专题1递推关系与通项公式课件

第二章数列专题1递推关系与通项公式第二章数列专题1递推关系与通项公式1【要点预览】递推关系1：类等差型

an＋1＝an＋f(n)递推关系2：类等比型

an＝f(n)·an－1递推关系3：一阶常数型

an＝pan－1＋q(n≥2)(其中p，q为常数，pq≠0，p≠1)递推关系4：一阶后指数函数型

an＝pan－1＋rqn(n≥2)

(其中pqr≠0，p，q，r为常数)型【要点预览】递推关系1：类等差型an＋1＝an＋f(n)递2递推关系5：一阶后一次函数型

an＝pan－1＋qn＋r(n≥2）

(其中pq≠0，p，q为常数)递推关系7：二阶常数型

an＋1＝pan＋qan－1(pq≠0)

递推关系6：一阶倒数型pan＋1＋qan＋ran＋1an＝0(pqr≠0)递推关系5：一阶后一次函数型an＝pan－1＋qn＋r(n3【题型分类·深度剖析】题型1：类等差型an＋1＝an＋f(n)递推关系例1：（1）已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，则通项公式an＝__________.n2－2n＋21（2）已知{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，则an＝______.2n－1【题型分类·深度剖析】题型1：类等差型an＋1＝an＋4方法1：迭代法an＝an-1＋f(n－1)＝an-2＋f(n-2)＋f(n－1)＝……＝a1＋f(1)

＋f(2)+……+f(n)，方法2：累加法an=(an－an-1)+(an-1－an-2)+……+(a3－a2)+(a2－a1)+a1，解题指导：类等差型an＋1＝an＋f(n)递推关系=f(n-1)+f(n-2)+……+f(2)+f(1)+a1方法1：迭代法an＝an-1＋f(n－1)＝an-2＋f(n5题型2：类等比型an＝f(n)·an－1递推关系例2：（1）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn＝n2·an，求数列{an}的通项公式．题型2：类等比型an＝f(n)·an－1递推关系6方法1：迭代法an＝an-1×f(n-1)＝an-2×f(n-2)×f(n-1)＝……＝a1×f(1)

×f(2)×……×f(n)，方法2：累乘法解题指导：类等比型an＝an-1×f(n－1)递推关系方法1：迭代法an＝an-1×f(n-1)＝an-2×f(n7【变式探究】答案：1.设f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝0.5，数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项an等于________．【变式探究】答案：1.设f(x)＝a1＋a2x＋a3x28题型3：递推关系形如an＝pan－1＋q(n≥2)型(其中p，q为常数，pq≠0，p≠1)例3：（1）数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，求an.（2）在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________.题型3：递推关系形如an＝pan－1＋q(n≥2)型9解法指导：一阶常数型递推关系an＝pan－1＋q(n≥2)(p，q为常数，pq≠0，p≠1)方法1：待定系数法递推式可化为an＋1＋A＝p(an＋A)，方法2：阶差法递推式阶差为an＋1－an＝p(an－an－1)，解法指导：一阶常数型递推关系an＝pan－1＋q(n≥2)10题型4：递推关系形如an＝pan－1＋rqn(n≥2)型(其中pqr≠0，p，q，r为常数)型例4：（1）数列{an}满足an＝4an－1＋2n(n≥2，n∈N*)，且a1＝2，求an.（2）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n，则an＝__________.题型4：递推关系形如an＝pan－1＋rqn(n≥2)型11解法小结：一阶指数函数型递推关系方法1：同除法递推式可化为方法2：待定系数法递推式可化为an+xqn＝p(an－1+xqn-1)，an＝pan－1＋rqn(n≥2)(pqr≠0，p，q，r为常数)或者解法小结：一阶指数函数型递推关系方法1：同除法递推式可化为方12【变式探究】1.已知数列{an}满足an+1＝2an＋3×2n，a1＝2，求an.【变式探究】1.已知数列{an}满足an+1＝2an＋3×213题型5：递推关系如an＝pan－1＋qn＋r(n≥2）型

(其中pq≠0，p，q为常数)例5：已知数列{an}中，a1＝0.5，点(n，2an＋1－an)在直线y＝x上，其中n∈N*，求数列{an}的通项．题型5：递推关系如an＝pan－1＋qn＋r(n≥2）型例14解法小结：一阶一次函数型递推关系方法：待定系数法递推式可化为an+xn+y＝p[an－1+x(n-1)+y]an＝pan－1＋qn+r(n≥2)(pq≠0，p，q为常数)解法小结：一阶一次函数型递推关系方法：待定系数法递推式可化为151.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，求数列{an}的前n项和Sn.(1)由题设an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.∴数列{an－n}是等比数列且首项为1，且公比为4∴an－n＝4n－1，即an＝4n－1+n【变式探究】解析：1.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，16题型6：递推关系如

pan＋1＋qan＋ran＋1an＝0(pqr≠0)型例7：数列{an}满足a1＝1，n≥2时，an－1－an＝2an－1an，求通项公式an.解析：∵an－1－an＝2an－1an，题型6：递推关系如pan＋1＋qan＋ran＋1an＝017解法指导：方法：倒数法递推式可化为递推关系pan＋1＋qan＋ran＋1an＝0

