考研知识点(下册)

SECTIONSIX微分方程一、基本概念.常微分方程含有自变量、未知函数及未知函数的某些导数的方程式称为微分方程，而当未知函数是一元函数时就称为常微分方程。.线性微分方程与非线性微分方程以未知函数和它的各阶导数作为总体是一次的就称为线性微分方程，否则就称为非线性微分方程。.微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数。.微分方程的解代人微分方程使之成为恒等式的函数(通常还要求解具有和阶数一样的连续导数，如二阶方程的解应具有连续的二阶导数)。.微分方程的通解和特解通解含有数目与微分方程的阶数相同的独立常数，通解也可以称为一般解；不含任意常数或任意常数解定后的解称为特解。.微分方程的初始条件能确定通解中的任意常数的条件称为定解条件，初始条件是定解件中最常见的类型，初始条件的形式与方程的阶数有关，一般说n阶微分方程的初始条件为：y=为，/屋。=必'…'y"I"=，其中是任意给定的常数。二、一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为b(x,y,y')=0或y'=/(x,y),其中最基本的类型是变量分离的方程、一阶线性方程和全微分方程。齐次方程通过变量代换可化为变量可分离的方程，伯努利方程通过变量代换可化为一阶线性方程。除了齐次方程与伯努利方程之外，还有一些一阶方程能通过简单的变量代换化为上述基本

类型。现将几种基本类型的解法列表如下:类 型通解的求法变量可分离的方程y'=/(x)g(y)分离变量法：两边同除g(y)(#0),把变量分离，并求积分J焉邛。“x+c一阶线性方程y'+p(x)y=q(x)1.积分因子法方程两边同乘积分因子〃相应的齐次方程y'+p(x)y=0改写成［/〃"")，］'=积分得 =Jq(x)/"'"dx+c.公式法非齐次方程的通解为y=e +Jq(x)e"‘""'dx］相应的齐次方程的通解为y=Ce'^Mdx.常数变易法先用分离变量法求相应的齐次方程的通解-\p(x)dxy=CeJ将c改为c(x),然后令y=c(x)eJ"""',代人原非齐次方程得c'(x)e积分求出c(x)全微分方程求原函数法p(x,y)dx-^Q(x,y)dy=0若求得M(x,y)使得du=Pdx+Qdy(称求x,y)为Pdx+Qdy的原函数)，则通解为〃(x,y)=C五*电阳dp并满足t=丁axay求原函数的方法有以下三种：.特殊路径积分法：x y〃(x,y)=JpU,y0)dx+jQ(x,y)dy1b >'o.不定积分法：

由F*=p(x,y)对x积分得oxu(x,y)=Jp(x,y)dx+C(y)对y求导得当」jP(「)d、)+C，(y),dy dy它应等于Q(x,y),由此求出Cf(y)再积分求出C(y)3.凑微分法:尸(x,y)dx+Q(x,y)dy=...=du方程类型通解的求法变量代换可化为的基本方程齐次方程/=/(2)X令〃=),贝ijy'=〃+x/X于是原方程可化为XU=f(u)—u其通解为.du edx「以、=J+c=J(u)—u XInIxl+C”=上X变旦里•4分窝的方程y'=f(ax+by+c)ab工0令〃=ax+by+c,则原方程可化为/=a+bf(u)即为变量可分离的方程u=ax-}-by+c，aix+biy+cy=a2x-\-b2y-\-ca,b,情形1 1 '。0。2b?解线性方程组[+ +q=0[a2x+b2y+c2=O设其解为(a,4)。u=x—cx▼=y-B

则令〃=x-CX,V-则原方程可化为dvJa^u+4〃、=V—/du\a2u+^2Vy属于齐次方程情形2a-,即二y'=J令z=z=a属于变%b、b、=殳=4贝।瓦(a{x-\-b=0y+臼］<A(alx+biy)+c2altx+bty,方程化i+仇心丁］\Az+c2J:量可积分的方程Z=〃/+伯努利方程y+p(x)y=q(x)ya☆z=yi，原方程可化为。+(l_a)p(x)z=dx(l-a)g(x)属于一阶线性方程=y'~a一阶线性方程dy= 1dx p(y)x+q(y)dx『=p(y)x+g(y)(以y为dy自变量，x为因变量的一阶线性方程)自变量与因变量互换■阶线性方程三、可降阶的高阶方程类型通解的求法严=/（无）经n次积分，得：y=j....j/(x)dxdx....dx+C}xn~'+C2xn~2+....+Cn不显含y的二阶方程令P=>',原方程化为p的未知函数，y为自变量的y*=f(x,y)一阶方程：p'=f（x,p）不显含X的二阶方程令「=丁'，原方程可化为以p为未知函数，y为自变y,=/(y，y')量的一阶方程：p包=/（y,p）dy四、线性微分方程解得性质与结构这里只限于讨论二阶线性方程,其结论可推广到更高阶的方程，二阶线性方程的一般形式为/+p（x）y+q（x）y=/（x） （6.1）其中p（x）,q（x）,f（x）均为连续函数，当右端项/（x）三0时，称为二阶线性齐次方程，否则称为非齐次方程。解的性质与结构：.若必（工）,丫2（》）为齐次方程y'+p（x）y'+q（x）y=。 （6.2）的两个特解,则其线性组合G%（x）+c2y2（幻仍为（6.2）的解。特别地，若以（X）与力（X）线性无关（即—牛丸）（常数），贝IJ（6.2）当⑴的通解为y（x）=G/（x）+C2y2（尤）.设月（x）与力⑴为非齐次方程（6.1）的两个特解，则其差以（外-为（均为相应齐次方程（6.2）的特解。.设y*(x)为非齐次方程(6.1)的一^特解，y(x)为齐次方程意特解，则其和y*(x)+y(x)为(6.1)的解。特别的，若为(x),丫2(幻为(6.2)的两个线性无关的特解，则(6.1)的通解为y(x)=y*(x)+C,y1(x)+C2y2(x),其中C,C2为任意常数。.线性方程(6.1)的通解即所有解。.(叠加原理)设，(项为⑴分别是方程y"+p(x)y'+g(x)y=f(x),/+p(x)y'+q(x)y=f2(x)的两个特解，则yG)+%(x)为方程/+p(x)yf+q(x)y=(x)+f2(x)的特解。五二阶和某些高阶常系数齐次线性方程欧拉方程(-)二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程的形式为y〃+py'+qy=O,其中p,q为常数，其特征方程为才+.4+4=0依据判别式的符号，其通解有三种形式：△=p2-4q>0,特征方程有两个相异实根4,4,通解的形式为y(x)=G"'+C2e^2X；A=p2-44=0,特征方程有重根，即4=4，通解为y(x)=(G+C2x)e^x；A=p2-4q<0,特征方程具有共甄复根。±磔，通解为y(x)=eax(CjcosJ3x-^C2sinpx)(二)〃阶常系数齐次线性方程方程的一般形式为严)+p""T)+p2yse+…+p,y=0其中p,a=l,2,...〃)为常数，相应的特征方程为X'+P|Z'T+p2尸+...+p,=o特征根与通解的关系同二阶方程的情形相类似.具体结果是：(1)若4,4，...,儿是〃个相异实根，则方程的通解为y(x)=Ge4+C2e^x+...+Cne^x；(2)若；1=4为特征方程的左(2及4〃)重实根，则方程的通解中含有：(C,+C2x+...+Ctx*-1)e^；(3)若a±,R为特征方程的k(2AK〃)重共胡复根，则方程的通解中含有：e“'[(G+ +…+ 1)cosPx+(£)|+Dnx+...+Dkxk1)sin^x\由于我们不能求出一般的三次以上的代数方程的根，也就是说对于三次以上的特征方程一般不能得到其特征根，自然也就不能求出三阶以上常系数齐次线性微分方程的通解，能够求出的只是某些特殊情形(三)欧拉方程形如x"严+0产"-，(1)+...+*t盯'+%y=0,(6.5)的方程称为欧拉(Euler)方程.令x=e',即将自变量由x换成f,则有生=女生=6，包=工包,dxdtdxdtxdt将这些关系代入，则(6.5)就化成了〃阶常系数线性方程.特别令x=±e',贝卜=InIxl,于是二阶欧拉方程x2yr+pxyf+qy=f(x)化成二阶线性常系数方程少+(p-1)虫+如=/也').df dt

