材料力学讲义1128T31

Chapter5Stressesinbeams第五章弯曲应力§5-1引言

(Introduction)§5-2纯弯曲时的正应力

(Normalstressesinpurebeams)§5-3横力弯曲时的正应力(Normalstressesintransversebending)§5-4梁的切应力及强度条件

(Shearstressesinbeamsandstrengthcondition)第五章弯曲应力

(Stressesinbeams)

§5-5提高梁强度的主要措施（Measurestostrengthenthestrengthofbeams)mmFSM一、弯曲构件横截面上的应力

(Stressesinflexuralmembers)当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS.§5-1引言

(Introduction)mmFSmmM只有与正应力有关的法向内力元素

dFN=dA

才能合成弯矩.弯矩M正应力s剪力FS切应力t内力只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA

才能合成剪力；所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力.二、分析方法

(Analysismethod)平面弯曲时横截面

纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)平面弯曲时横截面横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)ss

t

简支梁CD段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是纯弯曲.若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲.三、纯弯曲（Purebending)++FF+FaFFaaCDABdeformationgeometricrelationship

Examinethedeformation，thenproposethehypothesis

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformula变形几何关系物理关系静力关系

观察变形，提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式physicalrelationshipstaticrelationship

§5-2纯弯曲时的正应力

(Normalstressesinpurebeams)一、实验（Experiment）1.变形现象（Deformationphenomenon)纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长.相对转过了一个角度，仍与变形后的纵向弧线垂直.各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，横向线2.提出假设

(Assumptions）（a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；（b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压.推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层中性轴横截面对称轴中性轴横截面对称轴⊥中性层dx图（b）yzxO应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.图（a）dx二、变形几何关系（Deformationgeometricrelation）图（c）yρzyxO’O’b’b’ybbOO三、物理关系(Physicalrelationship)所以Hooke’sLawMyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比.应力分布规律：?待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径r??yzxOMdAzyσdA四、静力关系

(Staticrelationship）横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.FNMzMy内力与外力相平衡可得（1）（2）（3）将应力表达式式代入（1）式，得将应力表达式式代入（2）式，得将应力表达式式代入(3)式，得中性轴通过横截面形心自然满足将代入得到纯弯曲时横截截面上正应力力的计算公式式:M为梁横截面上上的弯矩；y为梁横截面上上任意一点到到中性轴的距距离；Iz为梁横截面对对中性轴的惯惯性矩.讨论（1）应用公式时时，一般将My以绝对值代入入.根据梁变形的的情况直接判判断的正负号.以中性轴为界界，梁变形后后凸出边的应应力为拉应力力(为正号).凹入边的应力力为压应力（为负号）；（2）最大正应力力发生在横截截面上离中性性轴最远的点点处.则公式改写为引用记号—抗弯截面系数（1）当中性轴为为对称轴时矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdyzy（2）对于中性轴轴不是对称轴轴的横截面M应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式当梁上有横向向力作用时，，横截面上既既又弯矩又有有剪力.梁在此种情况况下的弯曲称称为横力弯曲曲.§5-3

