人）2+32（四）用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程的步骤可以归纳为以下”三”步，也就是三步求解线性微分，积分方程。（1）对方程实施拉普拉斯变换，这变换把初始条件也一并考虑。（2）从变换后的方程解出像函数.。（3）对求出的像函数进行反演，原函数就是原来方程的解。例1求解交流PL电路的方程<L%j+Rj=E0sin①T,j（0）=0解；第一步对方程实施拉普拉斯变换得——CDLpj+Rj=E-0P2+D2第二步从变换后的方程解出像函数j（t）EdEIaj-Lp+RP2+D2—~L+Rp2+D2pL第三步对像函数j（t）进行反演。由于D口D口sinDtp2+D2口1-（R）te"r以R□p+p引用卷积定理完成反演，Et,R、，fj（t）=0JeL）（）Sinwt&L0sinwtsinwt—dcosdtR2+D2LE(Rl)sin①t-wcos①tewe-(1Lw2L+B2匕(Rsin①t-①Lcos①t)+—气①"—e~(l”R2+Lw2R2+L2W2所得结果的第一部分代表一个稳定的（幅度不变的）振荡，第二部分则是随时间而衰减的，稳定的振荡部分还可以如下改写；E/.、o(Rsin①t一①Lcos①t)R2+Lw2(R•Esinwt—Jr2+a2L"、R2+w2L、:R2—0+w2LE0E(cos0sinwt-sin0coswt)sin(wt-0)，<R2+w2L其中0=arccos一_R=arcsin一"七<R2+w2L、，:R2+w2L电工学里常用的复数主抗法或矢量法只给出这个形式的稳定振荡，没有考虑随时间衰减的部分。例2两个线圈具有相同的R,L和C.两线圈之间的互感系数为M，在初级线路有直流电源，其电压为％今接通初级线路中的电钥K，问次级电路中的电流槌变化情况如何？解；先写出电路方程Ldj+Rj+1\jdt+Mdj=E(2)dt11C1dt20L『j+Rj+亍Jjdt+M~rj=0(3)dt22C02dt1还有初始条件j](0)=0j2(0)=0第一步对方程进行拉普拉斯变化得到代数方程-1\Lp+R+右ICP）Ej+Mpj2=节ri\Lp+R+—ICP）j2+"2=0（5）第二步联立（4）（5）求解像函数j2EMpr4J27V0M2p4-r4J2第三步进行反演的把它分解为分项分式，了-E01-122（L+M）p2+Rp+1C（L-M）p2+Rp+1C查表进行反演得到J（t）=Ce-^tsin可t+Ce-勺sin可t21其中TOC\o"1-5"\h\z.R_R1=2（L+M）'气=2（L-M）1R2C（L+M）4（L+M）_,r2a2,C（L—M）4（L-M\C1=2（L+M）rn1C_E2一2（L-M）w2（五）总结留数法在拉普拉斯反变换中的应用摘要：本文研究了留数法求解；拉普拉斯反变换的基本原理，分析表明，留数法用于求解反变换有着归纳详尽、使用灵活方便等特点，对实际因果系统的分析求解有着很高的实用价值。关键词：留数法；拉普拉斯反变换；像函数；原函数引言采用留数法计算拉氏反变换(或者Z反变换)是一种很重要的用数学方法求解系统变换域问题的方法。本文着重介绍了留数法进行拉普拉斯反变换的求解，这不仅可以比较详尽的分析问题，对于理解和设计实际问题也有着借鉴价值。正文留数定理《复变函数》中，根据柯西定理，如果被积函数f(z)在回路l所围的闭区域上是解析的，则回路积分等于零。如果l包围的区域有f(Z)的奇点，则需要应用留数定理来求解。根据重要例题结论：1[dzJ。,Z不包围a扁巾7^一[1，/包围a]j(z-a)"dz=0.n丰12ki\J可以推导出.f(z)dz=2kiEResf(z.)

Resf(z)为函数的留数。留数定理即复变函数的回路积分为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和k［关于留数的具体求法在课程《数学物理方iiIs=pj法》中已进行过深入研究与练习，在此不再赘述。二、留数法求拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换即由像函数反求原函数的过程。通常有两种求拉普拉斯反变换的方法，即部分分式展开法与围线积分法。部分分式展开法是将像函数分解为若干简单变换式之和，然后逐项反变换求取原函数，此方法仅限于像函数是有理数的情况。围线积分法是利用复变函数中的围线积分和留数定理进行的，适用范围较宽。由拉普拉斯反变换的定义知道直接求解这个积分是十分困难的，但由复任函柚论知可以将此转换成求F(s)在一个闭合围线内部全2部留数的代数和。在此，F(s)eAst的积分等于围线C内所包围的所有F(s)eAst的极点的留数之和.积分围线C为如图所示的半径为无穷大的圆弧.f(t)=L-i[F(s)]=上卜+顶"(sgds=E[F(s)w的留数]2兀，5极点_若设极点s求有处的留数为拉，则有f(t)=L-i[F(s)]=Ey若pi为一阶极点，留数

若pi为k阶极点，在此例举一具体问题F（s）=s-2y.=「［（s-p）kF（s）est］（k-1）s=Pi求s（s+1）3的拉普拉斯反变换。s=Pi=-2s=0=![M2est]''[=-12sy1=[[F(S况]ls=0=[就即]y=—[(s+1)3F=-2s=0=![M2est]''[=-12s2(3-1)!2est=-[t2est-(—)'']TOC\o"1-5"\h\zs4est4test2t2est\o"CurrentDocument"=_[t2est+]s3s2ss=-1=—[3t2e-1+4te-1+4e-1]，3f(t)=y+y=(—12e-1+2te-t+2e-t-2)u(t)由此看以看出，用留数法求解有理分式的拉普拉斯反变换时，过程与结论形式均与部分分式展开法求解拉普拉斯反变换时相似，结果相同。但在计算重根的留数时，方法比部分分式展开法要简单一些。三、留数法求无理式的拉普拉斯反变换F（s）=（3s-34）e-s给定一无理函数（s+2）2+102，欲求此函数的原函数，首先由其是一无理函数首先可以考虑运用留数法。F（s）的两个极点分别为：P］=-2+j10,P2=-2—j10则：