六、二阶常系数非齐次线性方程/(X)的形式特解J*(x)的形式/(x)=p„(x)0不是特征根：y*(x)=R.(x),p“(x)为〃次多项式0是特征方程的单根：y*(x)=xR“(x),0是特征方程的重根：y\x)=x2Rll(x)f(x)=pn(x)eaxa不是特征根：j*(x)=Rn(x)eax,a是特征方程的单根：y*(x)=xRn(x)eax,a是特征方程的重根：y*(x)=x2Rn(x)e<uf(x)=pn(x)eaxsinfix或f(x)=p„(x)eaxcosflxa±/不是特征根：y*(x)=*[r〃(x)cosfix+ (x)sinJ3x],a±/是特征根：j*(x)=xe^(x)cosfix+Sn(x)sinfix],七、含变限积分的方程对某些含变限积分的方程，可通过对方程求导的方法，转化为求解相应的微分方程的通解或微分方程初值问题的特解。SECTIONSEVEN向量代数和空间解析几何一、空间直角坐标系为了确定空间点的位置，引进空间直角坐标系。这样，点与三个有序实数所构成的数组就有一一对应的关系，进而曲面可建立方程，对曲面几何性质的研究就可转化为对方程解析性质的研究。从空间某定点。作三条互相垂直的数轴，他们都以。为原点，具有相同的长度单位，三条轴分别为X轴(横轴)、y轴(纵轴)和z轴(竖轴)，三个坐标轴的方向要符合右手定则，这样就建立了空间直角坐标系。孙Z,点。叫坐标原点。如果曲面S与三兀方程F(x,y,z)=0有如下关系：(1)曲面S上的每个点的坐标都满足方程(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足此方程则称这三元方程是曲面S的方程，而曲面S称为此方程的图形。空间曲线C可以看成两个曲面与:F(x,y,z)=0和S2：F(x,y,z)=0的交线，方程组称为空间曲线c[G(x,y,z)=0的一般方程。对于空间曲线。上任意一点的直角坐标(x,y,z),若分别fx=x(r)表示为参变量r的函数，即y=y"),则称此方程组是空间曲线C[z=z«)的参数方程。二、向量的概念既有大小又有方向的向量称为向量(或矢量)。通常用a,1,a,仇乱等形式表示向量，在建立空间直角坐标系后，若向量a= ,点M的坐标(x,y,z)就称为向量a的坐标，且有向量a=xi+yj+zk,通常记为｛x,y,z｝。起点是坐标原点。，终点是P的向量而称为点P的向径，也常用r,r。等形式表示。向量a的大小(长度)称为向量的模，记作囹，模为1的向量叫做单位向量，模为零的向量叫做零向量。方向相同或相反的向量称为共线向量,平行于同一平面的向量称为共面向量向量a与三个坐标向量a, 的夹角a,力,y称为向量a的方向向量，方向角的余弦cosa,cosg,cos7称为向量a的方向余

同—G+V+z2cos夕=y二yWy[x2+y2+z2弦，如同—G+V+z2cos夕=y二yWy[x2+y2+z2COSy=告=Iz,二冏ylx2+y2+z2cos2a+cos2p+cos2y=1。且方向余弦cosa,cos/,cosy就是单位向量告的坐标即a°=W={cosa,cos夕,cosy}。囹 冏三、向量的运算（-）定义与计算公式设%=Xji+y}j+Zjk={x;, ）,j=1,2,3.加法由平行四边形法则或三角形法则给出，用坐标运算则有因+a2={芭+x2,y,+y2,Z]+z2}-数量相乘/la是一个向量，其模|4a|=|那z|,而方向规定为：若4>0,则4a与a同向，若4<0,则4a与a反向。用坐标运算为：若。={戈,丁,[},则4a={设私同。【注】20=0,0a=0o向量的数量积（点积，内积）是一个数，规定为=|aja21cos夕,8是因，与a2的夹角，用坐标运算则有%%=中2+X为+%亿2,两个向量的夹角是指不超过》的那个角。向量的向量积（叉积，外积）/xa?是一个向量，其模=|四概2卜in。,。是名，%的夹角，其方向规定为与/，。2都垂直且a2'%xa2符合右手系，用坐标作ijk运算为aiX%=Xiy,Z|“2力4混合积三个向量/，a2,%的混合积(药，a2,%)是一个数，规定为(%，a2,%)=(q又%＞。3，用坐标做运TOC\o"1-5"\h\z司 Ji Z|算就是(a「a2,a3)=x2 y2 z2。X31 Z3 Z3(二)、运算法则1、加法与数乘a+J3=J3+a (a+J3)+y=a+(J3+y)4〃a)=(〃/)a (2+//)a=Aa+/ja4(a+0=4a+4〃 0+a=aa+{-a)=0la=a2、数量积a0=0a(a+°)?=ay+ (4a)/=4(S)3、向量积ax/3=~/3xa (4a)x夕=〃ax/)ax(/+”=ax/+axyaxa=04、混合积(a,p,y)=(Ay,a)=(2,a,p)(a,a,0=(a，O，a)=(a,民用)=0(a,B，/)=一(4,a,y) (/la,fl,7)=A(a,0,7)%+%,⑸/=（因,以0）+（%/,”（三）、几何应用1、加法与数乘(1)建立坐标系；建立直线方程；建立平面方程。(2)过点与，方向向量为S的直线的方程是r-办=ts(3)过点与，与q,4(仆，。2不平行)都平行的平面的方程是「一%=的+t2U22、数量积(1)求模冏二石7,进而可求两点距离；(2)求两个向量的夹角6,进而可求两条直线、直线与平面、两个平面之间的夹角；(3)判定垂直：a®2=0,进而可证两条直线、两个平面的垂直关系，以及直线与平面的平行关系；(4)建立平面方程(点法式)：n(/-^)=03、向量积(1)求平行四边形(三角形)面积，进而可求点到直线的距离_^xS"=同(2)求两个平面交线的方向向量S,从而可把直线的一般方程化为直线的标准方程。设这两个平面的法向量分别是由和〃2,则交线L与％,〃2都要垂直，故可取S=〃]X〃2。(3)判断平行：aJia,<=>xa2=0<=>—=—=—(坐标成比例，*2 %Z2oij=(xj,yj,zj),j=l,2)O存在实数％,使得4=2%或以2=然14、混合积(1)判断三个向量(或四个点)是否共面，进而可建立平面方程(2)判断共面：向里q={*1，，1，2[}，={/，为*?}'%={*3，，3/3}共面<=>混合积(%,%，%)=oXjx2x3<=>Jiy2%=°Z]Z213Q存在不完全为零的数A”的小，使得占见+的％+43。3=0(3)若6={*”匕多}"2={*2，匕*2}不平行，则过点K(Xo,Jo,z0)与U”力都平行的平面的方程是(月瓦■，%)=()，x-Xoy-y0z-z„用坐标表示，贝ijX、 y, Z1=ox2 y2 z2(4)求平行六面体的体积(亦可求四面体)，进而可求点到平面的距离及两条异面直线公垂线的长.(5)设平面n经过点与心是平面n上两个不平行的向量,尸2是平面n之外的一点，以a”2,而为棱构造平行六面体，则底面u”心上的高就是点尸2到平面n的距离d.同时，若直线右经过点々，方向向量是直线人经过点心，方向向量是〃2,那么4，人是异面直线，〃是公垂线的长，且而必,凡)d=—： ：—(7.12)心巴|(6)可建立异面直线公垂线的一般方程(P£,ul,uixu2)=a,\(P^P,U2,UixU1)=0四、平面方程、直线方程(-)平面方程1、平面方程的基本形式(1)点法式A(x-)o)+3(y—y0)+C(z—Zo)=0、(2)一般式Ar+8y+Cz+O=0(A,8,C不全为零)(3)向量式r—r0=t\U]+t2U2»其中％=0M,r=OP,P是平面n上任意一点；x=X£+X/2+xo（4）参数式<y=Yiti+Y2t2+yQz=Zitt+Z2t2+z02、确定平面方程的两个基本思路（1）如已知平面n上一点〃（%,汽,z°）以及平面n的法向量〃={A,B,C},则平面n被完全确定，它的方程是/4（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0（2）如已知平面n上一点“（/，为,2。）以及平面n平行的两个不贡献的向量q={x”K，zj,u2={X2,Y2,Z2},则平面n被完全确定。（-）直线方程.直线方程的基本形式（1）（1）一般式（交面式）A2x+B2y+C2z+A=°，其中（A，%G）与⑷也0不平行;X=x0+tl,（2）参数式7=加+加，z=z0+tn;（3）对称式（标准式）—曳==-1Imn.确定直线方程的两个基本思路（1）两个不平行的平面相交于一条直线（2）已知直线L上一点时（乙，加★。）以及直线L的方向向量S=可确定直线

