浙江省湖州市2018-2019学年高二下学期期末调研测试数学试卷(含答案)

2018学年第二学期期末调研测试卷高二数学注意事项：本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.2•本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.第I卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1•设集合A1•设集合A=(xgR0<x<2}则AlB=((0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(-1,2)1Io*TOC\o"1-5"\h\z已知复数z满足z=―」(i为虚数单位)，则|z|=()A.1B.2C.3D.\53•已知曲线f(x)=x3一ax2+2在点G,f(1))处的切线的倾斜角为手，则实数a=()A.一2B.一1C.2D.34.若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是()A.C1C2B.C1C2585589C.C3—C3D.C3—C2908590855•若定义在［a,b］上的函数f(x)的导函数广(x)的图象如图所示，贝9()函数f(x)有1个极大值，2个极小值函数f(x)有2个极大值，3个极小值函数f(x)有3个极大值，2个极小值D.函数f（x）有4个极大值，3个极小值兀6•D.函数f（x）有4个极大值，3个极小值兀6•把函数y二sinx（xeR）的图象上所有点向左平行移动-个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐6标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A.y二sin.fx兀)Cy=sin_一——C126丿b.y二sind.y二7•用数学归纳法证明不等式丄+丄+L+丄＞5(neN*)，则当n=k+1时，左端应在n=k的基n+1n+23n6础上加上()11B.一3k+3k+1A.3k+3111112C.++D.+—3k+13k+23k+33k+13k+23k+38.有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（）A.144B.216C.288D.4329.AABC中,ZC=90。，M是BC的中点，若sinZBAM二3，则sinZBAC=(1A.—3B1A.—3B•可v'3D•可10•若存在实数a，b,使不等式4elnx<ax+b<2x2+2对一切正数x都成立（其中e为自然对数的底数），则实数a的最小值是（）A.2eB.4C.eD.2第II卷（非选择题部分，共110分）注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效.二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）11已知多项式（1-2x\=a+ax+ax2+L+ax6，则a二，a二TOC\o"1-5"\h\z01260312•已知｛a｝是等差数列，公差d不为零•若a，a，a成等比数列，且2a+a二1，则a二，d=n23712113.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A二,b=^6，三角形ABC的面积为43+舅TOC\o"1-5"\h\z2，则c二，角B=.14•设函数f(x)=x3-x2.已知a丰0，且f(x)一fG)=(x-b)G-a)2(xeR)，则实数a=，b=15.今有4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是.rrrrrrr16•已知两个不共线的非零向量a，b，满足|a|=2，|a—b|=1，则向量a，b夹角的最大值是.若函数f(x)=x(inx—1)—ax—b(a，beR)在［1,e］存在零点(其中e为自然对数的底数)，则a2+2b的最小值是.三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(本小题满分14分)已知函数f(x)=x3—3ax2—x在x=1处取到极值.求实数a的值，并求出函数f(x)的单调区间.求函数f(x)在［-1,2］上的最大值和最小值及其相应x的值.(本小题满分15分)一个盒子里装有m个均匀的红球和n个均匀的白球，每个球被取到的概率相等已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为3；从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为1011求m，n的值；若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不少于红球个数的概率.(本小题满分15分)如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，E在线段AD上，DE=2，现沿BE将ABE折起，使A至位置A，F在线段A'C上，且CF=2FA'.

求证：DF〃平面ABE；若A在平面BCDE上的射影O在直线BC上，求直线A'C与平面ABE所成角的正弦值.(本小题满分15分)己知A己知A(x,y)，B(x,y)为抛物线y2二16x上的相异两点，且x+x二8.112212若直线AB过M(2,0)，求\AB\的值；若线段AB的垂直平分线交x轴于点F,求APAB面积的最大值.(本小题满分15分)已知函数f(x)=Inx+2x2一mx(meR).若函数f(x)在其定义域内单调递增，求实数m的最大值；若存在正实数对(a,b)，使得当f(a)-f(b)=1时，a-b=1能成立，求实数m的取值范围.2018学年第二学期期末调研测试高二数学参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)题号12题号12345678910答案ADCCBADDDB二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)11.1，-160；12.-，-1；13.1+吕；冬214.—，1~-—.3333215.—；兀16.—；17.-e2.36三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(本小题满分14分)已知函数f(x)=x3-3ax2-x在x=1处取到极值.求实数a的值，并求出函数f(x)的单调区间.求函数f(x)在［-1,2］上的最大值和最小值及其相应x的值.解析：(I)由条件得广(x)=3x2-6ax-1,又f(x)在x=1处取到极值，故广(1)=2-6a=0,解得a二3.此时广(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x—1)由广(x)>0，解得x<—3或x>1，由广(x)<0，解得—3<x<1,(1)因此，函数f(x)在-3，1单调递减，在(1)-3‘-亍和(1,+8)上单调递增.(1)-3‘-亍和(1,+8)上单调递增.k3丿(1)(II)由(I)可知函数f(x)在-1，-厅k3丿单调递增，在1,1单调递减，在(1,2)单调递增.故f(x)二max二max,f此时x=2;f(x)=min={f(-1),f(1)}=-1min此时x=土1.(本小题满分15分)一个盒子里装有m个均匀的红球和n个均匀的白球，每个球被取到的概率相等已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为3；从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为1T'

