32-抽样定理与信号插值课件

§3.2抽样定理与信号插值一、抽样定理一二、抽样定理二三、限带信号的插值恢复四、非限带信号的插值五、信号插值的应用六、连续卷积与离散卷积的关系§3.2抽样定理与信号插值一、抽样定理一一、抽样定理一1.问题与分析

引例考虑连续时间信号如果将采样间隔取为则有显然，与之间一点关系都没有了！问题采样间隔取多少才

“合适”?采样间隔越大，信息损失越大；采样间隔越小，存储量越大，计算量也越大；一、抽样定理一1.问题与分析引例一、抽样定理一1.问题与分析

目标探讨与之间的关系。具体地说，由能不能恢复?分析由于信号与频谱是一一对应的，因此，问题的关键是信号被采样后，其频率成份能不能完全保留下来。换句话说，从采样信号的频谱函数中，能不能将原来信号的频谱函数完全恢复出来。因此下面将要介绍的抽样定理一就是首先从频谱函数入手，给出了连续信号与离散信号之间的频谱关系。一、抽样定理一1.问题与分析目标一、抽样定理一2.抽样定理一定理设连续时间信号的频谱为它所对应的采样信号的频谱为则有令证明(1)已知一、抽样定理一2.抽样定理一定理一、抽样定理一证明(1)(

B

)(

A

)(2)将以

等分，令则由(

B

)式有一、抽样定理一证明(1)(一、抽样定理一证明(1)(2)(

B

)(

A

)(

C

)(3)比较

(A)

式和

(C)

式，由由唯一性有一、抽样定理一证明(1)(2)一、抽样定理一推论设连续时间信号的频谱为它所对应的采样信号的频谱为则有证明(1)已知一、抽样定理一推论设连续时间信号一、抽样定理一证明(1)(2)令(同理)一、抽样定理一证明(1)(2)一、抽样定理一证明(1)(2)(3)一、抽样定理一证明(1)(2)一、抽样定理一3.几何直观一、抽样定理一3.几何直观一、抽样定理一3.几何直观频率发生了混淆，称此为

混频现象。可见，是由平移叠加而成。定义记称为

折叠(Folding)频率；称为奈奎斯特(Nyquist)频率。折叠的含义?

即信号抽样后，一、抽样定理一3.几何直观频率发生了混淆二、抽样定理二1.限带信号

则称为限带信号；称为截止频率(简称截频)。定义若信号的频谱满足：(?)

若为实信号，则有：注(1)共轭对称，(2)偶对称，即即二、抽样定理二1.限带信号则称理由二、抽样定理二2.采样定理二

则可由采样信号完全恢复原信号对于截频为的限带信号，若采样间隔定理因而没有发生

混频现象；

由有因此，可以从中完全分离出理由二、抽样定理二2.采样定理二则可由采样信号完全恢复原信号对于截频为的限带信号，若采样间隔定理二、抽样定理二2.采样定理二

记忆因此意味着故通常说：所谓截止频率可以看成是信号的最大频率，即而最大频率又对应于信号的

“最小周期”，即采样间隔只需小于最小周期的一半。注若时，则条件可放宽为则可由采样信号完全恢复原信号什么条件时，可由采样信号

完全恢复原信号?设信号当采样间隔满足例解最小周期最大频率截止频率采样间隔应满足：什么条件时，可由采样信号完全恢复原信恢复信号

?

对信号进行采样时，采样间隔应为多少，才能完全已知信号其中的截频为

100

H

z

,例解(1)已知

(2)令恢复信号?对信号进行解(1)已知

(2)(3)根据采样定理知，采样间隔应满足:即信号的截频为恢复信号

?

对信号进行采样时，采样间隔应为多少，才能完全已知信号其中的截频为

100

H

z

,例解(1)已知(2)(3)根据采恢复信号

?

对信号进行采样时，采样间隔应为多少，才能完全已知信号

其中的截频为

100

H

z

,例解(1)已知

(2)恢复信号?对信号进行解(1)已知

(2)(3)根据采样定理知，采样间隔应满足:即信号的截频为恢复信号

?