五、平面直线之间的相互关系与距离公式(-)两个平面间的关系设H[：A1]+4丁+Gz+R=0,fl2： +Jy+C2z+=0,贝Unj/n,=a2A2B2c2fl]~LFI2。%"L勺=44+B[B?+C]C2=0;（3）"与n2的夹角e（法向量间夹角，指不大于90°的）cos0-1 = +8/2+C|G| pi||n2|《A；+B：+C：J]+B；+C；（-）两条直线间的关系设4：==ZzA==,l「j=zzli==,则Zjmlnx l2m2n2L{IIL2<=>S|IIS2即—==3•且（X],m,号）不满足L2/2，舞2 〃2的方程；L,±L2<=>S,±S2即/工2+m即2+〃i〃2=°；（3）右与心间的夹角，（方向向量间夹角，指不大于90°的）cos。=II$2 |/1/2+m}m2+〃]〃cos。=IIS2y/l：+网2+J.2+啊2+>22（三）直线与平面的关系设八七%.=匕九=£Z曳,口：加+5y+Cz+D=0,则ImnL〃FI=SJ_〃，Al+Bm4-Cn=0,ZAx0+ +Cz0+£>^0ARCLJ_n=S〃〃，一=—=—；ImnL与nD的夹角8=芝一（S与〃的夹角）：2

\Al+Bni+Ch\sin8'/ 1—A2+B'+C2-Jt2+m2+n2（四）平面束方程通过直线fA]X+B通过直线fA]X+B{y+Ctz+Dt=0,+%丁+ +。2=。的平面束方程是4（A/+"y+Gz+。1）+/z（A2x+B2y+C2z+D2）=0,其中 是不同时为零的任意常数。（五）关于距离的坐标计算公式（1）两点P1（%（,%,Z1）,8（X2，力，Z2）间的距离d=g=^(x2-xy+(y2-yl)2+(z2-zl)2.（2）点外（xo，y°,z。）到直线L：士土=匕&=三4•的距离是Imni j k司一飞凹一%4-Zo）」（X|一工。,%-%,21。）*.,九〃）| 二 I m “\U,m,n）\ >/z2+/n2+n2（3）点外（%,打〃0）到平面口：4犬+母+。2+。=0的距离为：,_|A/+8yo+Ci。+£）|\Ia2+B2+C2六、常用二次曲面的方程及其图形（一）球面设痣（%,光〃0）是球心，R是半径，P（x,y,z）是球面上任意一点，则|不卜R,即（X—/尸+⑶-y0）2+（z—Zo）2=*.（二）旋转曲面设L是xOz平面上一条曲线，其方程是=°',L绕zIy=0.轴旋转得到旋转曲面，设P（x,y,z）是旋转面上任一点，由点玲(Xo，yo，Zo)旋转而来(点M(O,O,z)是圆心)。由闯=忸司=|而卜旧iy，Zo=Z得旋转而方程是/(±-Jx2+y2,z)=0;或由参数方程x=〃f),y=gS,z=/i⑴Ce(a,夕)),，得旋转面的X=df2(t)+g%)©os。参数方.程，y="⑴+8?⑴sE夕a<t</3,G<e<17Cz=h(t)(三)柱面r是一条空间曲线，直线l沿「平行移动所产生的曲面叫柱面,「称为柱面的准线，心叫柱面的母线。1、准线方程是°[z=0母线平行于z轴时，柱面方程是/(x,y)=0母线的方向向量§=(/,m,〃)时，柱面方程f(x-—z,y-—z)=0nnx=/(f)2、准线方程是「:<y=g(r)te{a,p)z=h(t)母线的方向向量是§=(/,m,〃)，柱面方程是X=/(0+/w<y=g(r)+m〃(cx<t</?,-co<t<4-00)z=h(t)+nu(四)二次曲面曲面方程方程曲面名称方程椭球面2 2 2=+与+"a2b2c2旋转抛物面椭圆抛物面双曲抛物面

