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文档简介
第二节曲线的凸凹性与拐点第四章一、曲线凸凹性的概念二、曲线凸凹性的判定三、拐点的判定在区间I
上连续,则称设函数若恒有图形是凸的;若恒有图形是凹的.一、曲线凸凹性的概念定义4.2
曲线的凸凹性yO
x1
x1
x2
x2
x2x12x1
x2
x2yOx则称曲线弯曲的方向不同证1记x0
2
(x1
x2
),xOx2x1
x0二、曲线凸凹性的判定定理4.5(凹凸判定法)二阶充分条件设函数由拉氏中值定理可得h
x0
x1
x2
x0两式相减，可得f
(
x)
0xOx2x1
x0定理7(一阶充分条件)
若f(x)在[a,
b]上连续, (a,
b)内可导,且f
(x)在(a,b)内严格单调增加(或减少),则f(x)是[a,
b]上的凸(凹)函数.证明:x1,
x2
[a,b],
x1
x2
,220
1记x
1
(
x
x
),f
(x)在[x1,x0
],[x0
,x2
]上满足L定理的条件,故1
(x1,x0
),2
(x0
,x2
)使得:22
11
0
1
1
0
1)(1),x
x
)(f
(
x
)
f
(
x
)
f
(
)(
x
x
)
f
(2f
(
x2
)
f
(
x0
)
f
(2
)(
x2
x0
)
f
(2
)(
x2
x1
)(2),22
12
11
2
0)
0,
x
x)
f
((1)
(2)
:
f
(
x
)
f
(
x
)
2
f
(
x
)
[
f
(
)](),21221x
x[
f
(
x1
)
f
(
x2
)]
f
(
x0
)
f
(故,定理得证.例1
判断曲线的凹凸性.解y
4
x3
,故曲线在上是凸的.例2
判断曲线
y
x3的凹凸性.解y
3
x2
,故曲线
在上是凸的,在上是凹的.点(0,0)是凸弧与凹弧的分界点.凹弧的分界点称为拐点.定义3.3yOx连续曲线弧上凸弧与定理
(必要条件)
若f(x)在[a,
b]上连续,在(a,
b)内有二阶导数,且f(x)是[a,
b]上的凸(凹)函数,
则
f
(x)0
(或
0)
.三.凸函数的性质及其几何意义性质1
设f(x)是[a,
b]上的凸函数,
在(a,
b)内具有二阶导数,则对任意的x,x0[a,b],都有:0
0f(x)f(x
)+f
(x
)(xx
).200
00
02!1f
(
x)
f
(
x
)
f
(
x
)(
x
x
)
f
(
)(
x
x
)证明：Ox由
f
(
)
0,
得：f
(
x)
f
(
x0
)
f
(
x0
)(
x
x0
)性质1表明：凸函数的图形在任一点处切线的上方.yy=f(x)10证明:性质2
设f(x)是[a,b]上的凸函数,在(a,b)内具有二阶导数,则对任意的x1,x2[a,
b]及[0,
1],都有:f[x1+(1)x2]
f(x1)+(1)fx1,
x2
[a,b],
[0,1],x0
x1
(1
)x2
[a,
b],x0
x1
x1
(1
)x2
x1
(1
)(x2
x1
),x0
x2
x1
(1
)x2
x2
(
x2
x1
),由性质1得:
f
(
x1
)
f
(
x0
)
f
(
x0
)(
x1
x0
)
f
(
x0
)
f
(
x0
)(1
)(
x2
x1
)(1),()2)(,f
(
x2
)
f
(
x0
)
f
(
x0
)(
x2
x0
)
f
x0
f
x0
x2
x11
得((1fx0fxfxfxx
1
2
].()(1)()()(12[)
（Jensen)不等式性质2
表明：凸函数的图形在任两点间的弧段必在对应弦的下方.xyy=f(x)Ox1
x1+(1)x2
x2证明:22
x
sin
x.例3.
利用凸(凹)函数的性质证明：当
0
x
时,
有设f
(x)
sin
x
2
x,则f
(x)
cos
x
2
,2f
(
x)
sin
x
0, (0
x
),故f
(x)为凹函数,曲线在弦的上方,2(
,0)的连线,即为x轴,而弦为(0,0)与从而f即sin
x
2
x
0.亦即2
x
sin
x.yOxy=sinxy=2x//2例4利用函数图形的凹凸性，证明不等式：2e
xx
ye
e
y(
x
y)2证
设
f
(t
)
et
f
(t
)
et
0
曲线
y
f
(t
)是凸的即22e
xx
y
e
ye
(
x
y)从而
x,
y
R,
x
y,
有f
(
x)
f
(
y)
f
(
x
y
)2
21221
b
a例.