Res(〃1)=est^+^(-40+j30)e2-ji01e(-2+ji0)t,t>1j20s=-2+j10(-40+j30)e-2Res(〃1)=est^+^(-40+j30)e2-ji01e(-2+ji0)t,t>1j20s=-2+j10(-40+j30)e-2-j101一e(-2-j10)t,t>1s=一2-j10一j20四、小结拉普拉斯变换是一种积分变换，它是求解线性常微分方程、研究线性系统的一个重要工具，在物理和工程等领域有着广泛的应用。利用拉普拉斯变换法求解定解问题的方法是.•在原函数满足的方程中,通过拉普拉斯变换，将原函数变换为像函数，得到关于像函数的方程并进行求解。这一过程相对容易。而为了得到原函数必须作拉普拉斯逆变换。在一些书上，通过列表的方式给出了一些像函数所对应的原函数,但是,对于表中没有出现的像函数怎样求得原函数，如果像函数是有理分式，我们可以通过部分分式展开法将像函数化作几个分解为若干个表中所有或者容易查到的简单变换式之和。但对于包含有理分式并包括更广领域的像函数，运用留数法则更具有一般性。留数法求解拉普拉斯反变换是《复变函数》科目中留数定理与《信号与线性系统分析》中研究在变换域中的相应的结合。彰显了学术各领域之间的联系与融会贯通。参考文献孙国霞郭予瑾.《信号与线性系统分析》山东大学出版社2007梁昆淼.《数学物理方法》第三版高等教育出版社2009李高翔《求解拉普拉斯逆变换的一般方法及其应用》拉普拉斯变换法在常微分方程（组）中的应用摘要本文给出了常微分方程（组）的基本概念性质及两种解法，常数变易法及拉普拉斯变换法，常微分方程属于数学分析的一支，是数学中与应用密切相关的基础学科，其自身也在不断发展中，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要.而用常数变易法解常微分方程及方程组往往是比较繁琐的，而且必须经过积分运算，这无异于又增加了题目的难度.而拉普拉斯变换是实变量函数和复变量函数间的一种函数变换.对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多.本人是将两种方法进行比较分析拉普拉斯变换法在求解常微分方程（组）过程中的优缺点.关键词：常微分方程；常微分方程组；拉普拉斯变换法目录TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"摘要IAbstract错误！未定义书签。\o"CurrentDocument"引言31常微分方程4\o"CurrentDocument"1.1常微分方程基本概念4\o"CurrentDocument"1.2线性微分方程的相关定义及性质61.2.1引言61.2.2齐次线性微分方程的解的性质71.2.3非齐次线性微分方程的定义及性质8\o"CurrentDocument"1.3线性微分方程的一般理论91.3.1齐次线性微分方程组91.3.2非齐次线性微分方程组的性质定理102拉普拉斯变换10\o"CurrentDocument"2.1拉普拉斯变换的介绍11\o"CurrentDocument"2.2拉普拉斯变换的定义性质及部分变换113微分方程的求解12\o"CurrentDocument"3.1用常数变易法求解常系数齐次线性微分方程12\o"CurrentDocument"3.2用矩阵法求解常系数线性微分方程组14\o"CurrentDocument"4拉普拉斯变换法在求解常微分方程（组）中的应用154.1拉普拉斯变换在常微分方程中的应用154.1.1求解过程说明154.1.2对比两种方法在常微分方程中的求解174.2对比两种方法在常微分方程中的求解174.2.1求解过程说明174.2.2对比两种方法在常微分方程组中的求解18\o"CurrentDocument"5探索20\o"CurrentDocument"结束语24\o"CurrentDocument"参考文献25谢辞错误！未定义书签。引言常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善.微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解.后来瑞士数学家雅各布•贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、大朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的.数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量.拉普拉斯变换是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换.对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多.拉普拉斯变换在工程学上的应用：应用拉普拉斯变换法求解齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决.在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（S域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用.

1常微分方程1.1常微分方程基本概念(1)常微分方程和偏微分方程我们已经知道微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程;自变量的个数为两个或两个以上的微分方程为偏微分方程.方程f纠2Zif)t"dt)dt(1.)f⑵2口ly=0Idt)dt(1.2就是常微分方程的例子，这里y是未知函数，t是自变量.方程a2Td2Td2Tc++=0dx2dy2az2(1.3a2T,aT=4ax2ax(1.4就是偏微分方程的例子，这里T是未知函数，x,y,z,t都是自变量.方程(1.3)含有三个自变量，而方程(1.4)含有两个自变量.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数.例如，方程是二阶常微分方程，而方程与都是二阶偏微分方程.一般的n阶常微分方程具有形式(1.5这里Ffx,y,牛,•…字］是x,y,空,•…也的已知函数，而且一定含有蛀；y是pdxdxnJdxdxndxn未知函数，x是自变量.我们学习的这门课程是常微分方程.今后，我们把常微分方程简称为“微分方程”，有时更简称为“方程”.(2)线性和非线性如果方程(1.5)的左端为y及dy,•,dny的一次有理整式，则称(1.5)为n阶dxdxn线性微分方程.例如，方程(1.1)是二阶线性微分方程.一般阶线性微分方程具有形式企+。(x)、+..牛a(x)空+ay=f(x)dxn1dxn-1n~1dxn(1.6这里。］(x),•…a(x),f(x)是x的已知函数.不是线性微分方程的方程称为非线性微分方程.例如，方程d叩+gsin^=0是二阶非线性微分方程，而方程(1.2)是一阶非线性微分方程.dt2l(5)微分方程组用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组.习惯将一阶常微分方程写成最高阶导数的形式z(n)=gC,zz,…血1))(1.9)其中z(n)=^L,z'=竺,•…zGt)=^~^.如果把z,Z',•…z(nT),Z(n)都理解为未知函数，dtndtdtn-1