单叶双曲面双叶双曲面二次锥面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面七、空间曲线在坐标平面上的投影设「是一条空间曲线，n是一张平面，对于「上任意一点p,令n(p)是点p在平面n上的投影点,所有投影点的集合称为r在平面n上的投影曲线。而垂线所构成的曲面是以「为准线的柱面,称为「到n的投影柱面。1、「」"x，y，z)=°消去z得到例x,y)=O这是以「为准线，母〔g(x,y,z)=O线平行于Z线平行于Z轴的柱面方程。而f=°是「在my平面的投影曲线方程。2、x=2、x=f(t)「：＜y=g(t)z=h(t)x=f(t)贝|J「：＜y=g(t)Z=0是「在x”平面的投影曲线方程。SECTIONEIGHT多元函数微分学一、多元函数的概念、极限与连续性(-)多元函数概念1、二元函数的定义(定义8.1)设。是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)eD,按照某一对应规则/,变量Z都有一个确定的值与之对应，则称z是变量的二(或z=/(P)).。称为该函数的定义域，数集｛zlz=/(x,y),(x,y)e。｝称为该函数的值域。2、二元函数的几何意义空间点集｛(x,y,z)z=f(x,y),(x,y)e£>｝为二元函数z=/(x,y)的图形,通常它是一张曲面。曲面z=/(x,y)与平面z=C的交线在Oxy平面上的投影曲线：f(x,y=C)称为z=f(x,y)的等高线。3、一元函数与多元函数的联系与区别(1)一元函数是二元函数的特殊情形：让一自变量变动，另一自变量固定，或让(x,y)沿某曲线变动，(2)一元函数中，自变量x代表直线上的点，只有两个变动方向，而二元函数中，自变量(x,y)代表平面上的点，它有无数个变动方向。(3)一元函数y=/(xXa<x<H，也可以看成二元函数，其定义域是：a<x<b,-°°<y<+°°.(二)二元函数的极限1、二元函数极限定义(定义8.2)设函数/(x,y)在开区或闭区域D有定义，“。(%，儿)是D的内点或边界点。1由/(占#=4或limf(x,y]=Ay->为即X/£>OJ正数S当(x,y)eO,0<x-jc0)2+(y-y0)2<6时，有|/(x,y)-A|<£注意：这里的极限过程是点(x,y)在D内趋于点(%,%),它可以按任何方式沿任意曲线趋于(%,No)o极限与无穷小的关系：Hm、J(x，y)=A0/(x,y)=A+a(x,y)((%旧7(/,儿))，其中a(x,y)=o⑴是无穷小((x,y)->(xo，y()))，即lim6r(x,y)=0(x.yH(质,%)2、二元函数与一元函数有相同的极限原算法则与极限性质求二元函数的极限常用方法：直接用极限运算法则，或通过适当放大缩小法，变量替换法转化为求简单的极限或一元函数的极限。3、二元函数z=/(x,>)极限的不存在问题证明lim/(x,y)不存在的方法：当(x,y)沿不同路径趋于(与，打)时/(x,y)趋于不同的值或(x,y)沿某路径趋于(x0,y0)时f(x,y)趋于8,则lim不存在。>0(三)二元函数的连续性1、二元函数连续性定义(定义8.3)设z=/(x,y)定义在区域D上，po(xo，y0)e。是D内一点或边界点。若limf(x,y)=f(xQ,y0),则称/(x,y)在(x,.vH(x0,y0)点4连续，若/(x,y)在D每一点上连续，则称/(x,y)在D连续。2、判断二元函数连续性与一元函数有相同的方法二元初等函数在其定义域上连续3、二元连续函数的性质与一元函数类似，二元连续函数z=/(x,y)也有相应的性质：定理&1(保号性)设z=/(x,y)在朋()(%,光)连续，f(xo,yo)>0,则3(^>0,当(x,y)eU(Mo»)=[x,y)|(x-Xo)2+(>-%『<〃｝且(x,y)e。时，f(x,y)>0定理8.2(最大值最小值定理) 设z=/(x,y)在有界闭区域D上连续，则它在D上一定有最大值和最小值，即三加1,加2€，使得对VMe。，有/(%)〈/(朋)〈/(根)其中，，(朋1)为/(匕£在口上的最大值，/(加2)为/々广)在口上的最小值。定理8.3(中间值定理) 设z=/(x,y)在区域D上连续，VMlM*。,/(朋)<〃</(知2),在D中至少存在一点M。，使二、多元函数的偏导数与全微分(一)偏导数概念1、偏导数的定义定义8.4设有二元函数z=/(x,y),若存在(北外心气或，'刈尸比称它为z=/(x,y)在Go，%)处对x(y)的偏导数，记为蛆衿；蛆产1或却 却一，Z：(x0,y0)dxayax\1dx1或部。乳2mz；(xo，%)按定义有冽大0，先)=lim/Go+—，%)/(/，%)dx4To Ax冽X。/。)―/(x0,y0+Ay)_/(x0,y0)~一11mdyA)—。 Ay2、偏导数的几何意义叫，兆)即曲面z=/(x,y)与平面y=y。的交线在点dx“。(尤。，％，/(%，%))处的切线斜对x轴的斜率；啊心)即曲沙面z=/(x,y)与平面x=xn的交线在点A/()(x0,y0,/(x0,y0))处的切线对轴的斜率。3、偏导数的计算(1)求偏导数，归结为求--元函数的导数。(2)求m、。飞在(无。,外)处的偏导1/ (X,y)=(x0,y0)数的方法：方法1按定义：寸(%,%)..f(x0+^x,y0) 8(为+8,%)_4 =iim =iim ；dx右iAx-Ax类似地求”(勺心)dy方法2在连续的条件下求偏导数的极限当x=t/o(xo,3)时，f(x,y)在/(x,y0)存在偏导数,OXf(x,y0)对尤在x=Xo连续；若lim.，•'。)=§ ,则1厢ax%丁%)=8；对吗也有类似讨论。ox dy(二)、可微性、全微分及其几何意义1、可微性于全微分的定义定义8.5若函数z=/(x,y)在点“。(/，先)处的全增量Az=/(x++Ay)-/(x0,y0)可表为Az=AAx+B^y+o(p)(2->0)其中A,B不依赖于Ar,Ay,仅与有关，p= +Ay2,则称函数z=/(x,y)在点“。(/，打)可微，AAx+BAy称为z=/(尤,y)在点M)&,%)的全微分,记作dzI%v.),方'|(%，%)等。当％=/(元,了)在点“0卜，先)可微时守(%,%)小।讨(%,%)a、=/(%,九)公।寸(%，%)力3x dy dx dy其中规定自变量x与y的微分dx=Ax,dy=Ay2、全微分的几何意义z=f(x,y)在点(x0,y0)的全微分在儿何上表示全面z=f(x,y)在点(/,%J(%,%))处切平面上点的竖坐标的增量。(三)偏导数的连续性-函数可微性-可偏导性与函数连续性之间的关系若Z=〃x,y)在(X。，%)存在 %)与"(丁城,称dx dyf(x,y)在(%,%)可偏导。偏导数的连续性・函数可微性-可偏导性与函数连续性之间的关系如下：定理8.4”，萼在此小,为)连续=>z=〃x,y)在oxoy可微，/(x0+Ar,y0+Ay)-/(x0,y0)=AAr+BAy+。(p)(P—0)p=yj^X2+/^y2偏导数连续u连续<=可微=>可偏导(四)高阶偏导数、混合偏导数与求导次序无关问题设函数z=/(x.y)在区域。内有偏导数：生=广遣=%,它们在。内均是x,y的函数。如果这两函数的偏oxdy导数也存在，则称它们是z=/(x,y)的二阶偏导数。按对变量求导次序的不同，有下列4个二阶偏导数:fl.ayj_d2z_,( Tz_鹏/、其中S与3称为混合偏导数。oxoydydx类似可定义三阶，四阶以及〃阶偏导数。对不同变量求导的高阶偏导数称为混合偏导数。定理8.5 若函数z=〃x,y)的两个二阶混合偏导数4，oxdy. a??a??兽在点(x。,%)均连续，则它们相等，即兽=胃uyox oxoyuyox对于其他高阶混合偏导数，也有类似【定理8.5】的结论(五)多元函数为常数的条件1设在区域。上满足%=0,%=0V(x,y)e。则在区域0

dxdy为常数。2设z="X,y)定义在全平面上。若萼=0,则〃x,y)=0(y)；若萼=0则 ；其中ox uy0(y)"(x)均为任意的一元函数。三、多元函数微分法则(-)全微分四则运算法则〃=〃(x,y)在(x,y)可微，d^u±v)=du±dvd(mv)=vdu+udv,d(cm)=cdu,c为常数;d[—)=—式vdu-udv)(vW0)。(二)多元复合函数的微分法则由于多元复合函数的情形是多种的，所以复合函数求导法则的形式也多种多样。1、多元函数与一元函数的复合定理8.6 设x=x(f),y=y(f),z=z(f)在f可导，“=f(x,y,z)在对应点(x,y,z)=(x(f),y(f),z(f))可微，则复合函数”=〃x(f),y(f),z(f))在何导，且当=磐+翳+磐,dtoxdtoydtozdt这里也把包.称为全导数。dt2、多元函数与多元函数的复合定理8.7设〃=0(x,y),n=—(x,y)在点(x,y)有对的偏导数，z=/(“,v)在对应点(〃,v)=(0(x,y)卅(x,y))可微，则Z=/(夕(羽〉),/(％,丁))在点(k旧有对》产的偏导数，且改_/加df加改_afdudfdv——"+—,—+ •dxdudxdvdxdydudydvdy设2=/1(“M，u=0(x,y),v=»(x,y)都有连续偏导数,则z= 在点(x,y)出的全微分仍可表为dz=%d〃+%dv.(一阶全微分形式的不变性)OUOV类似地，z=/(w,v,w),w=w(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y),则它们的复合函数z=/(w(x,y),v(x,y),w(x,y))在点(x,y)的偏日奶4az dfdu df3v df3wdz df9w df3v df3wdx dudx 3vdxdxdy dwdy dvdy dwdy设［=/（M,V,W）,为了方便，我们常用f\表示/（M,V,W）对第一个变量〃的偏导数，类似地f,_讲，一/〃_a2/产_37产_a2f于2—、，于3-、，/11-22，/|2一2二，/23一二二等ovdwou ouovdvdw等。（三）复合函数的二阶偏导数四、复合函数求导法的应用——隐函数微分法（-）由方程式确定的隐函数求导法1、设F（x,y）在点（x0,y0）某邻域有连续的偏导数产（*0，%）=°，4（%，先）彳。，则方程尸（尤,y）=0在点（x0,y0）某邻域恒能唯一确定一个有连续导数的函数y=y（x）,它满足y0=y。0）。在（%,九）邻域将该方程对x求导，得（注意y=y（x））等+等y'="解出y'得y'=等/等•oxoy oxoy2、设有三元方程尸（x,y,z）=O,其中F（x,y,z）=O在点（Xo，yo，Zo）某邻域有连续偏导数，且尸（Xo，yo，Zo）=。,工（/，外,7。）。0，，则此方程在点（x。,y。,z。）某邻域恒能唯一确定一个有连续偏导数的函数z=z（x,y）,它满足20=2（%.%）。由尸（苍丫,2（苍〉））=0及复合函数求导法得dFdFdz3z_HJdFdF募+菽（°5=一募/至至“'3FdFdz_Bz_dFdF3F d =0, = / （ *U）,力dzdydydydz及我们也可用一阶全微分形式不变性，对方程两边求全微分得