横力弯曲时的正应力(Normalstressesofthebeaminnonuniformbending)横力弯曲时，，梁的横截面面上既有正应应力又有切应应力.切应力使横截截面发生翘曲曲，横向力力引起与中性性层平行的纵纵截面的挤压压应力，纯弯弯曲时所作的的平面假设和和单向受力假假设都不成立立.一、横力弯曲曲(Nonuniformbending)虽然横力弯曲曲与纯弯曲存存在这些差异异，但进一步步的分析表明，工程中常常用的梁，纯纯弯曲时的正正应力计算公公式，可以精精确的计算横力弯曲曲时横截面上上的正应力.等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为二、公式的应应用范围(Theapplicablerangeoftheflexureformula)1.在弹性范围内内(Allstressesinthebeamarebelowtheproportionallimit)3.平面弯曲（Planebending）4.直梁（Straightbeams）2.具有切应力的梁（Thebeamwiththeshearstress）三、强度条件件（Strengthcondition)1.数学表达式（Mathematicalformula)梁内的最大工工作应力不超超过材料的许许用应力.2.强度条件的应应用(Applicationofstrengthcondition)（2）设计截面（3）确定许可载荷（1）强度校核对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的且梁横截面的的中性轴一般也不是对对称轴，所以以梁的（两者有时并并不发生在同同一横截面上上）要求分别不超超过材料的许用拉应力和和许用压应力力例题1螺栓压板夹紧紧装置如图所所示.已知板长3a＝150mm，压板材料的的弯曲许用应应力[s]＝140MP.试计算压板传传给工件的最最大允许压紧紧力F.ACBFa2a20φ30φ14FRAFRB+Fa解：（1）作出弯矩图图的最大弯矩矩为Fa；（2）求惯性矩，，抗弯截面系系数（3）求许可载荷荷80y1y22020120z例题2T形截面铸铁梁梁的荷载和截截面尺寸如图图所示.铸铁的许用拉拉应力为[t]=30MPa，许用压应力为为[c]=160MPa.已知截面对形形心轴z的惯性矩为Iz=763cm4，y1=52mm，校核梁的强度度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mFRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解：最大正弯矩在在截面C上最大负弯矩在在截面B上B截面C截面80y1y22020120z例题3由n片薄片组成的的梁，当每片片间的磨擦力力甚小时，每每一薄片就独独立弯曲，近近似地认为每每片上承担的的外力等于zbFlh解：每一薄片片中的最大正正应力zbFlh若用刚度足够够的螺栓将薄薄片联紧，杆杆就会象整体体梁一样弯曲曲最大正应力等等于一、梁横截面面上的切应力力（Shearstressesinbeams）1.矩形截面梁(Beamofrectangularcrosssection)§5-4梁的切应力及及强度条件(Shearstressesinbeamsandstrengthcondition)（1）两个假设(Twoassumptions)（a）切应力与剪力力平行；（b）切应力沿截截面宽度均匀匀分布（距中性轴等等距离处切应应力相等）.q(x)F1F2（2）分析方法(Analysismethod)（a）用横截面m-m,n-n从梁中截取dx一段.两横截面上的的弯矩不等.所以两截面同同一y处的正应力也也不等；（b）假想地从梁段段上截出体积积元素mB1，在两端面mA1，nB1上两个法向内内力力不等.q(x)F1F2mmnnxdxmnnmxyzObdxm’m’hnyABA1B1ABB1A1mnxzyyḿFN2FN1mnnmxyzOyABA1B1bdxm’m’hnττ’（c）在纵纵截面面上必必有沿沿x方向的的切向向内力力dFS′.故在此此面上上就有有切应应力τ.根据假假设，，横截截面上上距中中性轴轴等远远的各各点处处切应应力大大小相相等.各点的的切应应力方方向均均与截截面侧侧边平平行.取分离离体的的平衡衡即可可求出出.ABB1A1mnxzyyFN1FN2dFS’ḿABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’（3）公式式推导导(Derivationoftheformula)假设m-m，n-n上的弯弯矩为为M和M+dM，两截截面上上距中中性轴轴y1处的正正应力力为1和2.A1为距中中性轴轴为y的横线线以外外部分分的横横截面面面积积.式中：：为面积A1对中性轴的静矩.A1化简后后得由平衡衡方程程A1ABB1A1mnxzyym’FN2FN1dFS’b矩型截截面的的宽度度.yz整个横横截面面对中中性轴轴的惯惯性矩矩.距中性性轴为为y的横线线以外外部分分横截面面面积对对中性性轴的的静矩矩.（4）切应应力沿沿截面面高度度的变变化规规律(Theshear-stressdistributionontherectangularcrosssection)沿截面高度的变化由静矩与y之间的关系确定.y1nBmAxyzOyA1B1m1可见，，切应应力沿沿截面面高度度按抛抛物线线规律律变化化.zτmaxy=±h/2（即在在横截截面上上距中中性轴轴最远远处））t=0y=0（即在在中性性轴上上各点点处）），切切应力力达到到最大大值式中，A=bh为矩形截面的面积.z截面静静矩的的计算算方法法A为截面面面积积为截面的形心坐标A12.