取变换y1=z,y2=z',.…y=z(口)取变换则n阶方程(1.9)可以用一阶方程组令=y2dyF=yn华=g(t;y,•…y)Idt1n代替，即可以将高阶微分方程或高阶微分方程组变换为一般的一阶微分方程组当=f(t;y,...,y),i=1,2,...,n

dti1n或更简单的写成向量形式其中前面提到的线性和非线性，等概念同样适合微分方程组.前面提到的线性和非线性，等概念同样适合微分方程组.F1y,f(t；y)=LyJnJ=f(t;y，…,y)n1n-f(t;y,-,y)11〃f(t;y，…,y)21n1.2线性微分方程的相关定义及性质1.2.1引言我们讨论如下的阶线性微分方程dnxdn-1xdx~t——Fa(t)F...+a(t/^-+a(t)x=f(t),(1.10)其中a^(t)(i=1,2,…,n)及f(t)都是区间a<t<b上的连续函数.如果f(t)三0，则方程(1.10)变为

dnxdn-1xdxd—+avt)+...+a\t)^^+avt)x=0(1.11)我们称它为n阶齐次线性微分方程，简称其次线性微分方程，而称一般的方程(1.10)为n阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且通常把(1.11)叫做对应于方程(1.10)的齐次线性微分方程.定理1[1]如果a,(t)(i=1,2,...,n)及f(t)都是区间a<t<b上的连续函数，TOC\o"1-5"\h\z则对于任一te[a,b]及任意的x,x(1),...,x(n-1)，方程(1.10)存在唯一解x=中(t)，0000定义于区间a<t<b上，且满足初值条件M)=x,竺史=x(1),...,Q2=x(n-1)

00dt0dtn-10(1.12)1.2.2齐次线性微分方程的解的性质首先讨论齐次线性微分方程dnxdn-1xdxdt—+a(t)+...+a(t)―^+a(t)x=0(1.1)1定理2[1](叠加原理)如果x(t),x(t),...,x(t)是方程(1.11)的k个解，则12k它们的线性组合ex(t)+ex(t)+...+ex(t)也是的解，这里c,c，…,c是任意常1122kk12k数.特别地，当k=n时，即方程(1.11)有解(t(t)+cx12(t)+...+ckxk(t)(1.13)它含有n个任意常数.定理3⑵若函数工(t),工(t),...,工(t)在区间a<t<b上线性相关，则[a,b]在TOC\o"1-5"\h\z12k上它们的朗斯基行列式W(t)三0.定理4[3]如果方程(1.11)的解工(t),工(t),...,工(t)在区间a<t<b上线性无12n关，则工(t),工(t),...,工(t)在这个区间的任何点上都不等于零，即W丰0(a<t<b).12n定理5[4]n阶齐次线性微分方程(1.11)一定存在个线性无关的解.定理6[6](通解结构定理)如果工(t),工(t),...,工(t)是方程(1.11)的n个\o"CurrentDocument"12n线性无关的解，则方程(1.11)的通解可表为工=cx(t)+cx(t)+...+cx(t)nn1122nn(1.14)其中c,c，…,c是任意常数.且通解(1.14)包括了方程(1.11)的所有解.12n推论[5]方程(1.11)的线性无关解得最大个数等于n,因此可得结论：n阶齐次线性微分方程的所有解构成一个n维线性空间.方程(1.11)的一组n个线性无关解称为方程的一个基本解组.显然，基本解组不是唯一的.特别地，当w(t0)=1时称其为标准基本解组.1.2.3非齐次线性微分方程的定义及性质考虑n阶非齐次线性微分方程dnxdn」xdxd—+a(t)+...+a(t)-d-+a(t)x=f(t)，(1.10)易见方程是它的特殊情形.性质1[10]如果x(t)是方程(1.10)的解，而是方程(1.11)的解，则x(t)+x(t)也是方程(1.10)的解.性质2[5]方程(1.10)的任意两个解之差必为方程(1.11)的解.定理7[9]设工(t),工(t),...,工(t)为方程(1.11)的基本解组，而X(t)是方程12n(1.10)的某一解，则方程(1.10)的通解可表示为X=cx(t)+cX(t)+...+cX(t)+X(t)1121nn(1.15)其中c,c，…,c为任意常数.12n1.3线性微分方程的一般理论定义[4]线性微分方程组X=妇t+X()f,t(1.16)的一般理论，主要是研究它的解的结构问题.如果f(t)o0，则(1.16)称为非齐次线性的.如果f(t)=0，则方程的形式为X'=A)t，X(1.17)(1.17)称为齐次线性的.通常(1.17)称为对应于(1.16)的齐次线性微分方程组.齐次线性微分方程组定理8[7](叠加原理)如果u(t)和v(t)是(1.17)的解，则它们的线性组合au(t)+Pv(t)也是(1.17)的解，这里以,P是任意常数.定理9[9]如果向量函数X](t),X](t),...,x(t)在区间上a<t<b线性相关，则它们的朗斯基行列式W(t)=0(a<t<b).定理10[5]如果(1.17)的解气(t),气(t),...,Xn(t)线性无关，那么，它们的朗斯基行列式W(t)=0(a<t<b).定理11[5]齐次线性微分方程组(1.17)一定存在n个线性无关的解尤(t),尤(t),...,尤(t).TOC\o"1-5"\h\z11n定理12[9]如果气(t),气(t),...,工(t)是(1.17)的n个线性无关的解，则(1.17)的任一解工(t)均可表为x(t)=cx(t)+cx(t)+...+cx(t)这里c,c，…,c是相应1121nn12的确定常数.非齐次线性微分方程组的性质定理非齐次线性微分方程\o"CurrentDocument"x，=A(t)x+f(t),(1.16)的解的结构问题，这里A(t)是区间a<t<b上的已知nxn连续矩阵，f(t)是区间a<t<b上的已知n维连续列向量.向量f(t)通常称为强迫项，因为如果(1.16)描述一个力学系统，f(t)就代表外力.性质1[7]如果甲(t)是(1.16)的解，w(t)是(1.16)对应的齐次线性微分方程组(1.17)的解.则甲(t)+w(t)是(1.16)的解.性质2[9]如果甲(t)和6(t)是(1.16)的两个解，则0(t)一甲(t)是(1.16)的解.定理13[10]设①(t)是(1.17)的基解矩阵，吊(t)是(1.16)的某一解，则(1.16)的任一解甲(t)都可表为甲(t)=e(t)c+p(t),(1.18)这里c是确定的常数列向量.2拉普拉斯变换2.1拉普拉斯变换的介绍拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程(组)转换成复变数s的代数方程(组).通过一些代数运算，一般地再利用拉普拉斯变换表，即可求出微分方程(组)的解.方法十分简单方便，为工程技术工作者所普遍采用.当然，方法本身也有一定局限性，他要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不是用了.2.2拉普拉斯变换的定义性质及部分变换定义［1］由积分F(5)=f+-f(t)dt所定义的确定于复平面(ReS>如上的复0函数s的函数F(5)，称为函数f(t)的拉普拉斯变换，其中f(t)于t>0有定义，且满足不等式|f(t)|<Mg，这里M，Q为某两个正常数.我们将称f(t)为原函数，而F(5)称为像函数.定理1［7］如果对向量函数f(t)，存在常数M>0及a>0使不等式If(t)怀Ma对所有充分大的t成立，则初值问题尤=北+f(t),工(0)=门的解中(t)及其导数中'(t)均像f(t)一样满足类似的不等式||f(t)<Meat，从而它们的拉普拉斯变换都存在.拉普拉斯部分变换表：序号原函数f(t)像函数F(s)=J*”e-stf(t)dtF(s)的定义域111Res>02t52Res>03tnn!Sn+1Res>04eztRes>Rez5tezt1(s-Z)2Res>Rez6tneztn!(s-z)n+1Res>Rez3微分方程的求解3.1用常数变易法求解常系数齐次线性微分方程定义[1]n阶常系数非齐次线性微分方程小］三荣+a旦+...+a空+ax=f(t)