dF(x,y,z)=0,——dxT dy-\ dz—0,dxdyrdzdF dF /Fdz=-(—dx^-—dy)/—=0ox dy dzdz_dFdF瓦=一募/葭’dz dF.dFdF——= / ,( WU)・力 dy改改dxdydz若F对x,y,z有连续的二阶偏导数。还可求z=z（x,y）的二阶偏导数，必须注意：上面的些，些，丝仍然是X,y,zdxdydz而z又是x,y的函数。下面求方法1方法1将竺+"更=0两边对X求偏导数。dxdxdx先改写成邛+尸彦=0两边对X求偏导数得移项，梦+2月;J+K尚2]/月将生的表达式代入OXd2zrna2FdFdFa?FRf、2丁尸/尸立一刀尸 =/d2zrna2FdFdFa?FRf、2丁尸/尸立一刀尸 =/ I 1 I II 9x2dxdz次dx2dzdz2dxdz方法2将生的表达式对求偏导数：dx送=色(一4=如知-喂旧)dx2dxF； (用)=一[(附+F；4f；-F\F；+居；4)]/(中dx dx(二)由方程组确定的隐函数求导法1、设有三个变量两个方程构成的方程组F(x,u,v)=0,G(x,u,v)=0,其中F,G有连续偏导数。若在区间I上存在函数组u=u(x),v=v(x)满足该方程组，则说此方程组确定了隐函数u=u(x),v=v(x)o若它们可导，则由F(x,u(x),v(x))=0,G(x,u(x),v(x))=0及复合函数求导法则可得'3FdFdudFdv_TOC\o"1-5"\h\z—+ + =0 »f姿如甘初冬 ，这可看成是以毁，史为未知数的二元也+吐返+/如=0 dxdx、dxdw Svdx一次方程组设亚a3(m,v)解得力，二a(F，G)/H(F，G)dv=a(F,G)/a(F,G)dxd(x,v)3(w,v)dx3(u,v)3(w,v)2、.类似地，设有4个变量二个方程构成的方程组[F(x,y,〃,v)一°确定隐函数④和区y),v=v(x,y)其中F,G有连续[G(x,y,u,v)=0的偏导数。若u(x,y),v(x,y)可偏导，则由F(x,y,u(x,y),v(x,y))=0,G(x,y,u(x,y),v(x,y))=0及复合函数求导法，将方程组两边分别对x,y求偏导数，然后分别求解半，国OXOX或%，半的二元一次方程组，dydy

设亚0设亚0

3(w,v)O

波苏江力

"菰I3G一加则可求得加 a(F,G),a(£G) 加 a(£G),a(F,G)=/, /dx 3(x,v) 3(w,v) 3(w,x)3(w,v)加 a(F,G)力(F,G) dv MF,G)Q(F,G)力 3(y,v) 3(w,v) 9(w,y)3(m,v)五、复合函数求导法则的其他应用(-)变量替换下方程的变形多元函数的复合函数求导法则的重要应用在于：作变量替换时，求函数在新变量下的偏导数，有时通过变量替换可将某些偏微分方程(未知函数及其偏导数所满足的方程)化简。(二)多元函数问题转化成为一元函数问题多元函数问题常常转化为一元函数问题，通过复合函数求导法把一元函数的导数与多元函数的偏导数联系起来。如求二元函数Z=/(》,、)在(犬0，九)的二阶泰勒公式时，把二元函数的增量f(x0+Ar,y0+Ay)-/(x0,y0)看成一元函数①。)=/(/+公^，%+，山)的增量①⑴-①(°)。由•元函数的二阶泰勒公式：①⑴=中(0)+①'(0)+g①"(0)+!①⑶(。) (0<6»<1)通过复合函数求导法求出中'(0)&〃(0),①⑶(6),,,即得二元函数的二阶泰勒公式。设z=f(x,y)在点加0(%,光)的某邻域“(M。)有直到3阶连续偏导数，(%+八,%+与)6〃(朋0)为任一点，则有二阶泰勒公式/(%+加,％+与)=/&，%)+(3&+?今)/(不，%)+不(?&+?a)2/(/，%)+&dxdy 21axay=/(%,%)+次-%)&+>？'%)三+匕盯%'%)及2ar oy2ax+2^^3+^£^]+昆dxdy其中R,=!(§△%+gAy)"(x0+驱x,yQ+必y) (0<6<1)3!oxay称为拉格朗日余项，/?2=打(22)(2=JAj2+Ay2T0)称为皮亚诺余项。这里4-+为)"/(X。，打)这仁‘，找)"Ay…oxu &=]oxoy六、多元函数极值充分判别法(-) 多元函数极值及驻点的定义定义8.6若三加0(%,方)的某邻域U=(M0,廿，使得F(x,y)<f(x0.y0){f[x,y)>f(x0,y0)),V(x,y)eU(M0,3)则称f(x,y)在点M0有极大值(极小值)/(x0,y0)o极大值与极小值统称为极值。A/。为f(x,y)的极值点。定义8.7 凡是能使/：(x,y)=OJ；(x,y)=O,同时成立的点(x,y)称为z=f(x,y)的驻点。(二)多元函数取得极值的充分条件与必要条件.多元函数取得极值的必要条件定理8.8设/(x,y)在点(%,光)具有偏导数，且在(乙,先)取得极值，则它在该点的偏导数必然为零：fx(%,%)=0/(%,为)=0具有偏导数的极值点必然是驻点，但驻点不一定是极值点。.多元函数取得极值的充分必要条件定理8.9 设z=/(x,y)在点(%,打)的某领域有连续的二阶偏导数，又fx(xo,yo)=0,/v(xo,yo)=0令九(%，%)=4/：(%0，%)=8,则(l)AC-B2>0时，/(x,y)在(%,汽)取极值，且当A>0时取极小值，A<0时取极大值；(2)AC-B2<0时，(/，打)不是〃x,y)的极值点;(3)AC-B2=O时,则不能确定(%,打)是否是f(x,y)的极值点,【注】若z=/(x,y)有连续的二阶偏导数，则可按如下方法求它的极值点：第一步，解方程组fx(%,打)=0,4(/,")=0求得所有驻点；第二步，对每个驻点求出二阶偏导数值4=/二(/，先)，8=£；(%,凡),。=力：(%,%)；第三步，定出AC-1的符号，按【定理8.9】的结论判定f(x0,y0)是否取极值，是极大值还是极小值.七、多元函数的最大值与最小值(~)极值问题.简单极值问题求二元函数z=/(x,y)在。町平面上某区域。上的最大值或最小值.求三元函数“=f(x,y,z)在。dz空间中某区域。上的最大值或最小值..条件极值问题求二元函数z=f(x,y)在条件9(x,y)=0下的最大值或最小值.求三元函数u=f(x,y,z)在条件夕(x,y,z)=0下或条件<p(x,y,z)=0,甲(》,y,z)=OF的最大值或最小值.(二)求二元函数或三元函数的简单极值问题1、设z=/(x,y)在平面有界闭区域。上连续，又设在。内可偏导，则在存在最大值M和最小值m,且它们或在。的边界上达到，或在。内满足%=0,%=0的点(即/(x,y)的驻点)处达oxdy到.【注】 对三元函数有类似结论.2、设z=/(x,y)在开区域。内可偏导，又跟据实际问题可知，它在。内有最大值或最小值.于是，我们只需在满足艺=0,阴=0oxoy的点中找到f(x,y)的最大值点或者最小值点.(三)求二元函数或三元函数的条件极值问题1、求函数z=/(x,y)在条件p(x,y)=0下的最大值或最小值若从条件9(x,y)=0中可解出y=y(x)(或x=x(y)),再代入z=f(x,y),则可化为简单极值问题.拉格朗日乘数法：先构造辅助函数F(x,y,2)=/(x,y)+A(p(x,y),然后求解方程组，所有满足此方程组的解(x,y,4)中的(x,y)是/(x,y)条件叭x,y)=0下的可能的极值点，有可能的极值点中求得最大值点或最小值点.【注】 这个方法可推广到求三元函数a=/(x,y,z)在条件夕(x,y,z)=0下或条件(p{x,y,z)=0,^(x,y,z)=0下的最大值或最小值.2、用拉格朗日乘数法求函数〃=f(x,y,z)在条件