工字形形截面面梁（工-sectionbeam)假设求求应力力的点点到中中性轴轴的距距离为为y.研究方方法与与矩形形截面面同，，切应应力的的计算算公式式亦为为Hoyxbzhd—腹板的厚厚度Ozydxy—距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A对中性轴的静矩.tminozytmaxτmax（a）腹板板上的的切应应力沿沿腹板板高度度按二二次抛抛物线线规律律变化化；（b）最大大切应应力也也在中中性轴轴上.这也是是整个个横截截面上上的最最大切切应力力.tmintmax式中:—中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩.ydzO假设：：（a）沿宽宽度k-k'上各点点处的的切应应力均汇交交于O'点；（b）各点点处切切应力力沿y方向的的分量量沿宽度相相等.在截面面边缘缘上各各点的的切应应力的的方向向与圆圆周相相切.3.圆截面面梁(Beamofcircularcrosssection)Ozytmax最大切切应力力发生生在中中性轴轴上ydzO式中为圆截面的面积.4.圆环形形截面面梁(Circularpipebeam)图示为为一段段薄壁壁环形形截面面梁.环壁厚厚度为为，环的的平均均半径径为r0，由于«r0故可假假设（a）横截截面上上切应应力的的大小小沿壁壁厚无无变化化；（b）切应应力的的方向向与圆圆周相相切.zyr0δ式中A=2r0为环形形截面面的面面积横截面面上最最大的的切应应力发发生中中性轴轴上，，其值值为zyr0δ二、强强度条条件（Strengthcondition）三、需需要校校核切切应力力的几几种特特殊情情况（1）梁的的跨度度较短短，M较小，，而FS较大时时,要校核核切应应力；；（2）铆接接或焊焊接的的组合合截面面,其腹板板的厚厚度与与高度度比小小于型型钢的相应应比值值时，，要校校核切切应力力；（3）各向异异性材材料(如木材材)的抗剪剪能力力较差差，要校核核切应应力.maxF例题4一简易易起重重设备备如图图所示示.起重量量(包含电电葫芦芦自重重)F=30kN.跨长l=5m.吊车大梁AB由20a工字钢制成成.其许用弯曲曲正应力[]=170MPa,许用弯曲切切应力[]=100MPa，试校核梁的的强度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：此吊车车梁可简化化为简支梁梁，力F在梁中间位位置时有最最大正应力力.（a）正应力强强度校核由型钢表查得20a工字钢的所以梁的最最大正应力力为+FSmax5mABFC（b）切应力强强度校核在计算最大大切应力时时，应取荷荷载F在紧靠任一一支座例如如支座A处所示，因因为此时该该支座的支支反力最大大，而梁的的最大切应应力也就最最大.查型钢表中中，20a号工字钢，，有d=7mm据此校核梁梁的切应力力强度以上两方面面的强度条条件都满足足，所以此此梁是安全全的.例题5简支梁AB如图所示.l＝2m，a＝0.2m.梁上的载荷荷为q为10kN/m，F＝200kN.材料的许用用应力为[]=160MPa，[]＝100MPa，试选择工工字钢型号号.解：（1）计算支反反力做内力力图.qBACDElFFaa8kN210kN208kN41.8kN·m41.8kN·m45kN·m（2）根据最大大弯矩选择择工字钢型型号查型钢表，，选用22a工字钢，其其Wz＝309cm3FRAFRB（3）校核梁的的切应力腹板厚度d=0.75cm，由剪力图图知最大剪剪力为210kN查表得τmax超过[t]很多，应重重新选择更更大的截面面.现已25b工字钢进行行试算查表得d=1cm所以应选用用型号为25b的工字钢.例题6对于图中的的吊车大梁梁，现因移移动荷载F增加为50kN，故在20a号工字钢梁梁的中段用用两块横截截面为120mm10mm而长度2.2mm的钢板加强强加强段的的横截面尺尺寸如图所所示.已知许用弯弯曲正应力力[]=152MPa，许用切应力力[]=95MPa.试校核此梁梁的强度.2.2m200z22012010解：加强后后的梁是阶阶梯状变截截面梁.所以要校核核（3）F移至未加强强的梁段在在截面变化化处的正应应力.（2）F靠近支座时时支座截面上上的切应力；（1）F位于跨中时时跨中截面面上的弯曲正正应力；（1）校核F位于跨中截截面时的弯弯曲正应力力查表得20a工字钢62.5kN·m2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mFRBFRA最大弯矩值为跨中截面对对中性轴的的惯性矩为为200z22012010略去了加强强板对其自自身形心轴轴的惯性矩矩.抗弯截面系数（2）校核突变变截面处的的正应力，，也就是校校核未加强强段的正应应力强度.2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mFRBFRA50.4kN·m该截面上上的最大大弯矩为为从型钢表表中查得得20a工字钢梁不能满满足正应应力强度度条件.为此应将将加强板板适当延延长.（3）校核阶阶梯梁的的切应力力F靠近任一一支座时时，支座座截面为为不利荷荷载位置置请同学们们自行完完成计算算.§5-5提高梁强强度的主主要措施施（Measurestostrengthenthestrengthofbeams)一、降低低梁的最最大弯矩矩