1,
a,b为正数时，证明：(a
b)
补充：例.
设a,b,p,q都是正数，试证明p
q
(
p
q)2a
b pa
qb四、拐点的判定定理4.6
(拐点判定法)若曲线或不存在,若
f
(
x)
在
x0
两侧异号,
则点(
x0
,
f
(
x0
))
是曲线的一个拐点.若f
(x)在x0
两侧同号,则点(x0
,f
(x0
))不是曲的拐点.的拐点.52解
y
(
x
2)3
,3910y
(
x
2)yy2x
(,
2)(2,
)不存在0因此点(2,0)为曲线的拐点.凹凸例5
求曲线,910
1313
x
2的拐点.y
5
x
2
,
y
2
5
x
1.33
x
9
x3
x例6
求曲线解xyy(,
1)5(
1
,0)0
不存在凹凸(0,
)凸5
5
10拐点因此的拐点.设y
f
(
x)在x
x0的某邻域内具有三阶连续例7导数,
如果
f
(
x0
)
0,
而
f
(
x0
)
0,
试问(
x0
,
f
(
x0
))是否为曲线y
f
(
x)的拐点,
为什么解不失一般性,
设f
(
x0
)
0.由三阶导数在x
x0的某邻域连续可知x
x0lim
f
(
x)
f
(
x0
)
0.由极限的局部保号性知
存在U
(
x0
,
),使得当x
U
(
x0
,
)时,
f
(
x)
0.于是
f
(
x)在该邻域内单调递增但
f
(
x0
)
0,故当x
(x0
,x0
)时,当x
(x0
,x0
)时,从而(x0
,f
(x0
))是拐点.f
(
x)
0,f
(
x)
0,当x
U
(x0
,
)时,f
(
x)
0.如果条件改为：极值点还是拐点？说明理由。0
0
00)
xf)满(
足 公式200
002!(
x
-x
)
f
(
)f
(
x
)(
x
-x
)
f
(
x)
f
(
x
)
其中介于x与x0之间0xx)-2
f
)(!2
xf)(解：则在x0
的某一去心邻域内f
'(x)
0
（不变号）因此不是极值点。方法二：解:f
(
x)
f
(
x0
)
f
(
x0
)(
x
x0
)
1
f
(
x0
)(
x
x0
)2
1
f
(
)(
x
x0
)3
,2!
3!
f
(
x0
)
f
(
x0
)
0,
f
(
x)
f
(
x0
)
1
f
(
)(
x
x0
)3
,
f
(
x0
)
0,3!不妨设f
(x0
)
0,N
(
x0
,
),使得x
N
(
x0
,
)
f
(
x)
0,当x
N
(
x0
,
)时,
f
(
x)
f
(
x0
),当x
N
(
x0
,
)时,
f
(
x)
f
(
x0
),故x0不是f
(
x)的极值点, f
(
x0
)
0
的情形同样证明.而(x0
,f
(x0
))必是拐点,又f
(
x0
)
0,
故f
(
x)在点x0的两侧异号,(x0
,f
(x0
))是拐点.000
f
(x
)x
xf
(x)
f
(x
)
limx
x0这是因为:
当f
(
x0
)
0,
或f
(
x0
)
0,利用三阶导数定义：23x0
0,)试0(证,)(明f
(,x(,00))是拐点。f
(,x(,00))不是拐点。x0
而fn1()
n)(f
x)(在若x0的某邻域内具有n阶连续导数，且f
x0
')(
f0
000
0
0n!x
)(f
()nx
)(
0
n
1)(!x
x
)(n1
0
x
x
)(n
o((
x
x
))nf
(1n)f
x
f
x
f
()x()()(
x
x
)
)1n(为奇数时,x0不是极值点但x)2n(为偶数时,x0是极值点但x把f
x)(在x0
，得x
x0limx
x00
0,x
N
x
,
0(
x
x
)nf
(
x)
f
(
x0
)
000
0由局部保号性（1）
为奇数
xN时f(x,x(，)f)x()
0
xnN时(f.,x，(x))f(x)
(2)n为偶数.
f
(
x)
f
(
x0
),
x0为极值点.x0不是极值点(
x
x
)nlim
f
(
x)
f
(
x
)0
0
0
0
0
0
0
n!))
f
x
)(n!x
)(
o((x
xx
x
)(nn
()nf
()n0(
x
x
)n2f
(
x)
f
(
x
)0x
x00由局部保号性
0,x
N
x
,
00(
x
x
)n2f
(
x)
0x
N
x
时，f
x
0)（1）n为奇数
则n
为奇数.x
N
x0
时，f
x
0)(2)n为偶数.f
(x)
0,(x0
,f
(x0
))不是拐点.(x0
,f
(x0
))是拐点000000
00o((
x
x
n2
)x
)(n2xn
2()!x
)(f
()nx
x
)(n3
n
3()!x
)(f
(1n)f
x
f
x
f
((x)()(
x
x
)
把f
()x
在x000lim
0
lim
0
0
0
(n
2)!f
(n)
(x
)x
x
(n
2)!