对信号进行采样时，采样间隔应为多少，才能完全已知信号

其中的截频为

100

H

z

,例解(1)已知(2)(3)根据采对应的采样信号为考虑截频为的限带信号，采样间隔满足恢复过程：

得得得由三、限带信号的插值恢复1.基本原理

由于没有发生

混频现象(如图)，因此，可以从中完全分离出进一步即可完全恢复对应的采样信号为考虑截频为的限带信号三、限带信号的插值恢复2.一般的插值公式

(1)如图，构造一个谱函数：推导其中，根据前面的分析，显然有所对应的信号为：1过渡带三、限带信号的插值恢复2.一般的插值公式三、限带信号的插值恢复2.一般的插值公式

(1)(2)1过渡带推导三、限带信号的插值恢复2.一般的插值公式三、限带信号的插值恢复2.一般的插值公式

公式其中，在过渡带上，连续或光滑。适当小；下面为了叙述方便，不妨将称为插值基函数。1过渡带三、限带信号的插值恢复2.一般的插值公式(1)过渡带的带宽为零三、限带信号的插值恢复3.几个常用的插值基函数下面给出的几个常用插值基函数将在第五章解释其含义;其中的不再单独说明。插值基函数频谱函数(抽样函数)

插值公式(1)过渡带的带宽为零三、限带信号的插值恢复(2)过渡带为一次曲线(直线)

三、限带信号的插值恢复3.几个常用的插值基函数直线频谱函数其中，(下同)插值基函数(2)过渡带为一次曲线(直线)三、限带信号的插值恢复(3)过渡带为二次曲线(抛物线)三、限带信号的插值恢复3.几个常用的插值基函数抛物线频谱函数插值基函数(3)过渡带为二次曲线(抛物线)三、限带信号的插值恢(4)过渡带为余弦曲线其中三、限带信号的插值恢复3.几个常用的插值基函数“余弦”频谱函数插值基函数(4)过渡带为余弦曲线其中三、限带信号的插值四、非限带信号的插值1.插值公式设

为非限带信号，采样间隔为

。对

进行采样后所得到的采样信号为

。无论

采样间隔

多小，都

不可能由

精

确

恢

复

，因此，在对进行插值时，一般仍然采用前面已有的插值公式进行插值，所得到的信号不妨记为，根据前面的推导过程，有即四、非限带信号的插值1.插值公式设四、非限带信号的插值2.误差分析下面仅对插值基函数为抽样函数的情况给出误差分析。结论1证明(满足插值的基本要求)

设如图所示，它所对应的信号为，此时有：四、非限带信号的插值2.误差分析下四、非限带信号的插值2.误差分析结论1结论2证明(1)已知四、非限带信号的插值2.误差分析结论四、非限带信号的插值2.误差分析结论1证明结论2(1)根据抽样定理一的推论可得：(2)四、非限带信号的插值2.误差分析结论五、信号插值的应用1.信号插值的具体实现问题已知求的值。公式步骤(1)将插值基函数反转平移(2)将

离散：(3)对应点相乘并求和：五、信号插值的应用1.信号插值的具体实现五、信号插值的应用1.信号插值的具体实现问题已知求的值。对应点相乘再求和注具体实现时，通常只取的少量的有限个点。图示五、信号插值的应用1.信号插值的具体实现问信号的平移一般用于信号的时差校正；五、信号插值的应用2.(离散)信号的平移问题已知信号的采样信号为而时移量则求信号沿时间轴平移后所对应的采样信号，令求称为信号的

时差。(利用相关分析求得)所谓

信号平移

是指即信号的平移一般用于信号的时差校正；五、信号插值的应用五、信号插值的应用2.(离散)信号的平移分析(1)如果时移量

恰好是采样间隔

的倍数，整点的移动即可完成。(2)如果时移量

不是采样间隔

的倍数，的移动；此时就需要利用插值来完成。则直接进行则先进行整点再对不足一个

采

样间隔的时移量

进行移动

,五、信号插值的应用2.(离散)信号的平移分五、信号插值的应用2.(离散)信号的平移如图，要将采样信号沿t轴的正向移动1毫秒，分析实际上需要通过插值求出所有

点上的信号值，则即是沿t轴的正向移动1毫秒后的采样信号。例如假定时移量为(以下的时间变量均以

ms计)再令五、信号插值的应用2.(离散)信号的平移如五、信号插值的应用2.(离散)信号的平移例如假定时移量为以求为例。图示对应点相乘再求和注意到在求其它点时不需要重新采样五、信号插值的应用2.(离散)信号的平移五、信号插值的应用2.(离散)信号的平移例如假定时移量为步骤(1)将插值基函数反转平移(2)将

离散：(以下的时间变量均以

ms计)(3)计算(4)即为所求的结果。五、信号插值的应用2.(离散)信号的平移例五、信号插值的应用3.(离散)信号的重采样例如已知令求在已有的采样信号的基础上，以新的采样间隔重新采样。

显然，它的实现方法与信号的平移是类似的。主要包括隔点抽取、二分点插值等两种简单情况。五、信号插值的应用3.(离散)信号的重采样五、信号插值的应用3.(离散)信号的重采样例如已知令求步骤(1)将插值基函数反转平移(2)将