dtn1dtn-1n-1dtn(3.1)对应的n阶常系数齐次线性微分方程为L口三些+a±1X+...+a旺+ax=0

dtn1dtn-1n-1dtn(3.2)其中a「%,...,a为常数，f(t)为连续函数.基本解组设人为(3.2)的特征根，可以为实数，也可以为复数.对方称(3.2)变形：了「1dngdn-1e入tde聂(^)—心、LeXt=+a+...+a+aext=VAn+a人n-1+....+a人+a)ext=F(A)extL」dtn1dtn-1n-1dtn1n-1n其中F(x)三An+a1Xn-1+...+aX+a=0,(3.3)为方程(3.2)的特征方程.当特征根X是单根时，设％,%,...,七是特征方程(3.3)的个彼此不相等的根，则相应地方程(3.2)的基本解组为：e%t,e^，…,e*・若X(i=1,2,...,n)为实数，则(3.2)的通解表示为x=cex1t+cex2t+...+ce*.i12n若Xi(i=1,2,,n)为复根，则(3.2)的两个实值解为eatcosPt,eatsinPt.当特征根人有重根时：有k重根时，方程(3.2)的基本解组为:e\t,tggeZ，…,以-吃财；有2k重根时，方程(3.2)的基本解组为：eatcospt,teatcospt,12e〃cospt,...,tk-ieatcospteatsinpt,teatsinpt,t"sinpt,...,tk-esinpt定理1[1]给出方程：dnxdn-1xdx+a\t)+...+a\t)+a\t)x=0dtn1dtn-1n-1dtn(3.4)竺+a(心+...+a(tdtn1dtn-1n-1+a(t)x=f(t)n(3.5)设x(t),x(t),...,x((3.4)竺+a(心+...+a(tdtn1dtn-1n-112n贝^方程(3.5)的通解可表示为x=cx(t)+cx(t)+...+cx(t)+X(t)，1122nn其中c,c，…,c为任意常数.12n对任一n阶常系数非齐次线性微分方程(3.1)都可以由上述方法求出对应的齐次线性微分(3.2)的基本解组，再应用常数变易法求得(3.1)的一个特解，这样，根据定理一即可写出方程(3.1)的通解表达式.例1：求方程x'+x=1的通解.cost解：对应的齐次线性微分方程为x'+x=0.特征方程入2+X=0的根为X=X=i.•••原方程对应的齐次微分方程的基本解组为cost,sint应用常数变易法，令x=c(t)cost+c(t)sint将它代入方程，则可得决定c■(t)和c2(t)的两个方程.c(t)cost+c(t)sint=0及一sintc'(t)+costc，(t)=上1212cost解得：c(t)=—sin‘，c'(t)=1.积分得：c(t)=lncost+y,c(t)=t+y1cost21122于是原方程的通解为：工=c(t)=ycost+ysint+costIn|cost+1sint其中Y1，匕为任意常数.3.2用矩阵法求解常系数线性微分方程组定理2[10]如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量<弓,...,可，它们对应的特征值分别为七,%,...,七(不必各不相同)，那么矩阵中(t)=[e\tv,。勺任,…,e^ntV],一8<t<+8,

12n是常系数线性微分方程组x=AX+了(t)(3.6的一个基解矩阵.类似于常系数非齐次线性微分方程通解的求解方法：我们先给出非齐次线性微分方程组x=AX+了(t)(3.7)的常数变易公式，这里A是nxn常数矩阵，f(t)是已知的连续向量函数.因为对应的齐次线性微分方程组(3.6)的基解矩阵为①(t)=expAt,这时我们有①-1(s)=exp(一sA),①-1(s)=exp[(t—s)A],若初值条件是①«)=门,则气(t)=expt-01]A，(3.7)的解就是中(t)=exp|"(t—t)A^n+jtexp「(t—s)A]f(s)dsl0」L」t0(3.8)…(35\-、(e-t\i、、,、例2:设A=,f(t)=试求方程x'=Ax+jC)满足初值条件1一53J"0)中(0)=的解①（D.解：求得expAt=(e(3+5)tJe(3+5)te(expAt=(e(3+5)tJe(3+5)te(—i)5)-1(e(+珈5—"ie(+3t5ie(-汨淋1e(-i)t3Jk-i代入公式（3.8）,得到（利用t0=0）中(t)=e3t(cos5t^-sin5t(e顼wt(e=e3t(cost5厂sint5sitn5

co^s5+jte3(t-s)(cos5(t-s)sin5(t-s))(k-sin5(t-s)cos5(t-s)>j'k0ds我们计算上面的积分如下:中(t)中(t)=e3t+e3(t-s)j*e-4s0(cos51cos5s+sin5ssin51)