(pqr≠0)解法指导：方法：倒数法递推式可化为递推关系pan＋1＋qa18『变式探究』1.已知数列{an}满足a1=1，，求an.答案：2.设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，求an.答案：『变式探究』1.已知数列{an}满足a1=1，193.数列{an}中，a1＝1，an＋1＝求an.答案：4.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，求an.答案：3.数列{an}中，a1＝1，an＋1＝20题型7：递推关系形如an＋1＝pan＋qan－1(pq≠0)型例8：在数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，求an.题型7：递推关系形如an＋1＝pan＋qan－1(pq≠21解法指导：二阶型递推关系方法：待定系数法递推式可化为an+1+xan＝y(an+xan-1)an＋1＝pan＋qan－1(pq≠0，p，q为常数)解法指导：二阶型递推关系方法：待定系数法递推式可化为an+122『变式探究』1.已知{an}中，a1＝1，a2＝2，3an－an－1－2an－2＝0(n≥3)，求数列{an}的通项公式．『变式探究』1.已知{an}中，a1＝1，a2＝2，3an23第二章数列专题1递推关系与通项公式第二章数列专题1递推关系与通项公式24【要点预览】递推关系1：类等差型

an＋1＝an＋f(n)递推关系2：类等比型

an＝f(n)·an－1递推关系3：一阶常数型

an＝pan－1＋q(n≥2)(其中p，q为常数，pq≠0，p≠1)递推关系4：一阶后指数函数型

an＝pan－1＋rqn(n≥2)

(其中pqr≠0，p，q，r为常数)型【要点预览】递推关系1：类等差型an＋1＝an＋f(n)递25递推关系5：一阶后一次函数型

an＝pan－1＋qn＋r(n≥2）

(其中pq≠0，p，q为常数)递推关系7：二阶常数型

an＋1＝pan＋qan－1(pq≠0)

递推关系6：一阶倒数型pan＋1＋qan＋ran＋1an＝0(pqr≠0)递推关系5：一阶后一次函数型an＝pan－1＋qn＋r(n26【题型分类·深度剖析】题型1：类等差型an＋1＝an＋f(n)递推关系例1：（1）已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，则通项公式an＝__________.n2－2n＋21（2）已知{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，则an＝______.2n－1【题型分类·深度剖析】题型1：类等差型an＋1＝an＋27方法1：迭代法an＝an-1＋f(n－1)＝an-2＋f(n-2)＋f(n－1)＝……＝a1＋f(1)

＋f(2)+……+f(n)，方法2：累加法an=(an－an-1)+(an-1－an-2)+……+(a3－a2)+(a2－a1)+a1，解题指导：类等差型an＋1＝an＋f(n)递推关系=f(n-1)+f(n-2)+……+f(2)+f(1)+a1方法1：迭代法an＝an-1＋f(n－1)＝an-2＋f(n28题型2：类等比型an＝f(n)·an－1递推关系例2：（1）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn＝n2·an，求数列{an}的通项公式．题型2：类等比型an＝f(n)·an－1递推关系29方法1：迭代法an＝an-1×f(n-1)＝an-2×f(n-2)×f(n-1)＝……＝a1×f(1)

×f(2)×……×f(n)，方法2：累乘法解题指导：类等比型an＝an-1×f(n－1)递推关系方法1：迭代法an＝an-1×f(n-1)＝an-2×f(n30【变式探究】答案：1.设f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝0.5，数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项an等于________．【变式探究】答案：1.设f(x)＝a1＋a2x＋a3x231题型3：递推关系形如an＝pan－1＋q(n≥2)型(其中p，q为常数，pq≠0，p≠1)例3：（1）数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，求an.（2）在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________.题型3：递推关系形如an＝pan－1＋q(n≥2)型32解法指导：一阶常数型递推关系an＝pan－1＋q(n≥2)(p，q为常数，pq≠0，p≠1)方法1：待定系数法递推式可化为an＋1＋A＝p(an＋A)，方法2：阶差法递推式阶差为an＋1－an＝p(an－an－1)，解法指导：一阶常数型递推关系an＝pan－1＋q(n≥2)33题型4：递推关系形如an＝pan－1＋rqn(n≥2)型(其中pqr≠0，p，q，r为常数)型例4：（1）数列{an}满足an＝4an－1＋2n(n≥2，n∈N*)，且a1＝2，求an.（2）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n，则an＝__________.题型4：递推关系形如an＝pan－1＋rqn(n≥2)型34解法小结：一阶指数函数型递推关系方法1：同除法递推式可化为方法2：待定系数法递推式可化为an+xqn＝p(an－1+xqn-1)，an＝pan－1＋rqn(n≥2)(pqr≠0，p，q，r为常数)或者解法小结：一阶指数函数型递推关系方法1：同除法递推式可化为方35【变式探究】1.已知数列{an}满足an+1＝2an＋3×2n，a1＝2，求an.【变式探究】1.已知数列{an}满足an+1＝2an＋3×236题型5：递推关系如an＝pan－1＋qn＋r(n≥2）型

(其中pq≠0，p，q为常数)例5：已知数列{an}中，a1＝0.5，点(n，2an＋1－an)在直线y＝x上，其中n∈N*，求数列{an}的通项．题型5：递推关系如an＝pan－1＋qn＋r(n≥2）型例37解法小结：一阶一次函数型递推关系方法：待定系数法递推式可化为an+xn+y＝p[an－1+x(n-1)+y]an＝pan－1＋qn+r(n≥2)(pq≠0，p，q为常数)解法小结：一阶一次函数型递推关系方法：待定系数法递推式可化为381.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，求数列{an}的前n项和Sn.(1)由题设an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.∴数列{an－n}是等比数列且首项为1，且公比为4∴an－n＝4n－1，即an＝4n－1+n【变式探究】解析：1.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，39题型6：递推关系如

pan＋1＋qan＋ran＋1an＝0(pqr≠0)型例7：数列{an}满足a1＝1，n≥2时，an－1－an＝2an－1an，求通项公式an.解析：∵an－1－an＝2an－1an，题型6：递推关系如pan＋1＋qan＋ran＋1an＝040解法指导：方法：