（I）求m,n的值;(II)若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不少于红球个数的概率.根据题意得解析：(I)设该盒子里有红球m个，白球n个.根据题意得10'11C10'11C2m+n解方程组得m=4,n=8,故红球有4个，白球有8个.(II)设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A.设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”为事件B,则P（B）=C314◎=-C35512p(cp(c)=罟=特12置A,F在线段A'C上，且CF=2FA'.设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个,红球个数为1个”为事件C，则ar\故P（A）=P（B）+P（C）=—42因此，从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数的概率为55-(本小题满分15分)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=6,E在线段AD上,DE=2，现沿BE将ABE折起，使A至位求证：DF〃平面ABE；若A在平面BCDE上的射影O在直线BC上，求直线A'C与平面ABE所成角的正弦值.解析：(I)延长BE,CD交于G,连接A'G.因为DE〃BC，且BC=3DE=6，所以CD=2DG,又CF=2FA'得DF〃AG，DF不在平面ABE内，AG匸平面A'BE因此DF〃平面A'BE.另解：在平面BCDE内作DH〃BE父BC于H,连接FH.则四边形BHDE为平行四边形，则CH=4=2BH，又CF=2FA'，得FH〃A'B，因为FH〃A'B，FH不在平面A'BE内，A'B匸平面A'BE，因此FH〃平面A'BE，同理DH〃平面A'BE，又FHIDH=H，所以平面FDH〃平面A'BE，而DFU平面DFH，因此DF〃平面A'BE.(II)方法一：过O作OM丄BE于M连接A'M，由三垂线定理可知A'M丄BE.(或者由翻折性质可知在平面矩形ABCD中，作A'M丄BE，垂足为M，并延长父BC一点即为O).9在RtAArOB中，OB=,A'B=3,4AOfAB2_OB2=^74-在RtAAOC中，OC=155,AO二耳44AC=、；AO2+OC2=3迈.设点C到平面AABE的距离为乩则由V二VC-A'BEA-CBE得-XdXS二-XA'OXS,3AABE3ACBE解得d一—厂-.d3肿因此直线A'C与平面A'BE所成角9的正弦值sin0=-AC—%方法二：建立如图所示空间直角坐标系.则方法二：建立如图所示空间直角坐标系.则B=（0,6,0），E（3,2,0）,uuuruuuruuurr设平面A'BE的法向量n=(x,y,z)，

uurr93汗BA'•n=__y十z=044買.n一3x十7y十玄z=0x=x=4“得<y=3/7，即n=C^/7,3)uuur

又CA=直线A'C与平面ABE所成角9的正弦值sin°=uurrCA•nuurrCA•3羽16(本小题满分15分)己知A(x,y),B(x,y)为抛物线y2=16x上的相异两点，且x+x=8.112212第21题團若直线AB过M(2,0)，求|AB|的值；若线段AB的垂直平分线交x轴于点F,求APAB面积的最大值.解：(I)方法一：线段AB中点为(4,y),0y-y168k=—12==—ABx-xy+yy12120所以直线ab的方程为y—y0=(x—4),0y0因为直线AB过M(2,0)，则0―y0=(2―4)，解得y16=16.0y00003003003003y2=16x8(八得y2-2yy+2y2-64=0y-y=(x-4)000y0A=(2y)2-4x

0y+y=2y120A=(2y)2-4x

0y+y=2y120

yy=2y2-641200，结合y2=16,得AB=ly得AB=ly1-y=..1+'寻J-y：)=皿.方法二：当垂直于x轴或斜率为零时，显然不符合题意，所以可设直线AB的方程为ty=x-m，代入方程y2二16x,得y2-16ty-16m二0A=(16t)2+4x16m>0y+y二16t12yy二-16m12X+X=12X+X=1216(人+y2I-2y1y2=8,16因此，IABI=、:1+12yI=X'i+12(161)2+4x16m=4話15.(II)方法一：由(I)可知线段AB的中垂线方程为y-y0=-令(x-4(II)方法一：由(I)令y二0，得p(12,0).此时直线AB的方程为y-y0=y(x-4)即8x-y0y+y；-32=°，0故点P(12,0)到直线AB的距离为d=Yy2+64由(I)由(I)知AB=所以S=1d|AB|=扎；(64+y2》(64—y2)APAB28003=256〃

=9/(64+y2)+(64+y2)3=256〃

=96464等号成立当且仅当64+y2=128-2y2即y2二.00032566故APAB面积的最大值为一9—-方法二：由(I)可知线段AB中点坐标为(4,81),所以线段AB的中垂线方程为y-8t=-t(x-4),令y=0，得P(12,0).此时直线AB方程为t（y-8t）=x-4即x-砂+8t2一4-0,故点P(12,0)到直线AB的距离为d=8&2+1可得=J1+12|y—y=16jl+12Jl—12所以s“ab=2d|AB|=64\：，（1+12r（r（1+12）+（1+12）+G-2t2））256腐9等号成立当且仅当1+12=2-2t2即12=-.3256/6故APAB面积的最大值为注：本题第二问求面积的最大值也可采用求导来解答，请酌情给分.(本小题满分15分)已知函数f(x)=Inx+2x2-mx(meR).(I)若函数f(x)在其定义域内单调递增，求实数m的最大值;(II)若存在正实数对(a,b)，使得当f(a)-f(b)=1时，a-b=1能成立，求实数m的取值范围.解析：(I)由题意得广(x)=丄+4x-m，x函数f(x)在其定义域内单调递增，则丄+4x-m>0在(0,+8)内恒成立，x故m<丄+4x.x1Acf1~”11因为一+4x>2-4x=4(等号成立当且仅当4x=—即x=—)x\xx2

所以m<4(经检验m=4满足题目)，所以实数m的最大值为4.(II)由题意得a=b+1，贝9-m，因此原问题转化为：f(a)-f(b)=f(b+1)-f(b)=4b+2+lnf1+-、I-m，因此原