*—sin51cos5s+cos51sin5s/ds利用公式或者分部积分法，得到jte-4scos5sds=】；'25(-4cos5s+5sin5s)jte-4ssin5sds=—(-4sin5s-5cos5s)016+25最后我们得到中(t)=1e3t41(4cos5t+46sin5t-4e-4t'^46cos5t一4sin5t一5e-中(t)=1e3t41设给定微分方程dnxdn-1x\~d—+a~d+...+ax=f(t)(4.1)及初始条件x(0)=x,x'(0)=x，,...,x-1(雇晶-1)其中a,a，…,a是常数，而0000012nf(t)连续且满足原函数的条件。注意，如果x(。是方程(4.1)的任意解，则x(D及其各阶导数xk(t)(k=1,2,3,...,n)均是原函数.记F(s)=L[f(t)_=J*"e-stf()dtX(s)=L[时三那么，按原函数微分性质有Lx(n)(t)心e-stx(t)dt0x'(t)]=sX(s)-x，=SnX(S)-Sn-1x一Sn-2x'一...一x(n-1)，于是，对方程(4.1)两端施行拉普拉斯变换，并利用线性性质就得到snX(S)-sn-1x-sn-2x'-...-sx(n-2)(s)-sn-2x-sn-3x'-...-x00+...+a「sX(S)-x+asn-1X—x(n-1)(n-2)

0-n-1L0-+aX(s)=F(s),(sn+asn-1+...+as+a)X(s)=F(S)+(sn-1+asn-2+...+a)x+(sn-2+asn-3+...+a)x'+...+xn-11n-101n-200A()乂XF)s(B,s其中A(s),B(s)和F(s)都是已知多项式，由此X(s)=F(°;B)，这就是方程A(s)(4.1)的满足所给初始条件的解x(t)的像函数.而x(t)可直接查拉普拉斯变换表或由反变换公式求得.

4.1.2对比两种方法在常微分方程中的求解例1：求方程竺-x=纣满足初始条件x(0)=0的解.dt解：对方程两端施行拉普拉斯变换，得到方程的解的像函数所满足的方程1sX(s)-x(0)-X(s)=—s一2由此，注意到x(0)=0,得X(s)=r—v—.=上-L.直接查拉普拉斯变(s-1)(s-2)s-2s-一，一…1一1…一….，一.，一换表，可得和的原函数分力别为e2t和et.s—2s—1因此，利用线性性质，就求得X(s)的原函数为x(t)=e2t-et.这就是所要求的解．例2：求方程x”+x=上的通解.cost解：对应的齐次线性微分方程为x''+x=0，特征方程人2+人=0的根为七=气=，.所以原方程对应的齐次微分方程的基本解组为cost,sint，应用常数变易法，令x=c(t)cost+c(t)sint将它代入方程，则可得决定c1'(t)和；(t)的两个方程.变易法，令costc'(t)+sintc'(t)=0及-sintc'(t)+costc'(t)=—1212cost解得：c'(t)=-必,c'(t)=1.积分得：c(t)=Incost|+Y,c(t)=t+Y，于是原方程1cost21122原方程的通解为：x=ycost+ysint+costIn|cost|+1sint，其中y,y为任意常数.通过上面的例题我们发现用常数变易法求解往往是比较繁琐的，而且必须经过积分运算，这无异于又增加了题目的难度。而拉普拉斯变换法把常系数线性微分方程转换成复数s的代数方程，再通过代数运算进行计算，方法十分简单方便.4.2拉普拉斯变换法在常微分方程组中的应用4.2.1求解过程说明首先将拉普拉斯变换推广到向量函数的情形.

定义[1]L[f（t）]=j+8e-stf（td0这里f（t）是n维向量函数，要求它的每一个分量都存在拉普拉斯变换.对比两种方法在常微分方程组中的求解35、\例3:设A=，f(t)=试求方程x'=Ax+f(t)满足初值条件53J0J中(0)=解：求得e(3+5i)te(3+5i)t+e(3-5i)ti((3+5i)t—e(3-5i)t)ki)t-e(3-5i)t)e(3-5i)t+e(3-5i)tJ-i)(cos51=e3t1J"-sin5tsin5t)

cos5tJie(3-5i>'(1i)-1_1e(3+5i)tie(3-5i)t(1-i)e(3-5i)t/ki1J=2kie(3+5i)te(3-5i)t/L1Je(3+5，'>expAt="ie(3+5i)t代入公式（3.8）,得到（利用t0=0）中(t)=(cos5中(t)=(cos5te3t［一sin5tsin5t)(0'

cos51八1/+jte3(t-s)0(cos5(t-s)k-sin5(t-s)sin5(t-s)'

cos5(t-s)>ds我们计算上面的积分如下:中(t)中(t)=e3t(sin51)

kcos5tJ+e3(t-s)jte-4s0(cos51cos5s+sin5ssin51)dsk-sin51cos5s+cos51sin5sJ利用公式或者分部积分法，得到jte-4scos5sds=—(-4cos5s+5sin5s)016+25jte-4ssin5sds=—(-4sin5s-5cos5s)016+25最后我们得到中(t)=1e3t41(4cos5t+46sin5t-4e-4t'k46cos5t-4sin5t-5e中(t)=1e3t41解：将方程组写成分量形式，即x'=3x+5x+e-1x'——5x+3x,①.（0）=0,①2（0）=1令X（s）=L「①（t）］,X（s）—L「①（t）］,，以x（t）=①（t）,x（t）2（t）=代入方1*-1」2*-2」1122程组后，对方程组施行拉普拉斯变换（依据定理3,这是可能的）得到sX1(s)=3X1(s)+5X2(s)+土

sX2(s)-1=—5X1(s)+3X2(s)(s—3)X(s)-5X(s)=上即由此得到<12s+即由此得到5X1(s)+(s-3)X2(s)=11

s+11

s+1TOC\o"1-5"\h\zs—3+5「s+111

s+11

s+1s—(s—3》+52F(s—3》+52+(s—3》+5q5「s—3—TCX(s)=——占1——46——+4—————5(s—3)2+5241(s—3)2+52(s—3)2+52取反变换或查拉普拉斯变换表即得中(t)=41e3t(4cos5t+46sin5t—4e-4t)

