311方程的根和函数的零点课件

3.3.1方程的根与函数的零点3.3.1方程的根与函数的零点一、创设情境今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月。

早在16世纪，数学家就已经解决了一次，二次，三次和四次方程的一般性解法，在随后的三百多年里，方程解法的发展停滞了。

方程解法史话

直到19世纪挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解。这就是方程求解的发展史。一、创设情境今天我们可以从教科书中了解各式各样方我的根是0.5我的根是3和-1我的根有点难度，等学完这节你们就会了！！！我的根是0.5我的根是3和-1我的根有点难度，等学完这节你们方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1

函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3问题1求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标.函数图象与X轴的交点二、新知探究方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－方程ax2+bx+c=0(a>0)的根函数y=ax2+bx+c(a>0)的简图

判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2问题2对于一般的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，其判别式＝b2－4ac.y=0思考：当a<0时呢？方程ax2+bx+c=0函数判别式△＞0△=0△＜0函数的

思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？方程的根和相应的函数图象与x轴交点的横坐标相同.思考：一元二次方程方程的根和相应对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点．1函数零点的定义：根、零点、交点间的等价关系:方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点注：零点是数不是点；

函数的零点是函数图象与X轴交点的横坐标！对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数练习1：DＡ.（-1，0）,（3，0）；Ｂ.x=-1；Ｃ.x=3；Ｄ.-1和3

2练习1：DＡ.（-1，0）,（3，0）；Ｂ.x=-1；2

思考：是否所有函数都有零点呢？怎样判断一个函数在给定区间上是否存在零点？

知识探究（二）：函数零点存在性原理

思考：是否所有函数都有知识探究（二）：函1.发现在区间(-2，1)上有零点f(-2).f(1)

0(填“>”或“<”)2.发现在区间(2，4)上有零点

f(2).f(4)

0(填“>”或“<”)观察1二次函数f(x)=x2-2x-3图象

<

-1

<

3讨论探究，揭示定理1.发现在区间(-2，1)上有零点2.发现在区间(2，4)上

观察2

函数y=f(x)在其零点附近的函数值的变化情况.（1）f(a)f(b)__0,

函数在开区间（a，b）内有零点；

函数在开区间（b，c）内有零点；（2）f(b)f(c)__0,

函数在开区间（c，d）内有零点；（3）f(c)f(d)__0,问题：你发现了什么？猜测：对于连续函数，如果有f(a)·f(b)<0成立，那么函数在区间(a,b)上有零点。观察2函数y=f(x)在其零点附近的函数2

零点存在性定理（勘根定理）条件：1.函数图象连续。2.f(a)f(b)﹤0如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)﹤0，那么函数y=f(x)在(a,b)内有零点，即存在c∈

(a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。补充：函数y=f(x)在区间[a,b]内单调时其只有一个零点。

2零点存在性定理（勘根定理）条件：1.函数图象连续。（1）图象不是一条连续不断的曲线，f(a)·f(b)<0,函数在区间(a,b)内一定有零点。（2）图象是一条连续不断的曲线，f(a)·f(b)>0,函数在区间(a,b)内一定有零点。（3）图象是一条连续不断的曲线，函数在区间(a,b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0。xyo(1)xyo(2)yx(3)o讨论探究，揭示定理思考3（1）图象不是一条连续不断的曲线，f(a)·f(b)<0,x三、“零点存在问题”的初步应用例1：求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。等价于解法1求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。三、“零点存在问题”的初步应用例1：求函数f(x)=lnx因f(2)<0,f(3)>0，则f(2)·f(3)<0，又函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.11例1：求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。由零点存在性定理知f(x)在（2,3）上有零点.解法2：因f(2)<0,f(3)>0，则f(2)·f(3)<0方程lnx=-2x+6根的个数函数y=lnx与y=-2x+6图像交点的个数，且交点的横坐标就是方程的根等价于解法3：方程lnx+2x－6=0根的个数函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数等价于等价于方程lnx=-2x+6根的个数函数y=lnx与y=-2x+6函数y=lnx

与

y=-2x+6图象函数y=lnx与y=-2x+6图象判定函数零点的方法：(1)定义法：解方程f(x)=0，得出函数的零点。(2)图象法：画出y=f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标；也可转化为两函数图象交点的问题。(3)定理法：函数零点存在性定理。判定函数零点的方法：(1)定义法：解方程f(x)=0，得出练习3.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：