叭x,y,z)=0,“(x,y,z)=0下的最大值或最小值，先构造辅助函数叱ax叱力叱次=0〃〃4n+++,z而获^力而一次占444双+++=^-axaf-叱ax叱力叱次=0〃〃4n+++,z而获^力而一次占444双+++=^-axaf-ay.af-azF-T===3F一dxdF-dyaF一击广I;，=0=0=0dF-—=—(X,y,z)=0所有满足此方程组的解(x,y,z,Z〃)中的(x,y,z)是〃=/(x,y,z)在条件9=(x,y,z)=0与-(x,y,z)=0卜一的可能的极值点.由可能的极值点中求得最大值点或最小值点.八、方向导数与梯度(~)方向导数平面上过点“。(/，右)以/=(cosa,cos0)为方向向量的直y—y+[CCAOL线L参数方程：° '，z=/(x,y)限制在直线L上，变y=y0+cos/化时就变成了一元函数9")=/(x0+/cosa,y0+COS夕)。定义8.8若存在极限"⑼=.+'c°sa'%+c°s0-A/'%)称它为z=/(x,y)在点M/Xo，%)沿方向L的方向导数，记为寸(%，%)可中I―3/一贽瓦―‘。)(-)方向导数的计算公式定理8.10设z=/(x,y)在M/x。,%)处可微，则/(尤,y)在点A/0(x0,%)沿任意直线方向I=(cosa,cos夕)存在方向导数且寸(X。，％)_^l(x0,y0) df(x0,y0)- IXI WoLJ3/dx 力在平面上/除了用方向角表示外也可以用极角表示：/=(cose,sin6),6是/的极角，%[0,24)，此时相应的方向导数的计算公式是"(之》。)=如7处)cos6+如丹城sin8.ol ox dy定理8.11 设三元函数“=/(x,y,z)在“0(%,打，7)处可微，则在点沿任意方向I=(cosa,cos夕)存在方向导数且有中'(不，加名。)_ y0,Zq)pn„~ (-^O,^o)Pn(：Q, 2o)„n„.- UU、C4i UU、jLzi UU、Jdl dx dy dz(三)梯度向量与方向导数的最大值z=/(x,y)在点“0(%,先)的方向导数计算公式可改写如*。闻=("(①%)+"(x”y。))(cosa,cosP)N dx》 "=grad/(x0,%)/Tgrad/(x0,%)Icos<gradf(x0,y0),l>这里向量gradf(x0,y0)=(瞥&2,吗也2).称为工=f(x,y)oxdy在点“0。0，汽)的梯度(向量)■(?%)随/而变化,当/=_gmd/(1)).即沿梯度方向ol \grad/(xo,yo)l时，方向导数取最大值Igradf(xn,y0)\.九、多元函数微分学的几何应用(-)空间曲线的切平面与法线L用隐式方程表示的曲面若空间曲面5的方程为F(x,y,z)=0,M0(xo,yo,zo)是S上的一点，则S在点切平面方程为3F(M())z、dF(M0)z、aF(M0)z、n；。/(x_x°)+二°(>_%)+；<“口一无)=0ox oy dz法线方程为蒜r嬴r嬴r3xdydz其中尸(x,y,z)在M。点处有连续偏导数且(dF(M0)2dF(M0)23F(Mo)2\ 、 、 ox oy oz这里S在点点处的法向量是3尸(M0)dzgradF(M0)=(r—,—r—dxoydz2、用显式方程表示的曲面若空间曲面S的方程为z=f(x,y),M()(x0,y0,z0)是S上的一点z0=f(x0,%),则S在点Af0(x0,y0,z0)的切平面方程为z-z0=fx(x0,y0)(x--ro)+fy(x(),%)(y-%).法线方程为 广1=厂%=三攵,，(/，%)fy(x0,y0)T其中z=f(x,y)在(%,%),有连续偏导数.这里S在根)(%,打，4)的发向量为土(一人(xQ,y0),-fy(x0,y0),l).单位法向量为n-i =(cosa,cosp,cos/).jl+£2(Xo，%)+/J(Xo，%)这里分别是法向量〃与x,y,z轴正向夹角，〃的表达式中正负号的选取取决于/是锐角还是钝角，即法向量是朝上还是朝下.(二)空间曲线的切线与法平面L用参数方程表示的空间曲线若空间曲线「的参数方程为x=尤"),y=y(f),z=z«)(aWt4。).又Mj(Xo，yo，z())=(x(%),y(fo),z(fo))是「上的一点，则「在点根)®,%〜)的切线方程为守=与比=守，x(r0)y(r0)z(%)法平面方程为x(t0)(x-xo)+y\to)(y-yo)+z(to)(z-zo)=0其中x(t),y(t),z(f)在，=)可导且x2(t0)+y，2(t0)+(J)*0,(x'(%),y\t0),z(t0))为「在点〃。(%,线,%。)的切向量.2.作为两曲面交线的空间曲线若空间曲线「的一般方程为［"苍'2)=0，知0是「上的一［G(x,y,z)=O,点，则「在点例0(%,九,%)的切线方程为［智%…。)+智0-。)+用岭。)=0,TOC\o"1-5"\h\zox dy oz _p.< 或aG(M°), .SG(A/0)HG(M。)-(x-x0)+——(y-y0)+—(z—Zo)=o,ox oy ozx一/二4一0二z-z。a(F,G)~3(f,g)-a(尸,G)9a(y，z)m。aa,x)/aa，y)如法平面方程为

（z-zo）=O.其中F(x,y,z),G(x,y,z)在Af0(x0,y0,z0)均有连续的偏导数且gradfXMJxgradGlMj；)。0.这里「在的切向量是gradF（M0）xgradG（M0）=hf(gradF（M0）xgradG（M0）=hf(m。)

dx一（MJ

3y

3G（M。）

dyk

hf（m。）

3z

acxN）a（y,z）a（£G）

a（x,y）a（y,z）SECTIONNINE多元函数积分的概念、计算及其

应用

(-)多元函数积分的定义.二重积分定义平面上有界区域D上二元函数z=f(x,y)的二重积分I=JJ7(x,y)dcr=lim£/(点,一)△5D i=1其中d=max{j,},d,为小区域Act,,Act,的面积也记为bo、,当重积分y)da存在时，称f(x,y)在。上可积.几何意义 当连续函数z=/(x,y)20口寸，二重积分/表示以区域0为底，曲面z=/(x,y)为顶，侧面是以。的边界为准线，母线平行于Z轴的柱面的曲顶柱体的体积.一般情形，JJ7(x,y)db=Oxy平面上方的曲顶柱体体积-。初平D面下方的曲顶柱体体积..三重积分定义空间中有界闭区域。上三元函数W=/(x,y,z)的三重积分J=JJJf(x,y,z)dV=lim£f&,,，,)△%，Q i=l其中d=max{<},4为小区域△匕的直径，△匕的体积也记为△匕.当三重积分y,z)dV存在时，称/(x,y,z)在Q上可积.Q.第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)定义 。町平面上分段光滑曲线L上函数/(x,y)的第一类曲线积分[7(x,y)ds=玛£/©,〃,)A*,