中(t)=£e3t(46cos5t-4sin5t-5e-4t)所得结果跟例3一致.通过上述例题可以看到构造基解矩阵必须是某些特殊的情形，要具体计算矩阵中的积分也是不容易的.而应用拉普拉斯变换求解常系数线性微分方程（组）的初值问题是比较快捷的.应用拉普拉斯变换还可以直接去解高阶的常系数线性微分方程组，而不必先化为一阶的常系数线性微分方程组.例5.试求方程组

x"+2x'—x'+2x=0<1122[x'—2x+x'—-2e-t12(t)],,对方程组去拉普拉斯变换，我2sX1(s)-sX(s)+X(s)=0-2X&)+sX(12(t)],,对方程组去拉普拉斯变换，我2sX1(s)-sX(s)+X(s)=0-2X&)+sX(s)=弓[气(t)],X2(s)=L[①(s)-3s-2]-2「sX(s)-3]1们得到整理后得到解：令X(s)=L(2-2s)X(s)-(s-2)X(s)=3s-4(s-2)X(s)+sX(s)=土1I12s+1解上面方程组即有v()3s2-4s-1111XH=(s+1)(s-1)(s-2)=0^1),可y()—2—1_12以=(s+1)(s-1)_可在取反变换就得到解①][气(t)],X2(s)=L[①(s)-3s-2]-2「sX(s)-3]1们得到整理后得到解上面方程组拉普拉斯变换可以提供另一种寻求常系数线性微分方程组T—

x'=Ax（5.1）的基解矩阵的方法.设①（t）是（5.1）满足初始条件①（0）=门的解，我们令X（s）=L[①（t）].对（5.1）两边取拉普拉斯变换并利用初始条件，得到sX（s）-n—AX（s）因此

(sE-A)X(s)=门(5.2)方程组(5.2)是以X(s)的n个分量X1(s),X2(s),…,X(s)为未知量得n阶线性代数方程组.显然，如果s不等于A的特征值，那么det(sE-A)o0.这时，根据克莱姆法则，从方程组(5.2)中可以唯一地解出X(s).因为det(sE-A)是s的n次多项式，所以X(s)的每一个分量都是s的有理函数，而且关于门的分量气，的,…，七都是线性的.因此，X(s)的每一个分量都可以展为部分分式(分母是(s-七)的整数幕，这里七是A的特征值).这样一来，取X(s)的反变换就能求得对应于任何初始向量门的解①(D，依次令n=「1一0,n=「0-1，…,n=「0一01…2…n…001就求得解中(t)&(t),…&(t).以中(t)&(t),…&(t)作为列向量就构成(5.1)的12n12n一个基解矩阵中(t)，且中(0)=E.例1：试构造方程组云=Ax的一个基解矩阵，其中J3-111A=201"1-12)解：对方程组两边取拉普拉斯变换，得到sX(s)—门=AX(s)即(sE-A)X(s)=n由A的具体元素代入，得到方程组-2s-1)-1s-2)X(s)X(s)X2(s)nL3」

按第一行将det(sE-A)展开，得到de(sE-A=(-)-2s-1)-1s-2)X(s)X(s)X2(s)nL3」=s3-5s2+8s-4=(s-1)(s-2)2根据克莱姆法则，有1Il1-11七s-1顷1s-2J(s3-1)(s-2)1TOC\o"1-5"\h\zn「s(s-2)+1]-n(s-2+1)+门(一1+s)门(s-1)-门+门='(s-1)(s-2)23=1(s-2)223(s-3n-11-2n2-12[-1ns-2J2(s-1)(3s-2)2n(2s-3)-nJ2-5+>5+n(-+1s)="(；-1)(s-2)~~3X3(s)=X3(s)=/s-3-2-1I1;11

2nJ(s-1)(s-2)2n(s-2)-n(s-2)+n(s2-3s+2)n-nn"23=(s-1)(s一2)+5(s-1)(s-2)首先，令n1=1,n2=0n3=0我们得到x(s)=^-^=A+-1(s-2)2s-2(s-2)2从(s-1)=A(s—2)+B得到A=1,B=1.因此

工(工(t)=e2t+te2ti=(1+t)e2t同时，又得X2(s)=(s-^2)^-2)2=GCr)+db)+(^从2s-3=C(s-2)2+D(s-1)(s-2)+F(s-1)得到C=-1,D=1,F=1，因此v()-111x2(s)=G一1)+E+5七(t)=(t+1)e2t-et同样，可计算得到X3(s)=(s-1)(s-2)=土-s-1x(t)=e2t-et3这样一来，中(t)=1<1+中(t)=1(1+1)e2t-ete2t一et其次，令气=0,叫=1，叫其次，令气=0,叫=1，叫=O，我们得到X1(s)=-1(^，工(t)=-te2ts2-5s+5X2(s)=(s-1)(s-2)=A+g+土s-1s-2(s-1)2从s2-5s+5=A](s-2》+B](s-1)(s-2)+q(s-1)得A=1,B=A=1,B=0C=-.1因此X(s)=12x(t)=et-te2t这样一来，—111(s-1)(s-2)=G—1)一B，x3(t这样一来，—111(s-1)(s-2)=G—1)一B，x3(t)=et-te2t最后，令门=0,门=0,门=1,我们得到23x1G)=土x(tx1G)=土x(t)=te2tx(t)=te2t工(t)=e2t这样一来，te2tte2te2t综合上面的结果，得到基解矩阵(1+t)e，中(t)=「里(t),中(t),中(1+t)e，中(t)=「里(t),中(t),中(t)]=(1+t)-123」*e2t—et—te2tte2tet—te2tte2tet—e2te2te2t—et本文给出了常微分方程的了两种解法，一种是用常数变易法求解常微分方程，另外介绍了用矩阵法求解常微分方程组，另一种是用拉普拉斯变换法求解常微分方程及常微分方程组.两种方法相比较而言用通常的解法解常微分方程及方程组往往是比较繁琐的，而且必须经过积分运算，这无异于又增加了题目的难度.而拉普拉斯变换则可以把微分方程及微分方程组转化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化.拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换成功复变数s的代数方程（组）.通过一些代数运算，即可求出常系数微分方程（组）的解.但他却有一定的局限性，在微分方程中它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不是用了.在微分方程组中，它对方程中强迫项的性质要求比较高.因此并非任何常系数线性微分方程（组）都能用拉普拉斯变换法进行求解.这就需要更多的研究者对常微分方程（组）的求解问题在日后加以探讨.参考文献王柔怀，伍卓群.常微分方程讲义[M].北京:人民教育出版社,1979.王高雄，周之铭,宋思铭，等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1983.施皮格尔MR.高等数学的理论和习题[M].上海:上海科学技术出版社，1978.蔡燧林.常微分方程（第二版）.武汉：武汉大学出版社，2003.JAGERMANDL.Aninveresiontechniqueforthelaplacetransform[J].BSTJ，1992.胡健伟，汤怀民.微分方程数值方法[M].北京:科学出版社,2001.刘林平，常系数线性微分方程的拉普拉斯变换法[期刊论文]-内蒙古农业报.2006.钱伟长.微分方程的理论及其解法（第一版）.北京：国防工业出版社，1992.复旦大学数学系.微分方程及其数值解[M].上海:上海人民出版社，1975.王高雄.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2003.快速傅里叶变换的原理及其应用

