不等式及其性质(提高)知识讲解 初一数学知识导学

不等式及其质（提高）识讲解撰稿：孙景艳

责编：吴婷婷【习标．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关.知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解.理解不等式的三条基本性质，并会简单应【点理知点、等的念一般地，用“＜““≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要诠：(1不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2五种不等号的读法及其意义：符号“≠”“＜”“＞”“≤”“≥”

读法读作“不等于”读作“小于”读作“大于”读作“小于或等于”读作“大于或等于”

意义它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小表示左边的量比右边的量小表示左边的量比右边的量大即“不大于示边的量不大于右边的量即“不小于示边的量不小于右边的量(3有些不等式中不含未知数，如＜，1；有些不等式中含有知数，如2x＞5中x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．知点、等的及集1.不式解能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。2.不式解：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要诠：不等式的解不等式的解集

是具体的未知数的值，不是一个范围是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不式解的示法（）最简不式示一般一个含有未知数的不等式有无数个解其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-26的集为x≤．用轴示不等的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要诠：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来应用数轴表示不等式的解集时注意两个“确定是确定“边界点界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；二是确定方向，对边界点而＞a或xa向画；对边界点而，＜a或≤a向画．注意：在表示a的上空心圆圈，表示不包括这一点．【清堂一一不式370042不式基性质知点、等的本质不式基性1不式边(或)同一个(或式子，不等号的方向不变．用式子表示：如果a，那么a±c＞b．不式基性2不式边都或除以同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a，c＞0那么＞(或

ac

)．不式基性3不式边(或除同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a，c＜0那么＜(或

ac

)．要诠：不等的基本质的掌握应注意以下几点：不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．运用不等式的性质对不等式进行变形时特注意性质和性的区在乘或除以同个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【型题类一不式概．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆、小砝码皆为，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是()【思路点拨根图示可知1个果的质量53个果的质量＜克，此求出个糖果的质量取值范围，再在4个项中找出情形正确的．【答案D【解析】解：由图)知，每一个糖果的重大于克，由图()知：糖果的重量小于16克即16322每一个糖果的重量小于克A选错个果的重量小3

克故B选错；16三个糖果的重量大于克于16故选项错，四个糖果的重量小于21333克故D选对．【总结升华观图示确大本题涉及的知识点是不等式涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式．举反：【变式】【答案】类二不式解解2.若关于的等式x≤只有三个正整数解，求的取值范围【思路点拨首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定a的范围．【答案】≤＜4【解析】解：∵不等式x≤只有三个正整数解，∴三个正整数解为：1，，，∴≤＜，【总结升华题要考查了一一次不等式的整数解此题的关键是确定好三个正整数解．.如图所示，图中影部分表示x的值范围，则下列表示中正确的)A-3x＜B．-3＜x≤2．-3≤≤2D．-＜x＜2【思路点拨x表示-3右的，即大于3，并且是以及左的数，即小于或等于2的数．【答案B【解析】解：A、因为3≤＜，数轴-3的点该是实心的圆点；因为-3≤x≤2，在数轴上-3和2的应该都是实心的圆点；因为-3＜＜，数轴上-3和2的应该都是空心的圆点；故选B．【总结升华在数轴上表示集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示右画左画．举反：【变式】根据如图所示的程序计算，若输入的值为，输出y的值为_______2222【答案】4提示：由程序图可知，计算求值时所使用的数学表达式为

yx2

．把x＝输求值，若求得的结果大于0则直接得到输出值y；若求得的结小于，则需要把得到的结果作为输入值再代入计算，循环往复，直到使最终的结果大于0为止．类三不式基性.若关于xy的元一次方程组x

的解满足＜2a的值范围是．【思路点拨观察方程组不难发现只要把两个方程相加即能求出x+y的．因为x+y，故可以构建关于不等式．然后利用不等式的性质就能求出的值范围．【答案】＜【解析】解：将两方程相加得4x+4y＝．将方程的两边同除以

x

44

．依题意：

44

．将不等式的两边同乘以得＜8将不等式的两边同时减去得a＜．故a的取值范围是a．【总结升华解关于x一元一次不等式，就是要将不等式逐步化为x＞或＜a的式，化简的依据是不等式的性质．举反：【变式】关于x的不等式ax＞b解集是

x

ba

，那么的值范围是()A≤0Ba＜．≥0D．＞【答案B提示：解不等式ax＞b时两同时除以a，不