(x
x
)n2o((x
x
)n2
)f
(n)
(x
)xf
(0)是f(x)的极大值;f
(0)是f(x)的极小值;(C).(0,
f
(0))是曲线y
f
(x)的拐点;(D).f
(0)非f(x)的极值,(0,
f
(0))亦非曲线y
f
(x)的拐点.lim
f
(x)
1,则(
).设f
(x)有二阶连续导数,且f
(0)
0,x0
1
0,xf
(
x)x0分析:因lim0,
x故由局部保号性,
x
N
(0,
),有f
(x)
0,于是f
(x)
0,f
(x)x
0时，f
(
x)
f
(0)
0,x
0时，f
(
x)
f
(0)
0从而f
(0)是f
(x)的极小值.例设f
(x)具有三阶导数，且f
(x0
)
0,f
'(x0
)
0证明:点(
x0
,0)为曲线y
(
x
x0
)
f
(
x)的拐点2证明y'''
6
f
'(
x)
6(
x
x0
)
f
''(
x)
(
x
x0
)
f
'''(
x)2y'''(
x0
)
6
f
'(
x0
)
0分析y'
2(
x
x0
)
f
(
x)
(
x
x0
)
f
'(
x)2y''
2
f
(
x)
4(
x
x0
)
f
'(
x)
(
x
x0
)
f
''(
x)2y''(
x0
)
0只要证明y''(x)在x0的左右领域异号!但是符号难以确定，如何解决0000y''(
x)
limx
xy''(
x)
y''(
x
)y'''(
x
)
limx0
x
xx0不妨设y'''(x0
)
0有局部保号性定理知
0,00x
xy''当0
|
x
x
|
,
有
0所以，当x0
x
x0
,
y''
0当x0
x
x0
,y''
0从而，(x0
,0)为拐点证
y
y
(
x2
1)2(
x2
1)3
2(
x
1)(
x
2
3)(
x
2
3)(
x2
1)3x2
1(
x2
1)
(
x
1)2
x
1
2
x
x2(
x2
1)2(
x2
1)4
2(
x3
3
x2
3
x
1)(2
2
x)
(x2
1)2
(1
2x
x2
)
2(x2
1)
2
x例4-2
求证曲线
y
x
1
有位于一直线的三个拐点.x3
2
3,x2
2
3
,8
4
33
,
1
令
y
0
得x1
1
,从而三个拐点为(1,
1),
(2
因为3).8
4
33 ,
1
3)
,
(2
2
3
1
2
所以三个拐点共线.
1
84
3
1
33
1
84
3
1
3
1例4-3
设f
(x)
K
(x2
3)2
,问当K为何值时,曲线在拐点处的法线通过原点.解
f
(
x)
4Kx(
x2
3),f
(
x)
4K
(
x2
3)
8Kx2
12K
(
x2
1).令f
(
x)
0,
解得x
1.而当x
1时，f
(x)与K符号相同,当
1
x
1时，f
(x)与K符号相反,当x
1时，f
(x)也与K符号相同.因此x
1为曲线的拐点此时y
4K
,拐点为(1,4K
)和(1,4K
).当x
1时，切线的斜率f
(
x)
8K
,
此时法线的8K解得K
1
时，原曲线在拐点4
2处的法线通过原点.1
,1
0
8K斜率为
1
,
又发现经过原点，
即
4K
0
内容小结拐点——连续曲线上有切线的凹凸分界点f
(
x)
0,
x
I曲线凹凸与拐点的判别f
(x)
0,x
I
曲线f
(x)在I
上是凸的曲线f
(x)在I
上是凹的x
ln
x
y
ln
y
(
x
y)ln
x
y
,(
x
0,
y
0,
x
y).思考题利用函数图形的凹凸性，证明不等式证2令f
(t
)
t
ln
t,
D
(0,).tf
(t
)
lnt
1,
f
(t
)
1
0
t
(0,),故曲线f
(t
)的图形在(0，
)是凸的.于是对于x
0,y
0,x
y,有即2x
ln
x
y
ln
y
(
x
y)ln(
x
y
).备用题例1-1曲线xy2
)的1ln凹(凸性与拐点.,x2
12
x解
y
(
x2
1)
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