摘要快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用，由于计算机只能处理有限长度的离散的序列，所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换.虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用AbstractFastFourierTransform(FFT),isadiscretefastFouriertransformalgorithm,whichisbasedontheDiscreteFourierTransformofoddandeven,false,false,andothercharacteristicsoftheDiscreteFourierTransformalgorithmsimprovementsobtained.ItsFouriertransformtheoryhasnotfoundanew,butinthecomputersystemortheapplicationofdigitalsystemsDiscreteFourierTransformcanbesaidtobeabigstepinto.Fouriertransformtheoryandmethodsinthe"mathematicalequation"and"linearsystemsanalysis"and"signalprocessing,simulation,"andmanyotherareashaveawiderangeofapplications,asthecomputercanonlyhandlealimitedlengthofthesequenceofdiscrete,sotrueOnthecomputer'soperationisadiscreteFouriertransform.FourierAlthoughallaspectsofcomputinginthecalculationhasanimportantrole,butitscalculationwastoocomplicated,alotofcomputingsystemforcalculatingtheburdenistoolargeforsomeLesspowerconsumption,theslowspeedofoperationofitssystematarm'slength,however,havethefastFouriertransform,Fouriertransformgreatlysimplifyingthemaking,notinpowerattheexpenseoftheconditionstoincreasethespeedofcomputingsystems,andenhancethesystemThecomprehensiveabilitytoimprovethespeedofoperation,theFastFourierTransformintheproductionandlifehaveaveryimportantroleinlearningtomasterallhavegreatsignificance.KeywordsFastFourierTransform;fastalgorithm;simplified;widelyused目录TOC\o"1-5"\h\z摘要1\o"CurrentDocument"ABSTRACT2\o"CurrentDocument"绪论4\o"CurrentDocument"快速傅里叶变换原理5快速傅里叶的实际应用71快速傅里叶变换在喇曼光谱信号噪声平滑中的应用7引言7实验原理及结果8结论92采用异步实现的快速傅里叶变换处理器9引言9实验原理及结果10结论103快速傅里叶算法在哈特曼夏克传感器波前重构算法中的应用11引言11实验原理及结果11结论12\o"CurrentDocument"参考文献13绪论傅立叶变换在生产生活中的重要性非常突出，它将原来难以处理的时域信号相对比较容易地转换成了易于分析的频域信号，可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工，把信号转化为可以对其进行各种数学变化的数学公式，对其进行处理。最后还可以.利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号，它是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。然尔，它在运算上过于复杂，过于宏大的运算过程，对于一些相对简单的低功耗处理器来说，难以自如应对，因此，快速傅里叶变换则显出了它的优越性。快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。对于计算机处理信号方面上是一大进步。系统的速度不但取决于本身的速度，而且还在相当大的程度上取决于算法，算法运算量的大小直接影响着对设备的控制质量。通过傅立叶变换（DFT），运用测试软件进行检测，可以看出快速傅里叶变换大大的提高了运算速度，它为各系统的设计提供了简单算法，有着十分重要的意义。I.快速傅里叶变换原理数字信号的傅里叶变换，通常采用离散傅里叶变换(DFT)方法°DFT存在的不足是计算量太大，很难进行实时处理。计算一个N点的DFT,一般需要N2次复数乘法和N(N-1)次复数加法运算.因此，当N较大或要求对信号进行实时处理时，往往难以实现所需的运算速度。1965年，J.W.Cooly和J.W,Tukey发现了DFT的一种快速算法，经其他学者进一步改进，很快形成了一套高效运算方法,这就是现在通用的快速傅里叶变换，简称FFT(TheFastFourierTransform)。快速傅里叶变换的实质是利用式(1)中的权函数WN的对称性和周期性，把N点DFT进行一系列分解和组合,使整个DFT的计算过程变成一系列叠代运算过程，使DFT的运算量大大简化,为DFT及数字信号的实时处理和应用创造了良好的条件。快速傅里叶变换算法如下：X(n)=Lk=cxon=O.M-N-1(1)由(1)式可知，对每一个n,计算X(n)须作N次复数乘法及N-1次复数加法，要完成这组变换共需子次乘法及N(N-1)次复数加法。但以下介绍的快速傅里叶变换的算法，可大大减少运算次数，提高工作效率。当N=2,时，n和k可用二进制数表示：n-2r-in+2r-2n++n-nnn■■■.■_r-1r-20r-1r-20,一k=2r-ik+2r-2k++k=kkkr-1r-20r-1r-20又记W=e丁，则（1）式可改写为X(nnr-1X(nnr-1r-2n)=Z1110k0=°k1=°11kr-1=0k^)Wp（2）TOC\o"1-5"\h\z式中：P=nk=(2r-1k+2r-2k，++k)X(2r-1'n'+2r-2n+r-1r-20r-1r-2Wp=W(2r-1n+2r-2n++n)2一1kW(2一1n+2一2n++n)2一2kr-1r-20r-1r-1r-20r-2WK0(2r-1nr-1+2r-2nr-2++n0)因为W2r=W2r=[eN]n=1所以(2)可改成X(nnr-1r-2k)n)11X(nnr-1r-2k)0k0=0k1=0kr-1=00r-1r-2（4）⑸W(2r-1n+2r-2n++n)2一1kW(2-1n+2-2n++n)2一2kWk(2一1n+2-2n++n（4）⑸r-1r-20Jr-1r-1r-20/r-20、r-1r-20/x(nnkk)=Z1x(nkk)W(2n1+%)2r-2k2201r-30k2000r-20一X（nn,•n）=x（nnn）***r-1r-20r01r-1则式（5）..即为式（4）..的分解形式。将初始数据代入式（5）的第一个等式，可得每一组计算数据，一般将梅L-1组计算数据代入式（5）的第L个等式，计算后可得第L组计算数据（L=l,2,…，y）,计算公式也可表示为x(nkk)=Z1x(kkk)W(2r-1nr1+bnr2++n0)k0=TOC\o"1-5"\h\z10r-20k.0r-1r-20...x(nn.••〃0kkk)+x'(nnn0kkk)Wp(6)l-101r-2r-1r-20l-101r-2r-1r-20式中P=2r-1n+2r-2n••++2r-1n……(7)根据式(6)，第L・・个数组中每个x(k)=x(nnnkkk)llr-1r-20r-1r-20的计算只依赖于上一个数组的两个数据这两个数据的标号相差・2」1=N/2「，即j=i+n/2l,而且这两个数据只用于计算第L个数组中标号的数据（等号右端为二进制数）。当n分别取0和1时，分别有k=i,k=j=i+n/2l。因此，用上一l1组的两个数据计算所得的两个新数据仍可储存在原来位置，计算过程中只需要N个存储器。将£（i）与I,（i+n/2l）称为第L个数组中的对偶结点对。计算每个对偶结点对只需一次乘法，事实上由式（6）可得Nx(i)=x(i)+[i+—]Wp1TOC\o"1-5"\h\z,N、，、「Nx(I+)—x(I)+x[i+——]Wp2i2ii-1i-12iP—2r-2n+...+2r-inP—2r-i+2r-2n+...+2r-inn式中：1l-20；2l-20力别为式(7)中i-1取0，1时对应的P值。因P2=P1+2*-1=P1+N/2，于是对偶结点的WP有如下关系：DN-P兀「NWp2=W"2=kN]1*2—-Wp1,因此式(6)可表示为TOC\o"1-5"\h\z，、，、「N、x(i)=x(i)+x[i+—]Wpii-1i-12iNNx(i+一)=x(i)+x[i+—]Wpi2/i-1i-12ix(i)nn...nk...k—毛夕r_P的求法：在/7中，1与成一进制数01i-1r-i-10石移ri位，就成为0...0nn...np=n...nn0...0(i=1,2,...,r)—o1i-1颠倒位序侍"i-110*'*'式(5)吕，刖面的Y个等式，每个等式均对应一组数据进行计算，每组数据都有N/2对结点，根据式(9),每对结点只需作1次乘法和2次加法，因此，每组数据只需N/2次乘法和N次加法，因而完成Y组数据的计算共需Ny/2次乘法和Ny次加法。II.快速傅里叶的实际应用：一.快速傅里叶变换在喇曼光谱信号噪声平滑中的应用1.引言电探测系统是光信号的转换、传输及处理的系统.系统的各个部分在工作时

