函数的单调性与最值课件

第3节函数的单调性与最值考试要求1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.第3节函数的单调性与最值考试要求1.理解函数的单调性、最知

识

梳

理1.函数的单调性 (1)单调函数的定义f(x1)<f(x2)

增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有_____________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有___________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)>f(x2)知识梳理f(x1)<f(x2)

增函数减函数定义一般地图象描述自左向右看图象是_______自左向右看图象是_______(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做函数y＝f(x)的单调区间.上升的下降的增函数减函数区间D图象描述(2)单调区间的定义上升的下降的增函数减函数区间D2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有

；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有

；(4)存在x0∈I，使得——————结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝M2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实第3节-函数的单调性与最值课件第3节-函数的单调性与最值课件解析

(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1，则f(－1)＜f(1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).(3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.(4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间可以是R.答案

(1)√

(2)×

(3)×

(4)×解析(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2答案A答案A答案D答案D答案2答案2答案2

[0，＋∞)答案2[0，＋∞)解析f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3，f(f(－3))＝f(3)＝2.由图象得f(x)min＝f(－1)＝－1.答案2－1解析f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3，f(f(－3【例1】(1)已知函数f(x)＝log4(4－|x|)，则f(x)的单调递增区间是________；f(0)＋4f(2)＝________.考点一确定函数的单调性(区间)答案(－4，0]

3【例1】(1)已知函数f(x)＝log4(4－|x|)，则所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递增.所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上递增.当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上递减规律方法

(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(3)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.规律方法(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求第3节-函数的单调性与最值课件(2)解

f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数.证明如下：(2)解f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函第3节-函数的单调性与最值课件第3节-函数的单调性与最值课件考点二确定函数的最值考点二确定函数的最值当x≤1时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，则f(x)≤1，综上可知，f(x)的最大值为1.答案－3

1当x≤1时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∵1≤x1＜x2，∴x2－x1＞0，2x1x2＞2，∴f(x2)－f(x1)＞0，f(x1)＜f(x2).∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∵1≤x1＜x2，∴x2－x1＞0，2x1x2＞2，∴f(x则x2＋2x＋a>0对x∈[1，＋∞)恒成立.即a>－(x2＋2x)在x∈[1，＋∞)上恒成立.令g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1，x∈[1，＋∞)，∴g(x)在[1，＋∞)上是减函数，g(x)max＝g(1)＝－3.又a≤1，∴当－3<a≤1时，f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立.故实数a的取值范围是(－3，1].则x2＋2x＋a>0对x∈[1，＋∞)恒成立.规律方法

(1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法.(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解.若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b).规律方法(1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等【训练2】(1)(2017·浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(

) A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关 C.与a无关，但与b无关 D.与a无关，但与b有关【训练2】(1)(2017·浙江卷)若函数f(x)＝x2＋①当a＜0时，由以上知f(x)＝ex－2x，x＜a单调递减，故f(x)＞f(a)；f(x)＝ax－1(x≥a)单调递减，故f(x)≤f(a)，故f(x)无最小值，舍去；①当a＜0时，由以上知f(x)＝ex－2x，x＜a单调递减，②当a＝0时，f(x)最小值为－1，成立，③当a＞0时，f(x)＝ax－1(x≥a)单调递增，故f(x)≥f(a)；对于f(x)＝ex－2x，x＜a，答案(1)B

(2)0

[0，＋∞)②当a＝0时，f(x)最小值为－1，成立，答案(1)B(考点三函数单调性的应用变式迁移考点三函数单调性的应用变式迁移(2)∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，(2)∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(第3节-函数的单调性与最值课件第3节-函数的单调性与最值课件第3节-函数的单调性与最值课件规律方法

(1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域.规律方法(1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据【训练3】

已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(

) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3]

解析

因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝1，于是－1≤f(x－2)≤1等价于f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.

答案

D【训练3】已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为第3节-函数的单调性与最值课件第3节函数的单调性与最值考试要求1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.第3节函数的单调性与最值考试要求1.理解函数的单调性、最知

识

梳

理1.函数的单调性 (1)单调函数的定义f(x1)<f(x2)

增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有_____________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有___________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)>f(x2)知识梳理f(x1)<f(x2)

增函数减函数定义一般地图象描述自左向右看图象是_______自左向右看图象是_______(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做函数y＝f(x)的单调区间.上升的下降的增函数减函数区间D图象描述(2)单调区间的定义上升的下降的增函数减函数区间D2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有

；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有

；(4)存在x0∈I，使得——————结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝M2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实第3节-函数的单调性与最值课件第3节-函数的单调性与最值课件解析

(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1，则f(－1)＜f(1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).(3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.(4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间可以是R.答案

(1)√

(2)×

(3)×

(4)×解析(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2答案A答案A答案D答案D答案2答案2答案2

[0，＋∞)答案2[0，＋∞)解析f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3，f(f(－3))＝f(3)＝2.由图象得f(x)min＝f(－1)＝－1.答案2－1解析f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3，f(f(－3【例1】(1)已知函数f(x)＝log4(4－|x|)，则f(x)的单调递增区间是________；f(0)＋4f(2)＝________.考点一确定函数的单调性(区间)答案(－4，0]

3【例1】(1)已知函数f(x)＝log4(4－|x|)，则所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递增.所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上递增.当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上递减规律方法

(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(3)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.规律方法(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求第3节-函数的单调性与最值课件(2)解

f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数.证明如下：(2)解f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函第3节-函数的单调性与最值课件第3节-函数的单调性与最值课件考点二确定函数的最值考点二确定函数的最值当x≤1时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，则f(x)≤1，综上可知，f(x)的最大值为1.答案－3

1当x≤1时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∵1≤x1＜x2，∴x2－x1＞0，2x1x2＞2，∴f(x2)－f(x1)＞0，f(x1)＜f(x2).∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∵1≤x1＜x2，∴x2－x1＞0，2x1x2＞2，∴f(x则x2＋2x＋a>0对x∈[1，＋∞)恒成立.即a>－(x2＋2x)在x∈[1，＋∞)上恒成立.令g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1，x∈[1，＋∞)，∴g(x)在[1，＋∞)上是减函数，g(x)max＝g(1)＝－3.又a≤1，∴当－3<a≤1时，f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立.故实数a的取值范围是(－3，1].则x2＋2x＋a>0对x∈[1，＋∞)恒成立.规律方法

(1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法.(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解.若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b).规律方法(1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等【训练2】(1)(2017·浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(

) A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关 C.与a无关，但与b无关 D.与a无关，但与b有关【训练2】(1)(2017·浙江卷)若函数f(x)＝x2＋①当a＜0时，由以上知f(x)＝ex－2x，x＜a单调递减，故f(x)＞f(a)；f(x)＝ax－1(x≥a)单调递减，故f(x)≤f(a)，故f(x)无最小值，舍去；①当a＜0时，由以上知f(x)＝ex－2x，x＜a单调递减，②当a＝0时，f(x)最小值为－1，成立，③当a＞0时，f(x)＝