1=1其中As,表示各小段的弧长，A=max{As,}.第一类曲线积分也称i为对弧长的曲线积分，/(x,y)称作被积函数，L称作积分弧段.类似可定义/(x,y,z)在空间分段光滑曲线L上的第一类曲线积分[/(x,y)ds=Hmff ,？,)心,.i=l如果积分弧段L是封闭曲线，则相应的对弧长的曲线积分记作j/(x,y)ds(或j/(x,y,z)ds)..第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)定义 /={P(x,y),Q(x,y)}在定向分段光滑曲线L上的二类曲线积分[P(x,y)dx+Q(x,y)dy=limJ忸(。,〃,)Ar,+0(。，7,)^,101其中A人是各小段弧长的最大值，Ax(.=x..-x,._],Ay,.=%- ,%)是分点M,的坐标，第二类曲线积分也称为对坐标的曲线积分，也记为[户•曲.将第二类曲线积分推广到沿空间曲线的情形，即为LPEK讪+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=lim£[ ％,«)W+。(4,%，6)A%+R©，G，)X14Toi=1.第一类曲面积分(对面积的曲面积分)定义 /(x,y,z)在分块光滑曲面E上的第一类曲面积分JJ7(x,乃z)dS=Hm£1)8，E <=l其中4是各小块曲面直径的最大值，△3,也是小曲面块A5,的面积，/(x,y,z)是被积函数，Z是积分曲面.第一类曲面积分也称对面积的曲而积分..第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)定义 F={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}在有向光滑曲面E上的第二类曲面积JJf-dS=JjPdydz+Qdzdx+RdxdyZ E=JJp(x,乂玲dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=聘L[p©，〃，，7,)(2)”+。©，，。)(因)“+R©，7，1)(N)/1=1其中(ASj)",(ASj)寸(AS,%分别表示小曲而块AS,到Oyz,Ozx,Oxy平面上的有向投影面积.同样地，4是各小块曲面直径的最大值P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)称为被积函数,Z称为积分曲面,第二类曲面积分也称对坐标的曲面积分..集中多元函数积分的比较比较上述各类积分的定义，可以看到它们的共同点是:每种积分都是对积分区域进行任意剖分后得到相应的和式的极限.不论哪种积分和式中每一项都有两个乘积的因子，其中一个均是被积函数在小区域上某点取值：都是用“区域”的直径的最大值趋于零来刻画无限细分；每个极限都是两个无关性(与分割无关，与点的取法无关).不同点是：小区域的面积或体积：小曲线的长度或在坐标轴上的有向投影;小区面的面积或在坐标平面上的有向投影).(-)多元函数积分的性质这里只叙述二重积分的性质.设/(x，y)，g(x,y)在有界区域。可积，则(1)线性性质对V常数有y)±//g(x, =2 y)da.TOC\o"1-5"\h\zD D D(2)对区域的可加性 JJ/(x,y)= ,D O| D2其中而且区域与。2不相互重叠.(3)比较定理若/(x,y),g(x,y)在。上连续且/(x,y)：g(x,y),贝JJV(x，y^xdy<JJg(x,y)dxdy.D D特别的，若加一/(x,y)—M在。上成立，贝i」〃7A< MA,其中A为。的面积.(4)积分中值定理 若在有界区域。上连续，则在。上存在一点依〃)，使 =(5)连续非负函数的积分性质 设/(无,/)在。连续，非负，若D(,uD，则有^f{x,y\l(y<Do D设/(x,y)在。连续，非负，且y)da=0,((x,y)eD).(6)设f(x,y)在。连续，若0内任意子区域I)。有y)dff=0,则/(x,y)三0,((x,y)e。).D2.对三重积分与第一类曲线\曲线积分有类似二重积分的比较定理，几分中值定理及非负连续函数的积分性质(三)两类曲线积分之间及两类曲面积分之间的关系.两类曲线积分之间的关系设4b为分段光滑曲线，两类曲线积分有如下关系；fPdx+Qdy=[(Pcosa+Qcos夕)ds其中cosa,cos/是曲线弧4月沿A到B方向余弦；P,Q是L而上连续函数。推广到空间的情形，即为[(Pdx4-Qdy+Rdz)=[(Pcosa+Qcosp+Rcosy)ds比A麻 比A。将上式写成向量的点积分形式,即为LPdx+Qdy+Rdz= FdS=Fids,其中户={P,°,R}dS={dx,dy,dz},f=(cosa,cosft,cos/)是上任意点(x,y,z)处指向的单位切向量。上述两个公式表明第二类曲线积分可以化为第一类曲线积分，这也可以说是第二类曲线积分的-个计留方注.两类曲面积分的关系\\Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\\FdS=\\Fnds其中，I EEF={P,Q,R},dS={dydz,dzdx,dxdy},n=(cosa,cosft,cosy).第一、二类曲线(面)积分的比较(1)第一、二类曲线积分的不同点是；第一类曲面积分与曲面积分的定向无关，而第二类曲面积分与曲面的定向有关。若Z?与广是平面上同一条分段光滑曲线，但它们的定向不同，则jPDX+Qdy=-[Pdx+Qdy。(2)第一、二类曲面积分的一个重要不同点是：第一类曲面积分与曲面的定向(即法向量的取向)无关，而第二类曲面积分与曲面的定向有关。设s+与s-是同一块分块光滑曲面，但定向不同,