总会受到一些无用信号的干扰,给光谱峰的检测判别及进一步的数据处理带来了不利因素.对光谱信号进行数字滤波，以获得更真实的光谱信息，显得格外重要.目前最为通用和有效的信号滤波处理方法是快速傅立叶变换方法.纯水是一种较弱的喇曼散射介质，需要专用的喇曼散射光谱仪器才能获得高信噪比的喇曼光谱.我们以增强型的CCD探头为探测器，结合普通的分光单色仪，在YAG激光器532nm激光线的激励下获得低信噪比的纯水的喇曼光谱.信噪比较差的喇曼光谱经过FFT变换后,，用FFT的逆变换将滤除噪声后的频谱信号转换成为光谱信号，最终获得信噪比较高的纯水的喇曼光谱.2.实验原理及结果傅里叶变换的基本表达式为x(k)=尸x(n)Wnk,(k=0,1...N-1)n=0(1)(2)Wnk=exp[-&"]式(1)中的x(n)(n=0,2,...N-1)是列长为N的输入序列，即实验采集到的时域上的切片数据;x(k)(=0,1,...N-1)是列长为N的输出序列，即经过傅里叶变换后的频域上的数据。(2)对数字化后的光谱信号而言，x(n)是一组离散的实数信号；而X(k)分为实部x(v)和虚部y(v)2部分。x(v)和y(v)又可组成振幅谱A(v)和相位谱P(v)：(3)A(V)=%'x2(们+y2(们(3),、y(v)p(v)=arctanx(v)(4)通过对式(3)和式(4)性能的考察，发现A(v)和P(v)中既含有目标信号的信息，也含有噪声的信息，如果二者所在的区域不同，则可以通过傅里叶变换分析出噪声信息，将之从捕获的信号中去除，从而达到噪声平滑的目的，获得高信噪比的目标信号.纯水普通喇曼散射的信号很弱,我们在532nm脉冲激光泵浦液滴的条件下获得其散射光谱.由于样品信号极其微弱，在将CCD的增益调至最大时，获得如图1所示的纯水的喇曼光谱.光谱的信噪比值用如下方式估算：设x(X,n)为含噪声图像y(X,n)为消除噪声后的图像，图像的均方根误差为我x我x(X,n)-y(X,n))2土(5)信噪比定义为除噪声后的信号与均方根误差之比[丈[丈Y(X,N)]/NSNR=6)计算出642.86〜643.62nm光谱区的信噪比为多通道光谱分析仪采集的含有噪声的纯水普通喇曼散射信号频率/Hn(。<菖<傅里叶变换后的频谱图(。<菖<对图2幅度谱纵轴取对数得图噪声幅度门限值低于2X105,经门限滤波处理，在频谱图中将幅度谱低于该门限值的频率成分去除，获得的频谱用FFT的逆变换返回得到门限滤波曲线如图5所示.计算出642.86〜643.62nm光谱区的信噪比为SNR^484.与图1相比，光谱的信噪比有了极大的改善.3结论在光谱信号受到光子噪声调制的条件下，如果光谱信号的变化频率低于高频光子噪声的变化频率,则可以通过快速傅里叶变换，获得目标信号和噪声信号的频谱,进行低通滤波和门限滤波后，分别将具有高频和不同振幅的噪声信号去除，实现对弱光谱信号干扰噪声的抑制,得到高信噪比的光谱信号。快速傅里叶变换在效果上，减轻了噪声的干扰，同时计算也不会带来过于复杂的计算。11・采用异步实现的快速傅里叶变换处理器引言快速傅里叶变换(FFT)是数字信号处理领域一个重要的分析工具，广泛应用于雷达、通讯、图像处理、声纳和生物医学领域。已经开发出多种专用快速傅里叶变换处理器，大大提高了快速傅里叶变换的运算速度。异步集成电路具有功率效率高、电磁兼容性(EMC)好、功耗低和没有时钟歪斜(Skew)的特性，同时又具有潜在的高性能，以及便于系统模块化设计的优势［1］。异步集成电路运