（3）f(x)=－x3－3x+5；（2）f(x)=2x·ln(x－2)－3；（1）f(x)=ex－1+4x－4;（4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x.练习3.利用函数的图象，指出下列函数零点（3）f(x)=方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点(1)函数的零点的定义：(2)根、零点、交点间的等价关系：三、课堂小结(3)零点的存在性定理：(4)零点的判定方法：你学到了什么？方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函四、作业布置:

必做题：教材P88练习第1题。选做题：求

在区间（0,3）范围内恰有一个零点，则a的取值范围是多少？

思考题：知道在某个区间上函数有零点，那么怎么去确定函数的零点？四、作业布置:思考题：知道在某个区间上函数有零3.3.1方程的根与函数的零点3.3.1方程的根与函数的零点一、创设情境今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月。

早在16世纪，数学家就已经解决了一次，二次，三次和四次方程的一般性解法，在随后的三百多年里，方程解法的发展停滞了。

方程解法史话

直到19世纪挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解。这就是方程求解的发展史。一、创设情境今天我们可以从教科书中了解各式各样方我的根是0.5我的根是3和-1我的根有点难度，等学完这节你们就会了！！！我的根是0.5我的根是3和-1我的根有点难度，等学完这节你们方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1

函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3问题1求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标.函数图象与X轴的交点二、新知探究方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－方程ax2+bx+c=0(a>0)的根函数y=ax2+bx+c(a>0)的简图

判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2问题2对于一般的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，其判别式＝b2－4ac.y=0思考：当a<0时呢？方程ax2+bx+c=0函数判别式△＞0△=0△＜0函数的

思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？方程的根和相应的函数图象与x轴交点的横坐标相同.思考：一元二次方程方程的根和相应对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点．1函数零点的定义：根、零点、交点间的等价关系:方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点注：零点是数不是点；

函数的零点是函数图象与X轴交点的横坐标！对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数练习1：DＡ.（-1，0）,（3，0）；Ｂ.x=-1；Ｃ.x=3；Ｄ.-1和3

2练习1：DＡ.（-1，0）,（3，0）；Ｂ.x=-1；2

思考：是否所有函数都有零点呢？怎样判断一个函数在给定区间上是否存在零点？

知识探究（二）：函数零点存在性原理

思考：是否所有函数都有知识探究（二）：函1.发现在区间(-2，1)上有零点f(-2).f(1)

0(填“>”或“<”)2.发现在区间(2，4)上有零点

f(2).f(4)

0(填“>”或“<”)观察1二次函数f(x)=x2-2x-3图象

<

-1

<

3讨论探究，揭示定理1.发现在区间(-2，1)上有零点2.发现在区间(2，4)上

观察2

函数y=f(x)在其零点附近的函数值的变化情况.（1）f(a)f(b)__0,

函数在开区间（a，b）内有零点；

函数在开区间（b，c）内有零点；（2）f(b)f(c)__0,

函数在开区间（c，d）内有零点；（3）f(c)f(d)__0,问题：你发现了什么？猜测：对于连续函数，如果有f(a)·f(b)<0成立，那么函数在区间(a,b)上有零点。观察2函数y=f(x)在其零点附近的函数2

零点存在性定理（勘根定理）条件：1.函数图象连续。2.f(a)f(b)﹤0如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)﹤0，那么函数y=f(x)在(a,b)内有零点，即存在c∈

(a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。补充：函数y=f(x)在区间[a,b]内单调时其只有一个零点。

2零点存在性定理（勘根定理）条件：1.函数图象连续。（1）图象不是一条连续不断的曲线，f(a)·f(b)<0,函数在区间(a,b)内一定有零点。（2）图象是一条连续不断的曲线，f(a)·f(b)>0,函数在区间(a,b)内一定有零点。（3）图象是一条连续不断的曲线，函数在区间(a,b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0。xyo(1)xyo(2)yx(3)o讨论探究，揭示定理思考3（1）图象不是一条连续不断的曲线，f(a)·f(b)<0,x三、“零点存在问题”的初步应用例1：求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。等价于解法1求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。三、“零点存在问题”的初步应用例1：求函数f(x)=lnx因f(2)<0,f(3)>0，则f(2)·f(3)<0，又函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.11例1：求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。由零点存在性定理知f(x)在（2,3）上有零点.解法2：因f(2)<0,f(3)>0，则f(2)·f(3)<0方程lnx=-2x+6根的个数函数y=lnx与y=-2x+6图像交点的个数，且交点的横坐标就是方程的根等价于解法3：方程lnx+2x－