离散：(4)结果(3)计算五、信号插值的应用3.(离散)信号的重采样例六、连续卷积与离散卷积的关系设有两个连续信号和，按两种方式进行卷积。(1)先做连续卷积，再抽样：

(2)先抽样，再做离散卷积：

问题是否

?六、连续卷积与离散卷积的关系设有两个连续信号六、连续卷积与离散卷积的关系令则当采样间隔时，有若

和

均为限带信号，截止频率分别为和定理其中，它所对应的信号记为

，(1)设谱函数如图所示，证明六、连续卷积与离散卷积的关系令六、连续卷积与离散卷积的关系它所对应的信号记为

，(1)设谱函数如图所示，证明因此，可由采样信号精确恢复，即由于为限带信号，且截频

因此有即由于也为限带信号，且截频

六、连续卷积与离散卷积的关系它所对应的信号记为六、连续卷积与离散卷积的关系(1)证明(2)令交换次序六、连续卷积与离散卷积的关系(1)证明休息一下……休息一下……§3.2抽样定理与信号插值一、抽样定理一二、抽样定理二三、限带信号的插值恢复四、非限带信号的插值五、信号插值的应用六、连续卷积与离散卷积的关系§3.2抽样定理与信号插值一、抽样定理一一、抽样定理一1.问题与分析

引例考虑连续时间信号如果将采样间隔取为则有显然，与之间一点关系都没有了！问题采样间隔取多少才

“合适”?采样间隔越大，信息损失越大；采样间隔越小，存储量越大，计算量也越大；一、抽样定理一1.问题与分析引例一、抽样定理一1.问题与分析

目标探讨与之间的关系。具体地说，由能不能恢复?分析由于信号与频谱是一一对应的，因此，问题的关键是信号被采样后，其频率成份能不能完全保留下来。换句话说，从采样信号的频谱函数中，能不能将原来信号的频谱函数完全恢复出来。因此下面将要介绍的抽样定理一就是首先从频谱函数入手，给出了连续信号与离散信号之间的频谱关系。一、抽样定理一1.问题与分析目标一、抽样定理一2.抽样定理一定理设连续时间信号的频谱为它所对应的采样信号的频谱为则有令证明(1)已知一、抽样定理一2.抽样定理一定理一、抽样定理一证明(1)(

B

)(

A

)(2)将以

等分，令则由(

B

)式有一、抽样定理一证明(1)(一、抽样定理一证明(1)(2)(

B

)(

A

)(

C

)(3)比较

(A)

式和

(C)

式，由由唯一性有一、抽样定理一证明(1)(2)一、抽样定理一推论设连续时间信号的频谱为它所对应的采样信号的频谱为则有证明(1)已知一、抽样定理一推论设连续时间信号一、抽样定理一证明(1)(2)令(同理)一、抽样定理一证明(1)(2)一、抽样定理一证明(1)(2)(3)一、抽样定理一证明(1)(2)一、抽样定理一3.几何直观一、抽样定理一3.几何直观一、抽样定理一3.几何直观频率发生了混淆，称此为

混频现象。可见，是由平移叠加而成。定义记称为

折叠(Folding)频率；称为奈奎斯特(Nyquist)频率。折叠的含义?

即信号抽样后，一、抽样定理一3.几何直观频率发生了混淆二、抽样定理二1.限带信号

则称为限带信号；称为截止频率(简称截频)。定义若信号的频谱满足：(?)

若为实信号，则有：注(1)共轭对称，(2)偶对称，即即二、抽样定理二1.限带信号则称理由二、抽样定理二2.采样定理二

则可由采样信号完全恢复原信号对于截频为的限带信号，若采样间隔定理因而没有发生

混频现象；

由有因此，可以从中完全分离出理由二、抽样定理二2.采样定理二则可由采样信号完全恢复原信号对于截频为的限带信号，若采样间隔定理二、抽样定理二2.采样定理二

记忆因此意味着故通常说：所谓截止频率可以看成是信号的最大频率，即而最大频率又对应于信号的

“最小周期”，即采样间隔只需小于最小周期的一半。注若时，则条件可放宽为则可由采样信号完全恢复原信号什么条件时，可由采样信号

完全恢复原信号?设信号当采样间隔满足例解最小周期最大频率截止频率采样间隔应满足：什么条件时，可由采样信号完全恢复原信恢复信号

?

对信号进行采样时，采样间隔应为多少，才能完全已知信号其中的截频为

100

H

z

,例解(1)已知

(2)令恢复信号?对信号进行解(1)已知

(2)(3)根据采样定理知，采样间隔应满足:即信号的截频为恢复信号

?