贝Ij有^Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=-JJPdydz+Qdzdx+Rdzdxj+ 5-.若干基本结论（据两类曲线积分或曲面积分之间的关系或定义得出）（1）设L是空间中分段光滑的曲线，则=O（若l在垂直于x轴的平面上）（若L在垂直于y轴的平面上）（若L在垂直于z轴的平面上）（2）设S是分块光滑的曲面，则\\Pdydz=\\Pdydz=0S（S垂直于Oyz平面,S的法向量与Oyz平面平行）^Qdzdx=0s （S垂直于Ozx平面，S的法向量与Ozx平面平行）\\Rdxdy=0s （S垂直于Oxy平面，S的法向量与Oxy平面平行）二、在直角坐标系中化多元函数的积分为定积分（-）曲线积分化为定积分（定理9.1）设/（x,y）在曲线L上连续若曲线L的参数方程为⑴'aWfV"，则尤,y）ds='/（*）,w⑴乂O'?"）+LQ）dt,其中必）,必。在&⑶有连续的导数且夕'2«）+/2（。¥0特别地，若曲线L能表达成y= 的形式，则，其中y（x）在［a向有连续的导数（定理9.2）设P（x,y）,Q（x,y）在L连续。若定向曲线L的参数方程为："= 而且a对应于起点A,1对应于终点B(/不一定大于a),则jP(x,y)dx+Q(x,y)dy=(忸(必),-(f))”«)+0(M),必。)/(理其中帆、叭t)在［a,句(或［夕,可)有连续的导数，+ 特别地，若曲线L能表达为y=”月的形式,且x=a是对应于起点A,x=%时对应于终点B,则［P(x,y)dx+Q(x,y)dy=f［P(x,y(x))+Q(x,y(x))yz(x)}/x其中y(x)在［a，H或ha］有连续的导数从上述定理看到，曲线积分化为定积分是直接的，将曲线的参数方程代入被积表达式，归结为微分运算；ds=ylx，2(t)+y，2(t)dt,dx=x\t)dt,dy=y\t)dt积分限代入曲线端点的参数值，对第一类曲线积分来说下限小于上限；对第二曲线积分来说，下、上限分别是起、终点的参数(与曲线的定向有关)对空间曲线积分Lf(x,y,z>/s有类似的计算公式。若未给出曲线的参数方程，需先求出曲线的参数方程才可以用上述公式。(-)二重积分的类次积分(定理9..3)设/(x,y)有界闭区域D上连续，若D={(x,y\a<x<by(px(x)<y<(p2(x)}则JJ7(x,yM0=f公］()/(匕丁孙夕i(x),0(x)在L,”上连续。D若。={(x,”asys4必(x)w七60}，则Jj7(x,yWr=，⑺［：：/(苍)，以其中内。)必(〉)在1,“连续。D(三)三重积分化为累次积分定理9.4 设。是。孙z空间中的有界闭区域，/(占％2)在。连续。若。={(苞乃2)出(工,)0WZwZ2(x,y),(x,y)e。},其中。是。盯z平面上的有界闭区域，Z,(x,y)在。连续，i=l,2,则JJJ7(x,y,z)dV=\\dxdy^窜,…的Q D若。={(x,y,z)Ia«zW/,(x,y)eO(z)},其中。⑵为竖坐标为z的平面上的有界闭区域，则y,z)dV=gdzJJ/(x,y,z)dxdy这里表示的区域。是由上a 。⑵曲面z=Z2(x,y),下曲面z=q(x,y)及侧面—柱面,以。xyz平面区域。边界为准线，母线平行于Z轴的柱面所围成。。是Q在。盯z平面上的投影区域，有时称区域曲顶曲底柱形长条区域，。公式是先对Z积分，由下方曲面z=zi(x,y)到上方曲面z=z2(x,y),然后在曲面区域。上对x,y作二重积分。如果先对y或先对x求积分，方法是类似的。这里表示的区域Q是介于平面z=力与z=a(0>a)之间，过Z轴上区间［a,⑶中任一点Z作垂直于Z轴的曲面截区域。的平面区域。。)常称这种区域为界面已知的区域。公式都是把三重积分化为求一次定积分于求一次二重积分。最后均化为求三次定积分。但公式是先求一次定积分，再求一次二重积分(先一后二)的情形，式是先求一次二重定积分再求一次定积分(先二后…)的情形(四)曲面积分化为二重积分1第一类曲面积分化为二重积分定理9.5如果积分曲面Z能够表示z=z(x.y)的形式，并且在xoy平面上的投影域。为 那么rr rr /i2 ,2JJf(x,y,z)ds=Jj/(x,y,z(x,y))^l+zx+zydoI D其中/(x,y,z)在E连续，z(x,y)在。连续的偏导数。这样就将对面积的曲面积分化成了二重积分，而二重积分又可以化为累次积分，所以曲面积分又最终化成了定积分。这里的计算过程要注意三点：(1)被积函数要代入曲面方程(被积函数定义在曲面Z上)TOC\o"1-5"\h\z72 ,2(2)积分元素ds={l+Zx+zy(3)积分区域。是Z在xoy曲面上的投影注：1、曲面元ds在(x,y,z)处的单位法向量f 1 ， ，n=(cosa,cosft,cosy)=±/ (一Zx-zy,1),ds与它在,2 ,2[l+Zx+Zyxoy平面上的投影d。的关系是：/ds=। -da=zx+浙doCOS/IV '2、若曲面Z的方程为x=x(y,z),(y,z)e£)vz或y=y(z,x),(z,x)eO5时，有类似的化为第一类曲面积分为二重积分的公式2第二类曲面积分化为二重积分定理9.6(1)若定向曲面Z：x=x(y,z),(y,z)eDyzx(y,z)在有连续的偏导数，p(x,y,z)在Z上连续，则^Pdydz=±J，P((x(y,z),y,z)dydzZ%(2)若定向曲面Z:y=y(z,x),(z,x)e ,y(z,x)在。疗有连续的偏导数，Q(x,y,z)在Z连续，则在Z连续^Qdzdx=±JjQ((x,y(z,x),z)dzdx(9.14)Z2,(3)若定向曲面工：7=2(%,田,(工,月6。盯，z(x,y)在£>xy有连续的偏导数，R(x,y,z)在Z连续，则^Rdxdy=± y,z(x,y))dxdyZ%其中Dyz，O^，Oxy分别为积分曲面Z在三个坐标平面oyz,o^,oxy的投影。式中“土”号的确定方法为：1若Z的法向量7与x轴正方向的夹角为锐角，即取前侧，则右端第一个积分前"+"取号，否则取“-”2若£的法向量7与)，轴正方向的夹角为锐角，即取右侧，则右端第二个积分前"+"取号，否则取“-”3若E的法向量7与z轴正方向的夹角为锐角，即取上侧，则右端第三个积分前"+"取号，否则取定理9.7若定向曲面Z由方程z=z(x,y)给出，Z在阳平面上的投影区域为。孙有连续的偏导数，p(x,y,z),Q(x,y,z)>R(x,y,z)，在Z连续，则()7 Hr\\Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=±fjP(x,y,z(x,y))(一丁)+Q(x,y,z(x,y))(-/)工 / ox dy+R(x,y,z(x,y)))]dxdy其中正负号由的定向决定：法向量指向上侧时取正号，否则取负号三重积分的变量替换(-)平移变量定理9.8设。为平面有界闭区域，〃x,y)在。连续，则\\f{x.y)dxdy=fff(ua,v+h)dudvTOC\o"1-5"\h\zD D'./口 .[u=x-a(an[x=u-^a'其中O是在平移变换{，即《 ，，[v=y-bI[y=v^-b)定理9.9设。为空间中的有界闭区域，/(x,y,z)在。连续，则y,z)dxdydz=Jff/(w4-a,v4-/?,w4-c)rfwJvJvv其中Q'Q Q'是在平移变换：U=》-4,丫=、-6,川=7-。下把。町2空间中的区域Q变为O't/vvv空间中的••个区域。平移变换下保持区域的形状与体积(或面积)不变。如Q:(x-l)2+(y-l)2+(z-l)2<l,在平移变换M=x-l,v=y-l,w=z-lF>Q变成O':“？+v2+w2<1o【注】考试大纲中对平移变换没提出要求，但考虑到平移变换十分简单又较容易掌握，有了它对解有些题目十分简便，因此，我们把平移变换写在这里，供读者参考。(二)二重积分的极坐标变换定理9.10 极坐标变换下有x=rcos，,y=rsin，jjf(x,y)da=JJ/(rcosrsin0)rdrd0,其中D为直角坐标系。xyD D'平面上的有界闭区域，/(x,y)在。上连续。。'是直角坐标系。中相应的有界闭区域。在极坐标表换下，。与。时一一对应的(可除去若干点或若干条曲线)。怎样将JJ/(rcose,rsine)rdrd。化为类次积分一这是直角坐O'标系中化二重积分为累次积分的问题。在“8中。的不等式表示与"y中。的极坐标的不等式表示形式上市相同的。因此在极坐标变换下化二重积分y)da为累次积分的关键是：在。町平面上画出。的图形并写出相应的D的极坐标的表示式。在这个意义下，人们习惯上常写成JJ/(x,y =\\fkrcos8,rsin8)rdrd6.D D常见以下情形：情形IO={(x,y)laW6K夕,(6)4「4弓(6)},y)d(y=gd殴：：f(rcos6,rsin0)rdr情形nD={{x,y)\Q<6<27T,r[e\<r<r2{e}},fj/(x,y)d(r=『f(rcos8,rsin0)rdr特殊情形是4(6)=0情形inD={(x,y)\a<0</3,0<r<r(^)} ,^f(x,y)d(J=de]；⑻/(rcos6,rsin0)rdrD情形wD={(x9y)\a<r<b,0l