对信号进行采样时，采样间隔应为多少，才能完全已知信号其中的截频为

100

H

z

,例解(1)已知(2)(3)根据采恢复信号

?

对信号进行采样时，采样间隔应为多少，才能完全已知信号

其中的截频为

100

H

z

,例解(1)已知

(2)恢复信号?对信号进行解(1)已知

(2)(3)根据采样定理知，采样间隔应满足:即信号的截频为恢复信号

?

对信号进行采样时，采样间隔应为多少，才能完全已知信号

其中的截频为

100

H

z

,例解(1)已知(2)(3)根据采对应的采样信号为考虑截频为的限带信号，采样间隔满足恢复过程：

得得得由三、限带信号的插值恢复1.基本原理

由于没有发生

混频现象(如图)，因此，可以从中完全分离出进一步即可完全恢复对应的采样信号为考虑截频为的限带信号三、限带信号的插值恢复2.一般的插值公式

(1)如图，构造一个谱函数：推导其中，根据前面的分析，显然有所对应的信号为：1过渡带三、限带信号的插值恢复2.一般的插值公式三、限带信号的插值恢复2.一般的插值公式

(1)(2)1过渡带推导三、限带信号的插值恢复2.一般的插值公式三、限带信号的插值恢复2.一般的插值公式

公式其中，在过渡带上，连续或光滑。适当小；下面为了叙述方便，不妨将称为插值基函数。1过渡带三、限带信号的插值恢复2.一般的插值公式(1)过渡带的带宽为零三、限带信号的插值恢复3.几个常用的插值基函数下面给出的几个常用插值基函数将在第五章解释其含义;其中的不再单独说明。插值基函数频谱函数(抽样函数)

插值公式(1)过渡带的带宽为零三、限带信号的插值恢复(2)过渡带为一次曲线(直线)

三、限带信号的插值恢复3.几个常用的插值基函数直线频谱函数其中，(下同)插值基函数(2)过渡带为一次曲线(直线)三、限带信号的插值恢复(3)过渡带为二次曲线(抛物线)三、限带信号的插值恢复3.几个常用的插值基函数抛物线频谱函数插值基函数(3)过渡带为二次曲线(抛物线)三、限带信号的插值恢(4)过渡带为余弦曲线其中三、限带信号的插值恢复3.几个常用的插值基函数“余弦”频谱函数插值基函数(4)过渡带为余弦曲线其中三、限带信号的插值四、非限带信号的插值1.插值公式设

为非限带信号，采样间隔为

。对

进行采样后所得到的采样信号为

。无论

采样间隔

多小，都

不可能由

精

确

恢

复

，因此，在对进行插值时，一般仍然采用前面已有的插值公式进行插值，所得到的信号不妨记为，根据前面的推导过程，有即四、非限带信号的插值1.插值公式设四、非限带信号的插值2.误差分析下面仅对插值基函数为抽样函数的情况给出误差分析。结论1证明(满足插值的基本要求)

设如图所示，它所对应的信号为，此时有：四、非限带信号的插值2.误差分析下四、非限带信号的插值2.误差分析结论1结论2证明(1)已知四、非限带信号的插值2.误差分析结论四、非限带信号的插值2.误差分析结论1证明结论2(1)根据抽样定理一的推论可得：(2)四、非限带信号的插值2.误差分析结论五、信号插值的应用1.信号插值的具体实现问题已知求的值。公式步骤(1)将插值基函数反转平移(2)将

离散：(3)对应点相乘并求和：五、信号插值的应用1.信号插值的具体实现五、信号插值的应用1.信号插值的具体实现问题已知求的值。对应点相乘再求和注具体实现时，通常只取的少量的有限个点。图示五、信号插值的应用1.信号插值的具体实现问信号的平移一般用于信号的时差校正；五、信号插值的应用2.(离散)信号的平移问题已知信号的采样信号为而时移量则求信号沿时间轴平移后所对应的采样信号，令求称为信号的

时差。(利用相关分析求得)所谓

信号平移

是指即信号的平移一般用于信号的时差校正；五、信号插值的应用五、信号插值的应用2.(离散)信号的平移分析(1)如果时移量

恰好是采样间隔

的倍数，整点的移动即可完成。(2)如果时移量

不是采样间隔

的倍数，的移动；此时就需要利用插值来完成。则直接进行则先进行整点再对不足一个

采

样间隔的时移量

进行移动

,五、信号插值的应用2.(离散)信号的平移分五、信号插值的应用2.(离散)信号的平移如图，要将采样信号沿t轴的正向移动1毫秒，分析实际上需要通过插值求出所有

点上的信号值，则